2022年中考专题复习——最短路径问题 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载A B C D A B A B L 中考专题复习路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。 （构建“对称模型”实现转化）三、例题：例 1、如右图是一个棱长为4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点 B 处，则它爬行的最短路径是。如右图是一个长方体木块，已知 AB=3,BC=4,CD=2 ，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。例 2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管

2、最短。如图，直线 L 同侧有两点 A、B，已知 A、B 到直线 L 的垂直距离分别为 1 和 3，两点的水平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算 PA+PB 的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为 1Km 和 3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。四、练习题（巩固提高）张村李庄张村李庄精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀教案欢迎下载A B C D 图(2)EBDACP图(3)

3、DBAOCP（一） 1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4 ，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与 B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为 6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点 B 处吃到食物，知圆柱体的高为 5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一动点， DNMN 的最小值为。第 4 题

4、第 5 题第 6 题第 7 题5、在菱形 ABCD 中，AB=2 ， BAD=60 ，点E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为。6、如图，在ABC 中，ACBC2， ACB90 ，D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小值为_ _。第 2 题A A B A B 第 1 题第 3 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀教案欢迎下载7、AB 是O 的直径， AB=2，OC 是O 的半径， OC AB，点 D 在 AC 上，AD = 2CD ，

5、点P 是半径 OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为_ _。（二）8、如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB于 N，若 CD18cm ，则 PMN 的周长为_。9、已知，如图 DE 是 ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 BC 于 E，且 AC5，BC8，则 AEC 的周长为_。10、已知，如图，在ABC 中，ABAC，BC 边上的垂直平分线DE 交 BC 于点 D，交 AC于点 E，AC8， ABE 的周长为 14，则 AB 的长。11、如图，在锐角ABC 中，AB42， BAC45 ， BAC 的平分线交

6、BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_12、在平面直角坐标系中，有A（3，2） ，B（4，2）两点，现另取一点C（1，n） ，当 n = 时，AC + BC 的值最小CDABEFP第 11 题第 14 题第 15 题13、 ABC 中， C = 90 ，AB = 10，AC=6,BC=8, 过 AB 边上一点 P 作 PE AC 于 E，PF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀教案欢迎下载BC 于 F，E、F 是垂足，则 EF 的最小值等于14、如图，菱形 ABCD

7、中，AB=2, BAD=60 ，点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点，则 PE+PF 的最小值为 _. 15、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使A 村到 B 村的路程最近？16、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0） ，B（0，4） （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为OB上一动点，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标（三） 16、如图，已知AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和OB 上各找

8、一点 E、F，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。17、如图，直线 l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A的坐标为（ 2，0） ，请在图中分别标明B （5， 3） 、 C （2， 5） 关于直线 l 的对称点 B、 C 的位置，并写出他们的坐标： B、C；归纳与发现：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀教案欢迎下载（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分 线 l的对称点 P 的坐标为；运用与拓广

9、：（3）已知两点 D（1，3） 、E（1，4） ，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标18、几何模型：条件：如图， A、B 是直线 L 同旁的两个定点问题：在直线L 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必证明） 模型应用：（1）如图 1，正方形ABCD的边长为 2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是_；（2）如图 2，O的半径为 2，点ABC、 、在O上，OAOB，60

10、AOC，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；（3）如图 3， AOB=45 ， P 是 AOB 内一点， PO=10 ，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值19、问题探究（1）如图，四边形ABCD是正方形，10ABcm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；（2）如图，若四边形ABCD是菱形，10ABcm，45ABC，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；问题解决（ 3）如图，若四边形ABCD 是矩形，10ABcm，20BCcm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；O A B P R Q

11、 图 3 A B E C B D 图 1 O A B C 图 2 P A B AP l A D B C A D B C E P A C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀教案欢迎下载20.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（ -2，0） ，连结 0A，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB. （1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（

12、注意：本题中的结果均保留根号）解： （1）过点 B 作 BDx轴于点 D，由已知可得：OB=OA=2 ， BOD=60。.在 Rt OBD 中， ODB=90。，OBD=30。. OD=1，DB=3点B 的坐标是（ 1，3）. （2）设所求抛物线的解析式为2yaxbxc，由已知可得：03420cabcabc解得：32 3,0.33abc所求抛物线解析式为232 3.33yxx（3）存在 . 由232 333yxx配方后得：233133yx抛物线的对称轴为x=1. （也写用顶点坐标公式求出） OB=2，要使BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小. 点O 与点 A 关于直线x=1 对称，有 C

13、O=CA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀教案欢迎下载 BOC 的周长 =OB+BC+CO=OB+BC+CA. 当A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时BOC 的周长最小 . 设直线 AB 的解析式为3,:20kbykxbkb则有解得：32 3,.33kb直线AB 的解析式为32 3.33yx当x=1 时，3.3y所求点C 的坐标为（ 1，33）. 21、如图，抛物线2yaxbxc的顶点 P 的坐标为4 313，交 x 轴于 A、B 两点，交 y轴于点(0

14、3)C，（1）求抛物线的表达式（2）把 ABC 绕 AB 的中点 E 旋转 180，得到四边形ADBC 判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由（3）试问在线段 AC 上是否存在一点 F，使得FBD 的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）由题意知解得33a，2 33b-3 分（列出方程组给1 分，解出给 2 分）抛物线的解析式为232 3333yxx-4 分（2）设点 A（1x，0） ，B（2x，0） ，则232 33033xx，解得1213xx，-5 分D O x y B E P A C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

15、 - - - - -第 7 页，共 9 页优秀教案欢迎下载 OA1，OB3又 tan OCB|3|OBOC OCB60，同理可求 OCA30ACB90-6 分由旋转性质可知 ACBD，BCAD四边形ADBC 是平行四边形-7分又 ACB90四边形 ADBC 是矩形-8分（3）延长 BC 至 N，使 CNCB假设存在一点 F，使 FBD 的周长最小即 FDFBDB 最小 DB 固定长只要 FD+FB 最小又CA BN FD+FBFD+FN当N、F、D 在一条直线上时， FD+FB 最小 -10分又 C 为 BN 的中点，12FCAC （即 F 为 AC 的中点） 又 A（1，0） ，C（0，3）

16、点 F 的坐标为 F（12，32）存在这样的点 F（12，32） ，使得FBD 的周长最小 -12 分22. 已知：直线112yx与 y 轴交于 A， 与x轴交于 D， 抛物线212yxbxc与直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0） （1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 在x轴上移动，当PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC的值最大，求出点M 的坐标答案：（1）将 A（0，1） 、B（1，0）坐标代入212yxbxc得y x O D E A B C 精选学习资料 - - - - - - -

17、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀教案欢迎下载1102cbc解得321bc抛物线的解折式为213122yxx3 分（2）设点 E 的横坐标为 m，则它的纵坐标为213122mm，则 E（m，213122mm） 又点E 在直线112yx上，213111222mmm解得10m（舍去） ，24m E 的坐标为（ 4，3） 4 分过 E 作 EFx轴于 F ，设 P(b,0)由90OPAFPE ，得OPAFEP RtRtAOPPFE由AOOPPFEF得143bb解得11b，23b此时的点 P 的坐标为（ 1，0）或（ 3，0） 6 分（3）抛物线的对称轴为32x B、C 关于x23对称，MCMB要使|AMMC最大，即是使|AMMB最大8 分由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M 在同一直线上时|AMMB的值最大易知直线 AB 的解折式为1yx由132yxx得3212xy M（23，21） 10 分y E A B C F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页