2022年中考数学专题讲座探索性问题 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思中考数学专题讲座探索性问题概述：探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难， 难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在典型例题精析例 1如图 1，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，?其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图2 所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，?其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S

2、1、S2、 S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图 3 所示， 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，?其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3表示，使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（ 1）、（ 2）、（ 3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论S3S2S1图1BCABCAS3S2S1图2BCAS3S2S1图3解：设直角三角形ABC的三边 BC 、CA、AB的长分别为a、b、c，则

3、 c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3，证明如下：显然： S1=34c2，S2=34a2，S3=34b2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思S2+S3=34（a2+b2） =34c2=S1（也可用三角形相似证明）（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3证明如下：所作三个三角形相似，2221SaSc，2321SbSc，222321SSabSc=1，S1=S2+S3（4）分别以直角三角形ABC的三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、 ?S

4、3表示，则S1=S2+S3例 2如图 1， O1和 O2外切于 P，AB 是 O1和 O2的公切线， A、B 是切点，直线AP、BP 分别交 O2， O1于 F、E（1）求证： AE、BF 分别为 O1、 O2的直径；（2）求证： AB2=AE BF；（3）如图 2，当图 1 中的切点P 变为两圆一个交点时，结论AB2=AE BF 还成立吗？ ?若成立，请证明；若不成立，请说明理由EO2O1图1BAPFEO2O1图2BAPF分析：（ 1）即证 APE= BPF=90 ，过 P作二圆公切线，可证明（2）证明 ABE BFA可得（3）同样可证 ABE BFA E= BAF ， F=ABE 中考样题

5、训练 1如图，在直角坐标系中，O是原点， A 、B、?C?三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6）， C（8，6），四边形OABC 是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思沿 OA向终点 A运动，速度为每秒1 个单位，点Q沿 OC 、CB向终点 B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动（1）求出直线OC的解析式及经过O 、A、C三点的抛物线的解析式（2）试在（ 1）中的抛物线上找一点D ，使得以O、A、 D为

6、顶点的三角形与AOC全等，请直接写出点D的坐标（3）设从出发起运动了t 秒，如果点Q的速度为每秒2 个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t 的取值范围（4）设从出发起，运动了t 秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，?请求出 t 的值；如不可能，请说明理由C(8,6)B(18,6)A(18,0)xOyQP 2如图， O2与 O1的弦 BC切于 C 点，两圆的另一个交点为D，动点 A?在 O1上，直线 AD 与 O2交于点 E，与直线BC交于点 F（1）如图 1，当点 A在CD上时，求证：精选学习资料 - -

7、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 FDC FCE ；AB EC；（2）如图 2，当点 A在BD上时，是否仍有AB EC ？请证明你的结论EO2O1CBADF 3如图， A和 B是外离两圆，A 半径长为2， B的半径长为1，?AB=4 ，P为连结两圆圆心的线段AB上的一点， PC切 A于点 C，PD切 B于点 D（1）若 PC=PD ，求 PB的长；（2）试问线段AB上是否存在一点P，使 PC+PD=4 ？如果存在，问这样的P点有几个；并求出 PB的值；如果不存在，说明理由；（3）当点 P在线段 A

8、B上运动到某处，使PC PD时，就有 APC PBD ，请问：除上述情况外，当点P 在线段 AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC 、PD具有何种关系）?时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与 B的位置关系，证明你的结论CBADP 4三月三，放风筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE=DF ，EH=FH ，不用度量，就知道DEH= DFH 请你用所学知识给予证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思EDHF考前热身训练 1填空题（1）观察下列等式，你会发现什么规律？ 35=

9、15，而 15=42-1 ， 57=35，而 35=62-1 ， 1113=143，而 143=122-1，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_ _（2）如图，以 ABC的边 AB为直径作 O交 BC于 D，过D 作O? 的切线交AC于 E，使得 DE AC ，则 ABC的边必须满足的条件是_ 2 已知反比例函数y=kx（k0）和一次函数y=-x+8 （1）若一次函数和反比例函数的图象交于点（4，m ），求 m和 k；（2）k 满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点？（3）设（ 2）中的两个交点为A、B ，试判定 AOB是锐角还是钝角？ 3如图，在直角坐标系xOy 中，以点A

10、（0，-3 ）为圆心作圆与x 轴相切， B与 A外切于点 P，B点在 x 轴正半轴上，过P点作两圆的公切线DP交 y 轴于 D，交 x 轴于 CECABDO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（1）设 A的半径为 r1， B的半径为r2，且 r2=23r1，求公切线DP的长及直线DP? 的函数解析式；（2）若 A的位置大小不变，点B在 x 轴正半轴上移动，B与 A始终外切，过D作B的切线 DE ， E为切点，当DE=4时， B点在什么位置？从解答中能发现什么？ECABxyDPO答案

11、 : 中考样题看台1（ 1）y=34xy=-340 x2+2720 x （2）D （ 10，6）（3）当 Q在 OC上运动时，可设Q（m ，34m ），依题意有：m2+（34m2）=（2t）2m=85t ， Q （85t ，65t ），（ 0t 5）当 Q在 BC上时， Q点所走过的路程为2t OC=10 ， CQ=2t-10，Q点在横坐标为2t-10+8=2t-2，Q（2t-2 ，6）（ 5t 10）（4）梯形 OABC 的周长为44，当 Q点在 OC上， P运动的路程为t，则 Q? 运动的路程为（22-t ）OPQ 中， OP边上的高为：（22-t ）35，SOPQ=12t （22-t ）

12、35， S梯形OABC=12（180+10） 6=84精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思依题意有：12t （22-t ）35=8412，整理得： t2-22t+140=0 =222-4 1400，这样的t 不存在当 Q在 BC上时， Q走过的路程为22-t ，CQ的长为： 22-t-10=12-t，S梯形OCQP=12 6（22-t-10+t） =36 8412，这样的t 值也不存在综上所述，不存在这样的t 值，使得直线PQ同时平分梯形的周长和面积2（ 1） BC切 O2于 C，

13、 ECF= CDF ，又 F= F， FDC FCE ?又 ADC= ABC ， ECF= CDF ， ABC= ECF ， AB EC （2）有 AB EC，证明： BC切 O2于 C， BCE= D，又 ABCD 内接于 O1， ABF= D， BCE= ABF ， AB EC 3（ 1） PC切 A于点 C， PCAC ，PC2=PA2-AC2，同理 PD2=PB2-BD2，PC=PD ， PC2-?AC2=PB2-BD2，设 PB=x，PA=4-x 代入得 x2-1=（4-x ）2-22，解得 x=138， 11382）（2）假定有在一点P使 PC2+PD2=4，设 PB=x，则 PD

14、2=x2-1 ，PC2=（4-x ）2-22，代入条件得（4-x ）2-22+x2-1=4，解得 x=222，P在两圆间的圆外部分，1PB2 ，即 1x2，满足条件的P点只有一个，这时PB=2-22（3）当 PC ： PD=2 ：1 或 PB=43时，也有 PCA PDB ，这时，在 PCA与 PDB中21ACPCBDPD（或APBP）， C=D=Rt， PCA PDB ， BPD= APC= BPE （E在 CP的延长线上），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思B点在 DPE的角

15、平分线上，B到 PD与 PE的距离相等， B与 PD相切， B也与 CP? 的延长线 PE相切4证明：连结DH在 DEH和 DFH中，DEDFEHFHDHDH DEH DFH ， DEH= DFH 考前热身训练1（ 1）（ 2n-1 ）（ 2n+1） =（2n）2-1 （n2）（2）等腰三角形（AB=AC ）2（ 1）m=4 ，k=16，（2）k16 且 k0 （ 3）当 0k16 时， AOB为锐角，当k0 时， AOB为钝角3（ 1）直线 DP的解析式为： y=-43x+2 （ 2）DE=DP ，Rt APD RtAOB ，BO=DP=4 ，点 B （4，0），可以看出，四边形OBED 是矩形，或切线DP的长等于B的横坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页