2022年中考数学压轴题 3.pdf

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1、学习好资料欢迎下载（2014?济宁，第22 题 11 分）如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 5，0） 、B（ 1，0）两点，过点 A 作直线 ACx 轴，交直线y=2x 于点 C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点 A 关于直线y=2x 的对称点A 的坐标，判定点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点 P 是抛物线上一动点，过点P 作 y 轴的平行线，交线段CA于点 M，是否存在这样的点P，使四边形 PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出对称点A 的坐标，然后代入抛物线解析式，即可

2、判定点A是否在抛物线上本问关键在于求出A 的坐标如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt AEARtOAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A 的坐标；（3）本问为存在型问题解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此 PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM 的长度， 然后列方程求解解答：解： （1） y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（5，0） 、B（ 1，0）两点，解得抛物线的解析式为y=x2x（2）如答图所示，过点A 作 AEx 轴于 E，AA与 OC 交于点 D，点 C 在直线 y=2x 上， C（5，10

3、）点 A 和 A关于直线 y=2x 对称， OCAA，AD=ADOA=5， AC=10，OC=SOAC=OC?AD=OA?AC，AD=AA=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习好资料欢迎下载在 RtA EA 和 RtOAC 中， A AE+A AC=90 ， ACD+AAC=90 ， A AE=ACD又 AEA=OAC=90 ，RtAEARt OAC，即A E=4，AE=8 OE=AEOA=3点 A的坐标为（ 3，4） ，当 x=3 时， y= （ 3）2+3=4所以，点A在该抛物线上（3）存在理由：设直线CA

4、的解析式为y=kx+b，则，解得直线 CA的解析式为y=x+（9 分）设点 P 的坐标为（ x，x2x） ，则点 M 为（ x，x+） PM AC，要使四边形P ACM 是平行四边形，只需PM=AC又点 M 在点 P 的上方，（x+）（x2 x）=10解得 x1=2，x2=5（不合题意，舍去）当 x=2 时， y=当点 P 运动到（ 2，）时，四边形PACM 是平行四边形点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度第（2）问的要点是求对称点A的坐标，第（ 3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解

5、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习好资料欢迎下载 （2014?贵州黔西南州, 第 26 题 16 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点，其顶点为D，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与A、D 重合），过点 P 作 y 轴的垂线，垂足点为E，连接 AE（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果 P 点的坐标为（ x，y） ， P AE 的面积为S ，求 S与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量x 的

6、取值范围，并求出S的最大值；（3）在（ 2）的条件下，当S取到最大值时，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为F，连接 EF，把 PEF沿直线 EF 折叠，点P 的对应点为点P ，求出 P的坐标，并判断P 是否在该抛物线上第 1 题图分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 3， 0） 、B（1，0） 、C（ 0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D（2）由 P 在 AD 上，则可求AD 解析式表示P 点由 SAPE=?PE? yP，所以 S可表示，进而由函数最值性质易得S最值（3）由最值时， P 为（， 3） ，则 E 与 C 重合画示意图，P过作 PMy 轴，设边长通

7、过解直角三角形可求各边长度，进而得P坐标判断P是否在该抛物线上，将xP坐标代入解析式，判断是否为yP即可解答：解： （ 1）抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 3，0） 、 B（1，0） 、C（0，3）三点，解得，解析式为y=x22x+3 x22x+3=（ x+1）2+4，抛物线顶点坐标D 为（ 1，4） （2） A（ 3，0） ，D（ 1， 4） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习好资料欢迎下载设 AD 为解析式为y=kx+b，有，解得，AD 解析式： y=2x+6，P 在 AD 上， P（x，2x+6

8、） ，SAPE=?PE?yP=?（ x）?（2x+6）=x23x（ 3x 1） ，当 x=时， S取最大值（3）如图 1，设 P F 与 y 轴交于点 N，过 P 作 P My 轴于点 M， PEF 沿 EF 翻折得 P EF，且 P（， 3） ， PFE=P FE，PF=P F=3，PE=PE=，PFy 轴， PFE=FEN， PFE=P FE， FEN=P FE， EN=FN，设 EN=m，则 FN=m，P N=3m在 RtPEN 中，（ 3m）2+（）2=m2， m=S P EN=?PN?PE=?EN?P M， PM=在 RtEMP 中， EM=， OM=EOEM=，P（， ） 当 x=

9、时， y=（）22?+3= ，点 P不在该抛物线上点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、 性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习好资料欢迎下载（2014?攀枝花，第24 题 12 分）如图，抛物线y=ax28ax+12a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（ A在 B 的左侧），与 y 轴交于点C，点 D 的坐标为（ 6，0） ，且 ACD=90 （1）请直接写出A、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3

10、）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于 y 轴的直线 m 从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动，到点 A 停止 设直线 m 与折线 DCA 的交点为 G，与 x 轴的交点为H（t，0） 记 ACD 在直线 m 左侧部分的面积为s，求 s关于 t 的函数关系式及自变量t 的取值范围分析： （1）令 y=ax28ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B 的坐标；（2）由 ACD=90 可知 ACD 为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a 的值，进而求出抛物线的解析式；（3） PAC 的周长 =AC

11、+PA+PC ， AC 为定值，则当 PA+PC 取得最小值时， PAC 的周长最小 设点 C 关于对称轴的对称点为C，连接AC与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P 即为所求；（4）直线 m 运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解解答： 解： （1）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（ a0） ，令 y=0，即 ax28ax+12a=0，解得 x1=2， x2=6， A（2，0） ，B（6，0） （2）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a 0） ，令 x=0，得 y=12a， C（0，12a） ， OC=12a在 RtCOD 中，由勾股定理得：CD2=OC2

12、+OD2= （12a）2+62=144a2+36；在 RtCOD 中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2= （12a）2+22=144a2+4；在 RtCOD 中， 由勾股定理得： DC2+AC2=AD2 ；即： （144a2+36）+（144a2+4）=82，解得： a=或 a=（舍去），抛物线的解析式为：y=x2x+（3）存在对称轴为直线：x=4由（ 2）知 C（0，） ，则点 C 关于对称轴x=4 的对称点为C（ 8，） ，连接 AC ，与对称轴交于点P，则点 P 为所求此时PAC 周长最小，最小值为AC+AC 设直线 AC 的解析式为y=kx+b ，则有：精选学习资料 - - - -

13、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习好资料欢迎下载，解得，y=x当 x=4 时， y=， P（4，） 过点 C作 CEx 轴于点 E，则 CE=，AE=6 ，在 RtAC E 中，由勾股定理得：AC =4；在 RtAOC 中，由勾股定理得：AC=4AC+AC =4+4存在满足条件的点P，点 P 坐标为（ 4，） ， PAC 周长的最小值为4+4（4）当 6t 0时，如答图41 所示直线 m 平行于 y 轴，即，解得： GH=（6+t）S=SDGH=DH?GH= （6+t）?（6+t）=t2+2t+6；当 0t 2 时，如答图42 所示直线

14、m 平行于 y 轴，即，解得： GH= t+2S=SCOD+S 梯形 OCGH=OD?OC+ （GH+OC ）?OH= 6 2+（t+2+2）?t=t2+2t+6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习好资料欢迎下载S=点评： 本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大第（3）考查最值问题，注意利用轴对称的性质；第（4）问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的计算（2014? 山东烟台，第26 题 12 分）如图，在平

15、面直角坐标系中，RtABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上， ACB=90 ，OA=，抛物线y=ax2axa 经过点 B（2，） ，与 y 轴交于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由分析： （1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过 AOC CFB 求得 OC 的值，通过OCD FCB 得出 DC=CB， OCD=FCB，然后得出结论（3）设直线AB 的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E 的坐标，然后通过解三角函数求得结果解答： （

16、1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式，得=a 222aa，解得 a=，抛物线的表达式为y=x2x（2）连接 CD，过点 B 作 BFx 轴于点 F，则 BCF+ CBF=90 ACB=90 ， ACO+BCF =90 ， ACO=CBF ， AOC=CFB=90 ， AOC CFB，=，设 OC=m，则 CF=2m，则有=，解得 m=m=1， OC=OF=1，当 x=0 时 y=， OD=， BF=OD， DOC=BFC=90 ， OCD FCB ， DC=CB， OCD=FCB，点 B、C、 D 在同一直线上，点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，点 B 关于直线AC 的对称点在抛物线上

17、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习好资料欢迎下载（3）过点 E 作 EGy 轴于点 G，设直线AB 的表达式为y=kx+b，则，解得 k=，y=x+，代入抛物线的表达式x+=x2x解得 x=2 或 x= 2，当 x=2 时 y=x+= （ 2）+=，点 E 的坐标为（ 2，） ， tanEDG=， EDG=30 tanOAC=， OAC=30 ， OAC=EDG， EDAC点评： 本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握(2014 年湖北咸宁23 （1

18、0 分） )如图 1，P（m，n）是抛物线y=1 上任意一点， l 是过点（ 0，2）且与 x 轴平行的直线，过点P 作直线 PHl，垂足为H【探究】（1）填空：当m=0 时， OP=1，PH=1；当 m=4 时， OP=5，PH=5；【证明】（2）对任意m，n，猜想 OP 与 PH 的大小关系，并证明你的猜想【应用】（3）如图 2，已知线段AB=6 ，端点 A，B 在抛物线y= 1 上滑动，求A，B 两点到直线l 的距离之和的最小值分析：（1）m 记为 P点的横坐标 m=0 时，直接代入 x=0，得 P （0，1） ，则 OP，PH 长易知 当m=4 时，直接代入x=4，得 P（4，3） ，

19、OP 可有勾股定理求得，PH=yP（ 2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习好资料欢迎下载（2）猜想 OP=PH证明时因为P 为所有满足二次函数y=1 的点，一般可设（m，1） 类似（ 1）利用勾股定理和PH=yP（ 2）可求出OP 与 PH，比较即得结论（3）考虑（ 2）结论，即函数y=1 的点到原点的距离等于其到l 的距离要求A、B 两点到 l 距离的和，即 A、 B两点到原点的和， 若 AB 不过点 O， 则 OA+OB AB=6 ， 若 AB 过点 O， 则 OA+OB=AB=6 ，所以 OA+OB

20、6，即 A、B 两点到 l 距离的和 6，进而最小值即为6解答：（1）解： OP=1，PH=1；OP=5，PH=5如图 1，记 PH 与 x 轴交点为Q，当 m=0 时， P（0， 1） 此时 OP=1，PH=1当 m=4 时， P（4，3） 此时 PQ=3，OQ=4，OP=5，PH=yP（ 2）=3（ 2）=5（2）猜想： OP=PH证明：过点P 作 PQx 轴于 Q，P 在二次函数y=1 上，设 P（m，1） ，则 PQ=|1|，OQ=|m|， OPQ 为直角三角形，OP=，PH=yP（ 2）=（1）（ 2）=，OP=PH（3）解：如图2，连接 OA，OB，过点 A 作 AC l 于 C，

21、过点 B 作 BDl 于 D，此时 AC 即为 A 点到 l 的距离， BD 即为 B 点到 l 的距离则有 OB=BD ，OA=AC ，在 AOB 中， OB+OA AB， BD+AC AB当 AB 过 O 点时， OB+OA=AB ， BD+AC=AB 综上所述，BD+AC AB，AB=6 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习好资料欢迎下载BD+AC 6，即 A，B 两点到直线l 的距离之和的最小值为6点评：本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最

22、短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习( 2014 年河南 ) (23. 11 分） 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0),B(5,0） 两点，直线 y=34x+3与 y 轴交于点 C， ，与 x 轴交于点D.点 P是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为m。（1）求抛物线的解析式；（2）若 PE =5EF,求 m 的值；（3）若点 E/是点 E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P，使点 E/落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不

23、存在，请说明理由。解： (1)抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A (1,0) , B(5,0)两点，220=1b+c0=55b+c（）b=4c=5抛物线的解析式为y=x2+4x+53 分（ 2）点 P 横坐标为m，则 P(m,m24m5）,E(m,34m+3)，F(m,0), 点 P 在 x 轴上方，要使PE=5EF,点 P 应在 y 轴右侧，0m5. PE=m2 4m 5 (34m 3)= m2194m24 分分两种情况讨论：当点 E 在点 F 上方时， EF=34m3. PE=5EF，m2194m2=5(34m3) 即 2m217m26=0，解得 m1=2， m2=132（舍去）

24、 6 分当点 E 在点 F 下方时， EF=34m3. PE=5EF，m2194m2=5(34m 3)，即 m2m17=0，解得 m3=1692，m4=1692（舍去），EFABDCOPyX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习好资料欢迎下载 m 的值为 2 或16928分(3),点 P 的坐标为P1(12，114),P2(4，5), P3(311，2113). 11 分【提示】 E 和 E/关于直线PC 对称， E/CP=ECP; 又 PEy 轴， EPC=E/CP=PCE, PE=EC, 又 CECE/，四边

25、形PECE/为菱形过点 E 作 EMy 轴于点 M, CME COD， CE=5m4. PE=CE,m2194m2=54m 或m2194m2=54m，解得 m1=12， m2=4， m3=311，m4=3+11（舍去）可求得点P 的坐标为P1(12，114),P2(4，5), P3(311，2113)。（2014?广州 , 第 24 题 14 分）已知平面直角坐标系中两定点A（ -1， 0） ，B（4， 0） ，抛物线（）过点 A、B，顶点为 C点 P（m，n） （n0）为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标（2）当 APB 为钝角时，求m 的取值范围（3）若，当 APB 为直角

26、时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C 移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由E/MEFABDCOyXPE/MEFABDCOyXP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学习好资料欢迎下载【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法; (2)存在性问题,相似三角形; (3)最终问题 ,轴对称 ,两点之间线段最短【答案】 (1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得 : 抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物

27、线得(2)如图 ,当时,设, 则过作直线轴, (注意用整体代入法) 解得,当在之间时，或时，为钝角 . (3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5 各单位到处沿轴对称为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习好资料欢迎下载当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入即将代入，得：，解得：当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP C周长最小。（2014?四川泸州， 第 25 题，12 分）如图， 已知一次函数y1=x+b 的图象 l 与二

28、次函数y2=x2+mx+b的图象 C 都经过点 B（0， 1）和点 C，且图象 C过点 A（2，0） （1）求二次函数的最大值；（2） 设使 y2y1成立的 x 取值的所有整数和为s， 若 s 是关于 x 的方程=0 的根，求 a 的值；（3）若点 F、 G 在图象 C上，长度为的线段 DE 在线段 BC 上移动， EF 与 DG 始终平行于y 轴，当四边形 DEFG 的面积最大时，在x 轴上求点P，使 PD+PE 最小，求出点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习好资料欢迎下载考点 ： 二次函数综合题

29、分析： （1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；（2）联立 y1与 y2得，求出点C 的坐标为 C（，） ，因此使 y2y1成立的 x 的取值范围为0 x，得 s=1+2+3=6；将 s 的值代入分式方程，求出a 的值；（3）第 1 步：首先确定何时四边形DEFG 的面积最大如答图 1，四边形 DEFG 是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E 的坐标；第 2 步：利用几何性质确定PD+PE 最小的条件，并求出点P的坐标如答图 2，作点 D 关于 x 轴的对称点D，连接DE，与 x 轴

30、交于点P根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE 最小利用待定系数法求出直线DE 的解析式，进而求出点 P 的坐标解答： 解： （1）二次函数y2=x2+mx+b 经过点 B（0，1）与 A（2，0） ，解得l：y1=x+1；C： y2=x2+4x+1 y2= x2+4x+1= （ x2）2+5，ymax=5；（2）联立 y1与 y2得：x+1= x2+4x+1 ，解得 x=0 或 x=，当 x=时， y1= +1=，C（，） 使 y2y1成立的 x 的取值范围为0 x，s=1+2+3=6代入方程得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

31、-第 14 页，共 19 页学习好资料欢迎下载解得 a= ；（3）点 D、E 在直线 l：y1=x+1 上，设 D（p，p+1） ，E（q，q+1） ，其中 qp0如答图 1，过点 E 作 EHDG 于点 H，则 EH=q p，DH=（q p） 在 RtDEH 中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（ qp）2+（qp） 2=（）2，解得 qp=2，即 q=p+2EH=2，E（p+2，p+2） 当 x=p 时， y2=p2+4p+1，G（p， p2+4p+1） ，DG=（ p2+4p+1）（p+1）= p2+p；当 x=p+2 时， y2=（ p+2）2+4（ p+2）+1= p2+5，

32、F（p+2， p2+5）EF=（ p2+5）（p+2）=p2p+3S四边形DEFG=（DG+EF） ?EH=（ p2+p）+（ p2p+3） 2=2p2+3p+3 当 p=时，四边形DEFG 的面积取得最大值，D（，） 、E（，） 如答图 2 所示，过点D 关于 x 轴的对称点D，则 D（，） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习好资料欢迎下载连接 DE，交 x 轴于点 P，PD+PE=PD +PE=DE，由两点之间线段最短可知，此时PD+PE 最小设直线 D E 的解析式为： y=kx+b ，则有，解得直线

33、 D E 的解析式为： y=x令 y=0，得 x=，P（，0） （2014?海南 , 第 24 题 14 分）如图，对称轴为直线x=2 的抛物线经过A（ 1，0） ，C（0，5）两点，与 x 轴另一交点为B已知 M（0，1） ，E（a，0） ，F（a+1，0） ，点 P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a=1 时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时， 四边形 PMEF 周长最小？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

34、16 页，共 19 页学习好资料欢迎下载分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P 坐标；（3）四边形 PMEF 的四条边中，PM、EF 长度固定，因此只要ME+PF 最小，则 PMEF 的周长将取得最小值如答图 3 所示， 将点 M 向右平移1 个单位长度 （EF 的长度），得 M1（1，1） ；作点 M1关于 x 轴的对称点M2， 则 M2（1， 1） ； 连接 PM2， 与 x 轴交于 F 点， 此时 ME+PF=PM2最小解答： 解： （1）对称轴为直线x=2，设抛物线解析式为y=a（x2）2+k将

35、A（ 1，0） ，C（0，5）代入得：，解得，y=（ x2）2+9=x2+4x+5 （2）当 a=1 时， E（1，0） ，F（2，0） ，OE=1，OF=2设 P（x， x2+4x+5 ） ，如答图 2，过点 P作 PNy 轴于点 N，则 PN=x， ON=x2+4x+5，MN=ON OM= x2+4x+4 S四边形MEFP=S梯形OFPNSPMNSOME=（PN+OF）?ONPN?MN OM?OE =（ x+2） （ x2+4x+5 ） x?（ x2+4x+4 ） 1 1 = x2+x+ =（ x）2+当 x=时，四边形MEFP 的面积有最大值为，此时点 P 坐标为（，） （3） M（0，

36、1） ，C（0， 5） ， PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，点 P 的纵坐标为3令 y= x2+4x+5=3 ，解得 x=2点 P 在第一象限，P（2+，3） 四边形 PMEF 的四条边中， PM、EF 长度固定，因此只要ME+PF 最小，则 PMEF 的周长将取得最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习好资料欢迎下载如答图 3，将点 M 向右平移1 个单位长度 （EF 的长度），得M1（1，1） ；作点 M1关于 x 轴的对称点M2，则 M2（1， 1） ；连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时

37、 ME+PF=PM2最小设直线 PM2的解析式为y=mx+n ，将 P （2+，3） ，M2（1，1）代入得：，解得： m=， n=，y=x当 y=0 时，解得x= F（，0） a+1=， a=a=时，四边形PMEF 周长最小点评：本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（ 3）问主要考查了轴对称最短路线的性质试题计算量偏大，注意认真计算（2013 湖南张家界， 25，12 分）如图，抛物线y=ax2+bx+c （a 0）的图象过点C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且OD=OC （1）求直线CD 的解

38、析式；（2）求抛物线的解析式；（3） 将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E， 求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下，若点P是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P点和 F 点移动过程中， PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解答：解： （1） C（0，1） ，OD=OC ， D 点坐标为（ 1，0） 设直线 CD 的解析式为y=kx+b （k 0） ，将 C（0，1） ，D（1，0）代入得：，解得： b=1， k=1，直线 CD 的解析式为： y= x+1（ 2）设抛物线的解析式为y=

39、a（x2）2+3，将 C（0，1）代入得： 1=a （ 2）2+3，解得 a= y=（x 2）2+3=x2+2x+1（ 3）证明：由题意可知，ECD=45 ， OC=OD，且 OCOD， OCD 为等腰直角三角形，ODC=45 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习好资料欢迎下载 ECD= ODC， CEx 轴，则点C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，点E 的坐标为（ 4， 1） 如答图所示，设对称轴（直线x=2）与 CE 交于点 F，则 F（ 2，1） ， ME=CM=QM=2 ， QME 与QMC 均为等

40、腰直角三角形，QEC=QCE=45 又 OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45 ， QEC=QCE=ODC=OCD=45 ， CEQ CDO（ 4）存在如答图所示，作点C 关于直线QE 的对称点C，作点C 关于 x 轴的对称点C，连接 CC，交 OD于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下： 不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F，在线段 QE 上取异于点P的任一点P，连接 FC， FP， PC由轴对称的性质可知，P CF的周长 =FC+FP+PC；而 F C +FP+PC是点 C，

41、C之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：FC+FP+PC CC，即 PCF的周长大于 PCE 的周长）如答图所示，连接CE， C，C关于直线QE 对称， QCE 为等腰直角三角形， QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（4， 5） ； C，C关于 x 轴对称，点C的坐标为（1，0） 过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6 ，在 Rt C NC中，由勾股定理得：C C =综上所述，在P点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页