2022年二次函数-因动点产生的等腰三角形问题典型例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次函数 - 因动点产生的等腰三角形问题例 1、如图 1，在 RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90（1）求ED、EC的长；（2）若BP2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长图 1 备用图思路点拨1第（ 2）题BP2 分两种情况2解第（ 2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ满分解答（1）在 RtABC中， AB6，A

2、C8，所以BC10在 RtCDE中，CD5，所以315tan544EDCDC，254EC（2）如图 2，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是ABC的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以43PMDMQNDN所以34QNPM，43PMQN图 2 图 3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载如图 3，当BP2，P在BM上时，PM1此时3344QNPM所以319444CQCNQN如图 4，当BP2，P在MB的延长线上时，PM

3、 5此时31544QNPM所以1531444CQCNQN（3）如图 5，如图 2，在 Rt PDQ中，3tan4QDDNQPDPDDM在 RtABC中，3tan4BACCA所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形如图 5，当CQCD5 时，QNCQCN54 1（如图 3 所示） 此时4433PMQN所以45333BPBMPM如图 6，当QCQD时，由cosCHCCQ，可得5425258CQ所以QNCNCQ257488（如图 2 所示）此时4736PMQN所以725366BPBMPM不存在DPDF的情况这是因为DFPDQP

4、DPQ（如图 5，图 6 所示）图 5 图 6 考点伸展如图 6，当CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解256BP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 2 、如图 1，抛物线yax2bxc经过A( 1,0) 、B(3, 0) 、C(0 ,3) 三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出

5、所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（ 2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（ 3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A( 1,0) 、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3) ，代入点C(0 ,3)，得 3a3解得a 1所以抛物线的函数关系式是y (x1)(x3) x22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由BHPHBOCO，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为 (1, 2)图 2 （3）点M的

6、坐标为 (1, 1)、(1,6) 、(1,6) 或(1,0) 考点伸展第（ 3）题的解题过程是这样的：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载设点M的坐标为 (1,m) 在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图 3，当MAMC时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为 (1, 1)如图 4，当AMAC时，AM2AC2解方程 4m210，得6m此时点M的坐标为 (1,6) 或(1,6) 如图 5，当CMCA时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得m0 或 6当

7、M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为 (1,0) 图 3 图 4 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 3、如图 1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的

8、距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（1）如图 2，过点B作BCy轴，垂足为C在 RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，2 3OC所以点B的坐标为( 2, 2 3)（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4) ，代入点B( 2, 2 3)，2 32( 6)a解得36a所以抛物线的解析式为2332 3(4)663yx xxx（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为 (2, y) 当OPOB4 时，OP216所以 4+y2 16解得2 3y当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2） 当

9、BPBO4 时，BP216所以224(2 3)16y解得122 3yy当PBPO时，PB2PO2所以22224(2 3)2yy解得2 3y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载综合、，点P的坐标为(2, 2 3)，如图 2 所示图 2 图 3 考点伸展如图 3， 在本题中， 设抛物线的顶点为D， 那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由2332 3(4)(2)663yx xx，得抛物线的顶点为2 3(2,)3D因此2 3tan3DOA所以DOA30，ODA 120精选学习资料 - - - - - -

10、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 4、如图 1，已知一次函数yx7 与正比例函数43yx的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；（2） 过点A作ACy轴于点C， 过点B作直线l/y轴 动点P从点O出发，以每秒1 个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移， 在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角

11、形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8 的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点A的坐标是 (3，4) 令70yx，得7x所以点B的坐标是 (7，0) （2）如图 2，当P在OC上运动时， 0t4由8AP RACPPORCORASSSS梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t

12、ttt（整理，得28120tt解得t2 或t6（舍去）如图 3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2 时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载图 2 图 3 图 4 我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图 1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，4 2AB，所以OBAB因此OABAOBB如图 4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分

13、线上，OR 2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中，3cos5A为定值，7APt ，5520333AQOAOQOAORt如图 5，当APAQ时，解方程520733tt，得418t如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP 2(OROP) 解方程72(7)(4)ttt，得5t如7， 当PAPQ时 ， 那 么12cosAQAAP 因 此2cosAQAPA 解 方 程52032(7)335tt，得22643t综上所述，t1 或418或 5 或22643时，APQ是等腰三角形图 5 图 6 图 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

14、纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载考点伸展当P在CA上，QPQA时，也可以用2cosAPAQA来求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 5 、如图 1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于 0 的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m 8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图 1思

15、路点拨1证明DCEEBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式2第（ 2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值3第（ 3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达一段是说理，如果DEF为等腰三角形，那么得到xy；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值满分解答(1) 因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB 又因为CB90，所以DCEEBF因此DCEBCEBF，即8mxxy整理，得y关于x的函数关系为218yxxmm(2) 如图 2，当m8 时，2211(4)288yxxx因此当x4 时，y取得最大值为

16、 2(3) 若12ym，那么21218xxmmm整理，得28120 xx解得x2 或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy2 代入12ym，得m6（如图3） ；将xy6 代入12ym，得m2（如图 4） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载图 2 图 3 图 4 考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（ 1）题得到218yxxmm221116(8 )(4)xxxmmm，那么不论m为何值，当x4 时，y都取得最大值对应的几何意义是

17、，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值第（2）题m8 是第（ 1）题一般性结论的一个特殊性再如，不论m为小于 8 的任何值，DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程218xxxmm总有一个根8xm的第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 6、如图 1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点， 过点E作EF/BC交CD于点F，AB 4，BC 6，B60（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMEF交BC于M

18、，过M作MN/AB交折线ADC于N，连结PN，设EPx当点N在线段AD上时（如图2） ，PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3） ，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2 图 3 思路点拨1先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF 4，这是x的变化范围平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等2当点N在线段AD上时，PMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要3分三种情况

19、讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题满分解答（1）如图 4，过点E作EGBC于G在 RtBEG中，221ABBE，B60，所以160cosBEBG，360sinBEEG所以点E到BC的距离为3（2）因为AD/EF/BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点因此EF是梯形ABCD的中位线，EF4如图 4，当点N在线段AD上时，PMN的形状不是否发生改变过点N作NHEF于H，设PH与NM交于点Q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG3在平行四边

20、形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH2PQ2在 RtPNH中，NH3，PH2，所以PN7在平行四边形ABMN中，MNAB4因此PMN的周长为374图 4 图 5 当点N在线段DC上时，CMN恒为等边三角形如图 5，当PMPN时，PMC与PNC关于直线PC对称，点P在DCB的平分线上在 RtPCM中，PM3，PCM30，所以MC3此时M、P分别为BC、EF的中点，x 2如图 6，当MPMN时，MPMNMC3，xGMGCMC53如图 7，当NPNM时，NMPNPM30，所以PNM120又因为FNM120，所以P与F重合此时x4综上所述，当x

21、2 或 4 或 53时，PMN为等腰三角形图 6 图 7 图 8 考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载第（ 2）题求等腰三角形PMN可以这样解：如图 8，以B为原点，直线BC为x轴建立坐标系，设点M的坐标为（m，0） ，那么点P的坐标为（m，3） ，MNMC6m，点N的坐标为（26m，2)6(3m） 由两点间的距离公式，得21922mmPN当PMPN时，92192mm，解得3m或6m此时2x当MPMN时，36m，解得36m，此时35x当NPNM时，22)6(219mmm，解得5m，此时4x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页