2022年二次函数动点产生矩形问题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载二次函数压轴之矩形问题1 （2015 宜宾）如图，抛物线y=12x2+bx+c 与 x 轴分别相交于点A（ 2，0） 、 B（4，0） ，与 y 轴交于点C，顶点为点 P. （1）求抛物线的解析式；（2）动点 M 、N从点 O同时出发，都以每秒1 个单位长度的速度分别在线段OB 、OC上向点 B、C方向运动，过点M作 x 轴的垂线交BC于点 F，交抛物线于点H. 当四边形OMHN 为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使 PFB为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。OHFPMNCBAyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

2、 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载2 （2015 成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2 2ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点A在点 B的左侧），经过点A的直线 l ：ykxb 与 y 轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且 CD 4AC （1）直接写出点A的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k、b 用含 a 的式子表示）；（2）点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为54，求 a 的值；（3）设 P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出

3、点 P的坐标；若不能，请说明理由x y O A B D l C 备用图x y O A B D l C E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载3. （2013?衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0） ，B（0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点 Q从点 O出发，以每秒1 个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从 M从 O点出发以每秒3 个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作 x 轴的垂线交线段AB于点 N，交抛物线于点P，设运动的时间为t 秒当 t 为何值时，四

4、边形OMPQ 为矩形； AON能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由解： （1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，点 A（1， 0） ，B（ 0，3）在抛物线上，解得： a=1，k=4，抛物线的解析式为：y=（ x+1）2+4（2）四边形OMPQ 为矩形， OM=PQ ，即 3t= （t+1 ）2+4，整理得： t2+5t3=0，解得 t=，由于 t=0，故舍去，当 t=秒时，四边形OMPQ 为矩形；RtAOB中， OA=1 ，OB=3 ， tanA=3 若 AON为等腰三角形，有三种情况：（I ）若 ON=AN ，如答图1所示：过点 N作 ND OA于点

5、 D，则 D为 OA中点， OD= OA= ， t=；（II ）若 ON=OA ，如答图2 所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载过点 N作 ND OA于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD ? tanA=3x ，OD=OA AD=1 x，在 RtNOD 中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，即（ 1x）2+（3x）2=12，解得 x1=，x2=0（舍去）， x=，OD=1 x=， t=；（III）若 OA=AN ，如答图3 所示：过点 N作 ND OA于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD

6、 ? tanA=3x ，在 RtAND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即（ x）2+（ 3x）2=12，解得 x1=，x2=（舍去）， OD=1 x=1， t=1综上所述，当t 为秒、秒， （1）秒时， AON 为等腰三角形4. （2013?常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0， 3） ，B（，） ，对称轴为直线x=，点 P是抛物线上的一动点， 过点 P分别作 PM x 轴于点 M ， PN y 轴于点 N， 在四边形PMON 上分别截取PC= MP ， MD= OM ， OE= ON ，NF= NP （1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D 、 E、F 为顶点的四边形C

7、DEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k，点 A （0，3） ，B （，）在抛物线上， ，解得： a=1，k=抛物线的解析式为：y=（x+）2=x2+x3（2）证明：如右图，连接CD 、DE、EF、FC PM x 轴于点 M ，PN y 轴于点 N，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载四边形 PMON 为矩形， PM=ON ，PN=OM PC= MP ，OE

8、= ON ， PC=OE ；MD= OM ， NF= NP ， MD=NF ， PF=OD 在 PCF与 OED中， PCF OED （SAS ） ， CF=DE 同理可证： CDM FEN ， CD=EF CF=DE ，CD=EF ，四边形CDEF是平行四边形（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF 为矩形设矩形 PMON 的边长 PM=ON=m，PN=OM=n ，则 PC= m ， MC= m ，MD= n，PF= n若四边形 CDEF为矩形，则 DCF=90 ，易证 PCF MDC ，即，化简得： m2=n2， m=n ，即矩形PMON 为正方形点 P为抛物线y=x2+x3 与坐标象限角平分线y=x 或 y=x 的交点联立，解得， P1（，） ，P2（，） ；联立，解得， P3（ 3，3） ，P4（ 1，1） 抛物线上存在点P，使四边形CDEF 为矩形 这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，） ，P2（，） ，P3（ 3，3） ，P4（1，1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页