2022年二维形式的柯西不等式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二维形式的柯西不等式教学目标：1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义2.通过对二维柯西不等式多种形式的证明，掌握它们之间的关系，进一步理解柯西不等式的意义教学重难点：重点：柯西不等式的三种形式难点：柯西不等式的应用教学过程：一.新课引入数学研究中，发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式，称之为经典不等式。平均值不等式12121212(,)111nnnnnaaana aaa aaRnaaaLLLL我们今天将学习柯西不等式还有后面要学到的排序不等式都是这样的经典不等式。二.新课讲解首先我们从学习过的向量的角度来探究：【问题 1】已

2、知两向量,u r u r，它们之间的夹角为(0)，判断u r u r与u ru r的大小关系；分析：cosu r u ru ru rcosu r u ru ru ru ru r【问题 2】若在平面直角坐标系xOy中( , ),( , )a bc du ru r，用坐标表示上述关系式；分析：2222acbdabcd22222() ()()abcdacbd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载【问题 3】思考上述不等式的等号何时成立？分析：cos10/ /0adbcadbcu ru r或所以我们得到这样一个不

3、等式22222() ()()abcdacbd当且仅当adbc时，等号成立这个不等式直观上很像我们熟悉的重要不等式222abab ， 都是反映实数的平方和与乘积大小的关系，让同学们类比研究证明一下。证明一（比较法）：22222() ()()abcdacbd2222222222222a ca db cb da cb dacbd222222()0a db cacbdadbc当且仅当adbc时等号成立证明二（综合法）：222222222222() ()abcda cb da db c=2222222222a cac bdb da dad bcb c=22()()acbdadbc2()acbd当且仅当a

4、dbc时等号成立证明三：分析：设22Aab，Bacbd，22Ccd即要证2ACB这与函数2( )2f xAxBxC的判别式244BAC密切相关，则构造22222( )()2()()f xabxacbd xcd当0ab时，22222() ()()abcdacbd显然成立，此时adbc当,a b中至少有一个不为0 时，220ab222222( )(2)(2)f xa xacxcb xbdxd22()()0axcbxd恒成立由于220ab，所以222224()4() ()0acbdabcd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页

5、学习必备欢迎下载即22222() ()()abcdacbd此时要等号成立，那么f(x)有唯一零点，即有唯一实数 x 使00000axcabxbcbxdabadbcadbxadc【证法三相比前两种方法复杂的多，我在此加入的目的是为了后面讲解一般形式的柯西不等式证明时， 能先让同学们以此为基础自主探究试一试，也使同学们能更好的了解证明的思路， 由简入繁、举一反三。】此不等式就是柯西不等式的最简形式，即二维形式的柯西不等式。定理 1. （二维形式的柯西不等式）若a,b,c,d都是实数，则22222() ()()abcdacbd当且仅当 ad=bc 时，等号成立。这就是二维柯西不等式的代数形式，而前面

6、向量推导正好是柯西不等式的向量形式定理 2.( 柯西不等式的向量形式 )设,u r u r是两个向量，则u r u ru ru r当且仅当u r是零向量，或存在实数k，使ku ru r时，等号成立。注： “二维”指的是22222() ()()abcdacbd与二维向量相对应，所以称之为二维形式的柯西不等式。二维形式的柯西不等式的变形式2222abcdacbd2222abcdacbd当且仅当 ad=bc 时，等号成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载【探究】在平面直角坐标系中， 设12,P P 的坐标

7、分别为1122(,),(,)xyxy，根据12OPP的边长关系，你能发现1122,xy xy这 4 个实数蕴涵着何种大小关系吗？1212OPOPPP22222211221212()()xyxyxxyy当且仅当12,O P P三点共线且12,P P 在 O 两旁时等号成立定理 3. （二维形式的三角不等式，也叫柯西不等式的三角形式）设1122,xy xyR ，那么22222211221212()()xyxyxxyy分析：运用柯西不等式证明， 关键设法构造两数平方和乘另两数平方和的形式。证明：2222222222222112211221122()2xyxyxyxyxyxy2222112212122

8、xyxyx xy y22221122112222xx xxyy yy221212()()xxyy所以22222211221212()()xyxyxxyy推广：二维形式的三角不等式222222131323231212()()()()()()xxyyxxyyxxyy三. 例题讲解【例 1】已知 a,b 为实数，证明4422332()()()ababab. 分析：形式与二维形式的柯西不等式具有明显的一致性，因此比较容易考虑到应用柯西不等式进行证明。111(,)P xy222(,)P xyO 222(,)P xy111(,)P xyO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

9、 - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载【例 2】设,1a bRab,求证：114ab分析：本题可用均值不等式证明，柯西不等式又提供一种证明方法。【例 3】求函数354 6yxx的最大值。分析： 函数解析式化成 ac+bd的形式， 弄清对应于柯西不等式中a,b,c,d的 4 个数，要设法使2222()()abcd化为常数，才能求出函数的最大值。【练习】求函数51102yxx的最大值。三. 课堂练习：课本 P36习题 3.1 (3)(4) 四. 课堂小结定理 1. （柯西不等式的代数形式）若a,b,c,d都是实数，则22222() ()()abcdacbd当且仅当 ad=bc 时，等号成立。定理 2.( 柯西不等式的向量形式 ) 设,u r u r是两个向量，则u r u ru ru r当且仅当u r时零向量，或存在实数 k， 使ku ru r时， 等号成立。定理 3. （柯西不等式的三角形式）设1122,xy xyR，那么22222211221212()()xyxyxxyy思考题：试着写出三维形式的柯西不等式和三角不等式，想一想怎么证明呢？五. 作业：习题 P36习题 3.1(6)(7)(9) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页