2022年二项式定理 .pdf

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1、二项式定理一、 求展开式中特定项1、在3031()xx的展开式中，x的幂指数是整数的共有（）A4项 B5项 C6项 D7项【答案】 C 【解析】rrrrrrxCxxCT6515303303011，30.2, 1 ,0r，若要是幂指数是整数，所以r0，6，12，18，24，30，所以共 6 项，故选 C 3 、若2531()xx展开式中的常数项为 （用数字作答）【答案】 10 【解】 由题意得，令1x， 可得展示式中各项的系数的和为32， 所以232n， 解得5n，所以2531()xx展开式的通项为10 515rrrTC x，当2r时，常数项为2510C， 4 、二项式832()xx的展开式中的

2、常数项为【答案】 112 【解析】由二项式通项可得，3488838122rrrrrrrxCxxC)()()(T（r=0,1,8）, 显然当2r时，1123T，故二项式展开式中的常数项为112. 5、41(2)(13 )xx的展开式中常数项等于_【答案】14【解析】因为41(2)(13 )xx中4(13 )x的展开式通项为4C ( 3 )rrx，当第一项取2时，04C1，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x时，14C ( 3 )12x，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填146、 设20sin12cos2xaxdx， 则6212axxx的 展 开 式 中 常 数

3、项是【答案】332332200sin12cossincos( cossin )202xaxdxxx dxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页61()axx61(2)xx的展开式的通项为6631661(2)()( 1)2rrrrrrrrTCxCxx，所以所求常数项为36 3356 5566( 1)22( 1)2TCC332二、 求特定项系数或系数和7、8(2 )xy的展开式中62x y项的系数是（）A56 B56 C28 D28【答案】 A 【解析】由通式rrryxC)2(88， 令2r， 则展开式中62x y项的

4、系数是56)2(228C8、在 x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是【答案】 15 【解】61x的通项16rrrTC x，令2r可得2615C则61xx中3x的系数为 15. 9、在6(1)(2)xx的展开式中含3x的项的系数是【答案】 -55 【解析】6(1)(2)xx的展开式中3x项由336)(2xC和226)(x-xC）（两部分组成，所以3x的项的系数为552-2636CC10、已知dxxn16e1，那么nxx）（3展开式中含2x项的系数为【答案】 135 【解析】根据题意，66e111ln|6endxxx，则nxx）（3中，由二项式定理的通项公式1rn rrrnTC ab，可设含

5、2x项的项是616( 3)rrrrTC x，可知2r，所以系数为269135C11、已知10210012101111xaaxaxaxL，则8a等于（）A 5 B5 C90 D180 【答案】 D 因为1010(1)( 21)xx，所以8a等于8210( 2)454180.C选12、 在二项式321()2nxx的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大， 则n_；展开式中的第4 项_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页【答案】8，1937x【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n rn rrr

6、rrrrnnTCxxCx，由题意得，当且仅当4n时，rnC取最大值，8n，第 4 项为119(16 3)333381()72Cxx13、如果7270127(12 )xaa xa xa xL，那么017aaaL的值等于（）（A）1 （B）2 （C ）0 （D）2 【答案】 A 【 解 析 】 令1x， 代 入 二 项 式7270127(12 )xaa xa xa xL， 得70127(12)1aaaaL， 令0 x， 代入二项式7270127(12 )xaa xa xa xL，得70(10)1a，所以12711aaaL，即1272aaaL，故选 A14、 （2）7展开式中所有项的系数的和为【答案

7、】 -1 解：把 x=1 代入二项式，可得（2）7 =1，15、 （x2） （x1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】 0 解：在（ x2） （x1）5的展开式中，令x=1，即（ 12） （11）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、 在*1(3) ()nnNx的 展 开 式 中 ，所 有 项 的 系数和 为32， 则1x的 系 数等于【答案】270【 解 析 】 当1x时 ，322-n， 解 得5n， 那 么 含x1的 项 就 是xxC1270313225，所以系数是 -270. 17 、 设0(sincos )kxx dx， 若8822108)1 (xaxaxaakx， 则

8、1238aaaa【答案】 0. 【解析】由00(sincos )( cossin )kxx dxxx( cossin)(cos0sin 0)2，令1x得：80128(12 1)aaaaK，即01281aaaaK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页再令0 x得：80128(120)000aaaaK，即01a所以12380aaaa18、设（ 5x）n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N，若 M N=240 ，则展开式中 x 的系数为 . 【答案】 150 解：由于（ 5x）n的展开式的各项系数和M与变量 x 无关，

9、故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M= （51）n=4n再由二项式系数和为N=2n，且 M N=240 ，可得 4n2n=240，即 22n2n240=0. 解得 2n=16，或 2n=15（舍去），n=4.（5x）n的展开式的通项公式为 Tr+1=？ （5x）4r？（ 1）r？= （1）r？54r？令 4=1，解得 r=2 ，展开式中x 的系数为（ 1）r？54r=1625=150，19、设8877108)1(xaxaxaax，则178aaaL【答案】255【解析】178aaaL87654321aaaaaaaa，所以令1x，得到82876543210aaaaaaaaa，所以2551256

10、-20887654321aaaaaaaaa三、 求参数问题20、若312nxx的展开式中第四项为常数项，则n（）A4 B5 C6 D7【答案】 B 【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(nnnnxCxxCT，第四项为常数，则必有025n，即5n，所以正确选项为B. 21、二项式)()1(*Nnxn的展开式中2x的系数为 15，则n（）A、5 B、 6 C、8 D、10 【答案】 B 【解析】二项式)()1(*Nnxn的展开式中的通项为knknkxCT1，令2kn，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页

11、，共 5 页2nk，所以2x的系数为152)1(22nnCCnnn，解得6n；故选 B22、(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数 a_ 【答案】 2 【解析】4r+14T=Crrra x， 当43r，即1r时，133324T =C48,2axaxxa23、若411xax的展开式中2x的系数为 10，则实数a（）A10或 1 B53或 1 C2 或53 D10【答案】 B【解析】由题意得4(1)ax的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14rrrrTC a x，22144101C aC aa或53，故选 B24 、 设23(1)(1)(1)(1)nxxxx2012nnaa x

12、a xa x，当012254naaaa时，n等于（）A5 B6 C7 D8 【答案】 C【解析】令1x，则可得2312(21)22222225418721nnnnn，故选 C四、 其他相关问题25、20152015除以 8 的余数为 ( ) 【答案】 7 【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8 的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数试题解析：解： 20152015=2015=？20162015？20162014+？20162013？20162012+？2016，故 20152015除以 8 的余数为=1，即 20152015除以 8 的余数为 7，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页