新课标小学数学奥林匹克辅导及练习-找出数列的排列规律（一）(含答案)-.pdf

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1、1找出数列的排列规律（一） 找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法,在解数学题时人们也常常使用它,下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题.（一）思路指导 例 1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数. 1,2,5,10,17,（ ）,（ ）,50 分析与解： 这个数列的排列规律是什么?我们逐项分析： 第一项是：1 第二项是：2,2111第一项 第三项是：5,5233第二项 第四项是：10,10555第三项 可以看出,这个数列从第二项起,每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1,3,5,7,9,这样我们就可以由第五项算出括号内的数了,即： 第一个括号里应填17926;第 2

2、 个括号里应填261137. 例 2. 自 1 开始,每隔两个整数写出一个整数,这样得到一个数列： 1,4,7,102 问：第 100 个数是多少? 分析与解： 这个题由于数太多,很难像例 1 那样递推,我们可以换一种思路： 数列中每相邻两个数的差都是 3,我们把这样的数列叫做等差数列.我们把“3”叫做这个等差数列的公差. 观察下面的数列是等差数列吗?如果是,它们的公差是几? （1）2,3,4,5,6,7 （2）5,10,15,20,25,30 （3）1,2,4,8,16 （4）12,14,16,18,20 现在我们结合例 2 找一找每一项与第一项,公差有什么关系? 第 1 项是 1,第二项比

3、第一项多 3,第三项比第一项多 2 个 3,第四项比第一项多 3 个3,依次类推,第 100 项就比第一项多 99 个 3,所以第 100 个数是110013298. 由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项（这项的项数1）公差 我们把这个公式叫做等差数列的通项公式.利用通项公式可以求出等差数列的任一项. 试试看：你能求出数列 3,5,7,9中的第 92 个数是多少吗? 例 3. 已知一列数：2,5,8,11,14,44,问：44 是这列数中的第几个数? 分析与解：显然这是一个等差数列,首项（第一项）是 2,公差是 3.我们观察数列中每一个数的项数与首项 2,公差 3 之间有

4、什么关系? 以首项 2 为标准,第二项比 2 多 1 个 3,第三项比首项多 2 个 3,第四项比首项多 3 个3,44 比首项 2 多 42,多 14 个 3,所以 44 应排在这个数列中的第 15 个数.3 由此可得,在等差数列中,每一项的项数都等于： （这一项首项）公差1 这个公式叫做等差数列的项数公式,利用它可以求出等差数列中任意一项的项数. 试试看：数列 7,11,15,195,共有多少个数? 例 4. 观察下面的序号和等式,填括号.序号1234（ ）等式1236357155811247111533( )+( )+7983=( ) 分析与解： 表中等式的第 1 个加数是 1,3,5,

5、7,9,是一个等差数列,公差是 2,第二个加数也是一个等差数列,公差是 3,第三个加数也是一个等差数列,公差是 4,和同样是一个等差数列,公差是 9.由于第三个加数的最后一项是 7983,可以根据等差数列的项数公式求出 7983是 3,7,11,15这个等差数列的第几项,也就是序号.79833411996.这样我们就可以分别求出各个等差数列的第 1996 项是多少了,利用通项公式： 1199612399121996135987619961917961 综上所述,括号里应填的数是： （1996） （3991）（5987）7983（17961）4 例 5. 已知数列 1,4,3,8,5,12,7,

6、16,问：这个数列中第 1997 个数是多少?第 2000个数呢? 分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律,注意观察这个数列的单数项和双数项,它们各自的排列规律为： 单数项：1,3,5,7, 双数项：4,8,12,16, 显然,它们各自均成等差数列. 为了求出这个数列中第 1997 个数和第 2000 个数分别是多少,必须先求出它们各自在等差数列中的项数,其中： 第 1997 个数在等差数列 1,3,5,7,中是第()199712999个数; 第 2000 个数在等差数列 4,8,12,16,中是第200021000 个数. 所以,第 1997 个数是1999121997. 第 2000

7、个数是41000144000答题时间：40 分钟（二）尝试体验 1. 按规律填数. （1）1,2,4,（ ）,16; （2）1,4,9,16,（ ）,36,49; （3）0,3,7,12,（ ）,25,33; （4）1,1,2,3,5,8,（ ）,21,34;5 （5）2,7,22,64,193,（ ）. 2. 数列 3,6,9,12,15,387 共有多少个数?其中第 50 个数是多少? 3. 有数组（1,1,1）,（2,4,8）,（3,9,27）,求第 100 组的三个数之和. 4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数,请将它们找出来： （1）6,12,3,27,21,10,15,30,

8、; （2）2,3,5,8,12,16,23,30,.6【试题答案】（二）尝试体验 1. 按规律填数. （1）1,2,4,（ ）,16; （2）1,4,9,16,（ ）,36,49; （3）0,3,7,12,（ ）,25,33; （4）1,1,2,3,5,8,（ ）,21,34; （5）2,7,22,64,193,（ ）. 答案： （1）后一个数是前一个数的 2 倍：1,2,4,（8）,16; （2）从 1 开始自然数的平方数：1,4,9,16,（25）,36,49; （3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0,3,7,12,（18）,25,33; （4）前两个数之和等于后面的数：1,1,2,3,5,

9、8,（13）,21,34; （5）后一个数总是前一个数的 3 倍多 1：2,7,22,64,193,（580）. 2. 数列 3,6,9,12,15,387 共有多少个数?其中第 50 个数是多少? 38733112935013150 答：共有 129 个数,其中第 50 个数是 150. 3. 有数组（1,1,1）,（2,4,8）,（3,9,27）,求第 100 组的三个数之和. 每组第 1 个数是按自然数顺序排列的,公差是 1 的等差数列 每组第 2 个数是平方数 每组第 3 个数是立方数7 第 100 组的三个数之和是100100100101010023 4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数,请将它们找出来： （1）6,12,3,27,21,10,15,30,; （2）2,3,5,8,12,16,23,30,. 答案： （1）这列数中每一个数都是 3 的倍数,只有 10 不是. （2）这列数中从第 2 项起,每一项都等于相邻的前一项分别加上 1,2,3,4,5,这样第 6 个数应该是 12+5=17,不是 16.所以,16 是“与众不同”的数.