2022年中考数学专题复习第十五讲：二次函数的应用-教师版 .pdf

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1、中考数学专题复习第十五讲二次函数的应用【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二次函数y= ax2+bx+c 的同象与x 轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的实数根，它们都由根的判别式决定抛物线 x 轴有个交点 b2-4ac0一元二次方程有实数根抛物线 x 轴有个交点 b2-4ac=0一元二次方程有实数根抛物线 x 轴有个交点 b2-4ac0一元二次方程有实数根【名师提醒：若抛物线与x 轴有两交点为A（x1,0）B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离 AB 】二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入

2、这一点外 ，再知道一个点的坐标即可求函数解析式2、设一般式，即：设知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式【名师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以 y 轴为对称轴，可设顶点在 x 轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：步骤： 1、分析数量关系建立模型2、设自变量建立函数关系3、确定自变量的取值范围4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题一般步骤： 1、求一些特殊点的坐标2、

3、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题【名师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例 1 （2012?呼和浩特）已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12yx上，点 N 在直线 y=x+3 上，设点M 的坐标为（ a，b） ，则二次函数y=-abx2+（ a+b） x（）A有最大值，最大值为92B有最大值，最大值为92C有最小值，最小值为92D有最小

4、值，最小值为92思路分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可解： M，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为（ a，b） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 34 页N 点的坐标为（ -a，b） ，又点 M 在反比例函数12yx的图象上，点N 在一次函数y=x+3 的图象上，123baba，整理得123 abab，故二次函数y=-abx2+（a+b）x 为 y=12x2+3x，二次项系数为120，故函数有最大值，最大值为y=239124()2，故选： B点评：本题考查的是二次

5、函数的最值求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法本题是利用公式法求得的最值对应训练1 （2012?兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a0 ）有最小值1，则 a，b 的大小关系为（）Aab Bab Ca=b D不能确定1A 解：二次函数y=a（x+1）2-b（a0 ）有最小值，抛物线开口方向向上，即a0；又最小值为1，即 -b=1， b=-1，ab故选 A考点二：确定二次函数关系式例 2 （2012?珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx

6、+b 的图象经过该二次函数图象上点A （ 1，0） 及点 B（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b （ x-2）2+m 的 x 的取值范围思路分析：（1）将点 A（ 1，0）代入 y=（x-2）2+m 求出 m 的值，根据点的对称性，将y=3 代入二次函数解析式求出B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B 的交点坐标可直接求出kx+b （x-2）2+m 的 x 的取值范围解： （1）将点 A（1，0）代入 y=（x-2）2+m 得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=-1，则二次函数解析式为y=（ x-2）2-1当 x=0 时，

7、y=4-1=3，A B C O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34 页故 C 点坐标为（ 0，3） ，由于 C 和 B 关于对称轴对称，在设B 点坐标为（ x，3） ，令 y=3，有（ x-2）2-1=3，解得 x=4 或 x=0则 B 点坐标为（ 4，3） 设一次函数解析式为y=kx+b ，将 A（1，0） 、B（4，3）代入 y=kx+b 得，0 43kbkb，解得11kb，则一次函数解析式为y=x-1 ；（2） A、B 坐标为（ 1，0） ， （4，3） ，当 kx+b （ x-2）2+m 时， 1x4

8、点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B 点坐标是解题的关键对应训练2 （2012? 佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点 A（2，0） （1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且 SOAB=3，求点 B 的坐标2分析：（1）直接把（ 0，0） ， （2，0）代入 y=x2+bx+c 中，列方程组求b、c 的值即可；（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；（3）设点 B 的坐标为（ a，b） ，根据三角形的面积公式求 b 的值，再将纵坐标b 代入抛

9、物线解析式求 a 的值，确定B 点坐标解： （1）把（ 0， 0） ， （2，0）代入 y=x2+bx+c 得0 420cb，解得2 0bc，所以解析式为y=x2-2x。（2） y=x2-2x=（x-1）2-1，顶点为（ 1，-1） ，对称轴为：直线x=1 。（3）设点 B 的坐标为（ a，b） ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 34 页12 2|b|=3，解得 b=3 或 b=-3，顶点纵坐标为-1，-3-1 （或 x2-2x=-3 中， x 无解）b=3，x2-2x=3，解得 x1=3，x2=-1 所以点 B 的坐

10、标为（ 3，3）或（ -1，3） 。点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴考点三：二次函数与x 轴的交点问题例 3 （2012?天津）若关于x 的一元二次方程（x-2） （x-3）=m 有实数根x1、 x2，且 x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3； m14；二次函数y=（x-x1） （x-x2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） 其中，正确结论的个数是（）A0 B1 C2 D3 思路分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数

11、根，得到根的判别式大于 0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可对选项进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0 时才能成立，故选项错误；将选项中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出二次函数图象与x 轴的交点坐标，即可对选项进行判断解：一元二次方程（x-2） （x-3）=m 化为一般形式得：x2-5x+6-m=0 ，方程有两个不相等的实数根x1、x2，b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1 0，解得： m14，故选项正确；一元二次

12、方程实数根分别为x1、x2，x1+x2=5，x1x2=6-m，而选项中x1=2，x2=3，只有在m=0 时才能成立，故选项错误；二次函数y=（x-x1） （x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+ （6-m）+m=x2-5x+6= （ x-2） （x-3） ，令 y=0，可得（ x-2） （x-3）=0，解得： x=2 或 3，抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（ 3，0） ，故选项正确综上所述，正确的结论有2 个：故选 C点评：此题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题对应训练3 （2012?株洲）如

13、图，已知抛物线与x 轴的一个交点A（1，0） ，对称轴是x=-1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是（）A （-3，0） B （-2，0） C x=-3 Dx=-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 34 页3A 解：抛物线与x 轴的另一个交点为B（b，0） ，抛物线与x 轴的一个交点A（1，0） ，对称轴是x=-1，12b=-1，解得 b=-3，B（-3，0） 故选 A考点四：二次函数的实际应用例 4 （2012?绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-112

14、（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m思路分析：根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0 时，求 x 的值即可解：令函数式y=-112（ x-4）2+3 中， y=0，0=-112（x-4）2+3，解得 x1=10，x2=-2（舍去），即铅球推出的距离是10m故答案为： 10点评：本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键例 5 （2012?重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为12000 吨，由于污水厂处于调试阶

15、段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1 至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1x6，且 x 取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x 1 2 3 4 5 6 输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（ 7x12，且 x 取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a 0) 其图象如图所示1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=12x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x 之

16、间满足函数关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页系式： z2=34x-112x2；7 至 12 月，污水厂处理每吨污水的费用均为2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5 元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出 y1， y2与 x 之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3） 今年以来， 由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都

17、将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行 50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000 元，请计算出a 的整数值（参考数据：23115.2 ，41920.5 ，80928.4 ）思路分析：（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则 y1与 x 之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049） ， （12， 10144）点，求出解析式即可；（2）利用当 1x6 时，以及当7x12 时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；（3）利用今年每

18、月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a 一 30）%，得出等式12000（1+a%） 1.5 1+（a-30）%（1-50%）=18000，进而求出即可解： （1）根据表格中数据可以得出xy= 定值，则y1与 x 之间的函数关系为反比例函数关系：y1=kx，将（ 1，12000）代入得：k=1 12000=12000，故 y1=2000 x（1x6，且 x 取整数）；根据图象可以得出：图象过（7， 10049） ， （12，10144）点，代入 y2=ax2+c(a 0)得：100494910144144acac，解得：1 10000a

19、c，故 y2=x2+10000（ 7 x 12，且 x 取整数）；（2）当 1x6，且 x 取整数时：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 34 页W=y1?z1+（12000-y1）?z2=12000 12xx+（12000-12000 x）?（34x-112x2） ，=-1000 x2+10000 x-3000 ，a=-10000，x=2ba=5，1 x6，当 x=5 时， W最大=22000（元） ，当 7x12 时，且 x 取整数时，W=2 （12000-y2）+1.5y2=2 （12000-x2-10000）+1.5

20、（x2+10000） ，=-12x2+1900，a=-120，x=2ba=0，当 7x12 时， W 随 x 的增大而减小，当 x=7 时， W最大=18975.5 （元） ，2200018975.5，去年 5 月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000 元；（3）由题意得：12000（ 1+a%） 1.5 1+（a-30）%（1-50%）=18000，设 t=a%，整理得： 10t2+17t-13=0 ，解得： t=1780920，80928.4 ，t1 0.57 ， t2 -2.27（舍去），a57 ，答： a 的值是 57点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关

21、系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键对应训练4 （2012?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位： m）与滑行时间x（单位： s）之间的函数关系式是y=60 x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来4600 解： -1.50，函数有最大值s 最大值 =2606004( 1.5)，即飞机着陆后滑行600 米才能停止故答案为： 600点评：此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键5 （2012?益阳）已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c 与 x 轴交于点 A（ 1-3，0）和点

22、 B，将抛物线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 34 页沿 x 轴向上翻折，顶点P 落在点 P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感：过点 P作 x 轴的平行线交抛物线于 C、 D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个 “W ” 型的班徽， “5”的拼音开头字母为W，“W ” 图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W ” 图案的高与宽（ CD）的比非常接近黄金分割比512（约等于0.618） 请你计算这个“W

23、 ” 图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：52.236 ，62.449 ，结果可保留根号）5考点：二次函数的应用分析：（1）利用 P 与 P （1，3）关于 x 轴对称，得出P 点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；（2）根据已知得出C，D 两点坐标，进而得出“W ” 图案的高与宽（CD）的比解： （1） P 与 P （1，3）关于 x 轴对称，P 点坐标为（ 1，-3） ；抛物线y=a（ x-1）2+c 过点 A（1-3，0） ，顶点是P（ 1，-3） ，22(131)0 (1 1)3 acac；解得1 3ac；则抛物线的解析式为y=（x-1）2-3，即 y=x2-2x-2（2

24、） CD 平行 x 轴， P （1，3）在 CD 上，C、D 两点纵坐标为3；由（ x-1）2-3=3，解得： x1=1-6，x2=1+6，C、D 两点的坐标分别为（1-6， 3） ， （1+6，3）CD=26。“W ” 图案的高与宽（CD）的比 =32 6=64（或约等于0.6124） 点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，D 两点坐标是解题关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 34 页考点五：二次函数综合性题目例 6 （2012?自贡）如图，抛物线l交 x 轴于点 A（-3

25、，0） 、B（1，0） ，交 y 轴于点 C（0，-3） 将抛物线l沿 y 轴翻折得抛物线1l（1）求1l的解析式；（2）在1l的对称轴上找出点P，使点 P 到点 A 的对称点A1 及 C 两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线1l于 E、F 两点，若以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径思路分析：（1）首先求出翻折变换后点A、B 所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线1l的解析式；（2）如图 2 所示，连接B1C 并延长，与对称轴x=1 交于点 P，则点 P即为所求利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论为求点P

26、的坐标，首先需要求出直线 B1C 的解析式；（3）如图 3 所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏解题要点是利用圆的半径表示点F（或点 E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径解： （1）如图 1 所示，设经翻折后，点A、B 的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知A1（ 3，0） ， B1（-1，0） ，C 点坐标不变，因此，抛物线1l经过 A1（3，0） ，B1（-1，0） ，C（0，-3）三点，设抛物线1l的解析式为y=ax2+bx+c，则有：9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3 ，解得 a=1，b=-2， c=-3，故抛物线1l的解析式为：y=

27、x2-2x-3（2）抛物线1l的对称轴为： x=2ba=1，如图 2 所示，连接B1C 并延长，与对称轴x=1 交于点 P，则点 P 即为所求此时， |PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C设 P 为对称轴x=1 上不同于点P的任意一点，则有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 34 页|P A -P C|=|P B1-P C|B1C（三角形两边之差小于第三边），故|PA -PC| |PA1-PC|，即 |PA1-PC|最大设直线 B1C 的解析式为y=kx+b ，则有：03kbb，解得 k=b=-3，故直线 B1C 的解

28、析式为：y=-3x-3令 x=1，得 y=-6，故 P（1，-6） （3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况当圆位于x 轴上方时，设圆心为D，半径为r，由抛物线及圆的对称性可知，点D 位于对称轴x=1 上，则 D（1，r） ，F（1+r，r） 点 F（1+r，r）在抛物线y=x2-2x-3 上，r=（1+r）2-2（1+r）-3，化简得： r2-r-4=0 解得 r1=1712，r2=1712（舍去），此圆的半径为1712；当圆位于x 轴下方时，同理可求得圆的半径为1712综上所述，此圆的半径为1712或1712点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质

29、、三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度第（2）问中，注意是“ 两线段之差最大”而不是 “ 两线段之和最大” ，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；第（ 3）问中，首先注意圆有2 个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径对应训练6 （2012?遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（ a0 ）的图象经过原点O，交 x 轴于点 A，其顶点B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 34 页的坐标为（ 3，3） （1）求抛物线的函数解析式

30、及点A 的坐标；（2）在抛物线上求点P，使 SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使 AQO 与 AOB 相似？如果存在，请求出 Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由6分析： （1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，3）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A 的坐标（2）根据题意可得点P到 OA 的距离是点B 到 OA 距离的 2 倍，即点 P 的纵坐标为23，代入函数解析式可得出点P的横坐标；（3）先求出 BOA 的度数，然后可确定Q1OA= 的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出 Q1的坐标，利用二次函数图象函数的

31、对称性可得出Q2 的坐标解： （1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a0 ） ，又函数的顶点坐标为（3，3） ，3 2933baab，解得：392 33ab，故函数解析式为：232 393yxx，由二次函数图象的对称性可得点A 的坐标为（ 6，0） ；（2） SPOA=2SAOB，点 P 到 OA 的距离是点B 到 OA 距离的 2 倍，即点 P 的纵坐标为2 3，代入函数解析式得：2 3=232 393xx，解得： x1=3+33，x2=3-33，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 34 页即满足条件

32、的点P有两个，其坐标为：P1（ 3+33，2 3） ，P2（3-33，2 3） （3）存在过点 B 作 BPOA ，则 tanBAP=33BPOP，故可得 BOA=30 ，设 Q1坐标为（ x，232 393xx） ，过点 Q1作 Q1Fx 轴， OAB OQ1A， Q1OA=30 ，故可得 OF= 3 Q1F，即 x=3（232 393xx） ，解得： x=9 或 x=0（舍去），经检验得此时OA=AQ1， OQ1A 是等腰三角形，且和OBA 相似即可得 Q1坐标为（ 9，33） ，根据函数的对称性可得Q2坐标为（ -3，33） 在抛物线上存在点Q，使 AQO 与 AOB 相似，其坐标为：

33、（9，33）或（ -3，33） 点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答【聚焦山东中考】1 （2012?泰安）二次函数y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根，则m 的最大值为（）A -3 B3 C-6 D9 1考点：抛物线与x 轴的交点专题：探究型分析：先根据抛物线的开口向上可知a0，由顶点纵坐标为-3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可解：抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，精选学

34、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 34 页a0，24ba=-3，即 b2=12a，一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根， =b2-4am0 ，即 12a-4am0 ，即 12-4m0 ，解得 m 3，m 的最大值为3故选 B点评：本题考查的是抛物线与x 轴的交点， 根据题意判断出a 的符号及a、 b 的关系是解答此题的关键2 （2012?滨州）抛物线y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点个数是（）A3 B2 C1 D 0 2A 分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y 的值，即为抛物线与y 轴交点的纵坐标，确定出抛物线与

35、 y 轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x 的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x 轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数解：抛物线解析式y=-3x2-x+4，令 x=0，解得： y=4，抛物线与y 轴的交点为（ 0，4） ，令 y=0，得到 -3x2-x+4=0 ，即 3x2+x-4=0 ，分解因式得：（3x+4 ） （x-1）=0，解得： x1=43，x2=1，抛物线与x 轴的交点分别为（43，0） ， （1，0） ，综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3故选 A 点评：此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出

36、的 y 值即为抛物线与y 轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x 的值，即为抛物线与x 轴交点的横坐标3 （2012?济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需秒336 思路分析： 10 秒时和26 秒时拱梁的高度相同，则A，B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O 到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC 之间的时间解答：解：如图，设在10秒时到达A 点，在 26 秒时到达B，精选学习

37、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 34 页10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，A，B 关于对称轴对称则从A 到 B 需要 16 秒，则从A 到 D 需要 8 秒从 O 到 D 需要 10+8=18 秒从 O 到 C 需要 2 18=36 秒故答案是： 36点评：本题考查了二次函数的应用，注意到A、B 关于对称轴对称是解题的关键4（2012?菏泽）牡丹花会前夕， 我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：销售单价x（元 /件）20 30 40 50 60 每天销售量（ y 件）500

38、 400 300 200 100 （1）把上表中x、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与 x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价 -成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？4分析：（1）利用表中x、y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出 y 与 x 的函数关系式，求出即可；（2）根据利润 =销售总价 -成本总价，由（1）中函数关系式得

39、出W= （x-10） （-10 x+700 ） ， ，进而利用二次函数最值求法得出即可；（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案解： （1）画图如图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 34 页由图可猜想y 与 x 是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b （k0 ） ，这个一次函数的图象经过（20，500） 、 （30，400）这两点，5002040030kbkb，解得：10 700kb，函数关系式是y=-10 x+700 （2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得：W=（x-10） （ -

40、10 x+700） ，=-10 x2+800 x-7000 ，=-10（ （x-40）2+9000，当 x=40 时， W 有最大值9000（3）对于函数W=-10 （x-40）2+9000，当 x35时， W 的值随着x 值的增大而增大，故销售单价定为35 元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容5 （2012?青岛）在 “ 母亲节 ” 期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售

41、量y（个）与销售单价x（元 /个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6 元 /个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元 /个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900 元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润5分析： （1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

42、 15 页，共 34 页（2）销售利润 =每个许愿瓶的利润 销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润解： （1） y 是 x 的一次函数，设y=kx+b ，图象过点（ 10，300） ， （12，240） ，10300 12240kbkb，解得30 600kb，y=-30 x+600 ，当 x=14 时， y=180；当 x=16 时， y=120，即点（ 14，180） ， （16，120）均在函数y=-30 x+600 图象上y 与 x 之间的函数关系式为y=-30 x+600 ；（2）w=（x-6） （ -30 x+600）=-30 x2+7

43、80 x-3600 ，即 w 与 x 之间的函数关系式为w=-30 x2+780 x-3600 ；（3）由题意得：6（-30 x+600 ）900 ，解得 x15 w=-30 x2+780 x-3600 图象对称轴为：x=7802( 30)=13a=-300，抛物线开口向下，当x15时， w 随 x 增大而减小，当 x=15 时， w最大=1350，即以 15 元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350 元点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题6 （2012?聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y

44、（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100 （利润 =售价 -制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？6分析： （1）根据每月的利润z=（ x-18）y，再把 y=-2x+100 代入即可求出z与 x 之间的函数解析式，（2）把 z=350 代入 z

45、=-2x2+136x-1800 ，解这个方程即可，将z -2x2+136x-1800 配方，得 z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少（3）结合（ 2）及函数 z=-2x2+136x-1800 的图象即可求出当25 x 43时 z 350 ，再根据限价32 元，得出 25x32 ，最后根据一次函数y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小， 即可得出当x=32 时，每月制造成本最低，最低成本是18 （-2 32+100）. 解： （1） z=（x-18）y=（x-18） （-2x+100 ）=-2x2+136x-1800 ，z

46、 与 x 之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800；（2）由 z=350，得 350=-2x2+136x-1800 ，解这个方程得x1=25，x2=43 所以，销售单价定为25 元或 43 元，将 z-2x2+136x-1800 配方，得z=-2（x-34）2+512，因此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页（3）结合（ 2）及函数z=-2x2+136x-1800 的图象（如图所示）可知，当 25x43 时 z350 ，又由限价32 元

47、，得 25x32 ，根据一次函数的性质，得y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，当 x=32 时，每月制造成本最低最低成本是18 （-2 32+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648 万元点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题【备考真题过关】一、选择题2 （2012?湖州）如图，已知点A（4，0） ，O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点O，A） ，过 P、O 两点的二次函数y1和过 P、A 两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、C，射线

48、 OB 与 AC 相交于点D当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A5B453C 3 D4 2思路分析：过B 作 BFOA 于 F，过 D 作 DE OA 于 E，过 C 作 CM OA 于 M，则 BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BFDECM ，求出AE=OE=2 ， DE=5，设 P（2x，0） ，根据二次 函 数的 对 称性 得出OF=PF=x ， 推 出 OBF ODE ， ACM ADE ， 得出BFOFDEOE，CMAMDEAE，代入求出BF 和 CM，相加即可求出答案解答：如图，过B 作 BFOA 于 F，过 D 作 DEOA 于 E，过 C 作 C

49、M OA 于 M，BFOA ，DEOA， CMOA ，BFDECM ，OD=AD=3 ，DEOA，OE=EA=12OA=2 ，由勾股定理得：DE=5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 34 页设 P（2x，0） ，根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，BFDECM ， OBF ODE ， ACM ADE ，BFOFDEOE，CMAMDEAE，即2,2255BFx CMx，解得： BF=52x，CM= 552x，BF+CM=5故选 A点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，

50、主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度3 （2012?宜昌）已知抛物线y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限3考点：抛物线与x 轴的交点分析：根据抛物线y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点，得出=4-4a0，a1，再根据 b=-2，得出抛物线的对称轴在y 轴的右侧，即可求出答案解：抛物线y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点， =4-4a0，解得： a1，抛物线的开口向上，又 b=-2，抛物线的对称轴在y 轴的右侧，抛物线的顶点在第一象限；故选 D点评：此题考查了二次函数的