2022年中心极限定理教学设计 .pdf

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1、概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C 课时50+50=100 分钟任课教师李飞专业与班级人力资源管理B1601-02 市场营销B1601 课型新授课课题中心极限定理学习目标知识与技能掌握棣莫弗拉普拉斯中心极限定理和列维林德伯格中心极限定理(独立同分布中心极限定理)的结论和应用条件， 并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率; 过程与方法1.中心极限定理产生的历史背景。2.中心极限定理的提法. 3.林德伯格 -勒维中心极限定理4.隶莫弗拉普拉斯定理5.林德贝格中心极限定理6.李雅普诺夫中心极限定理7.中心极限定理在管理中的应用情感态度与价值观1.培养学生能够自觉地用极限定理的视角观察生

2、活，将统计方法用于分析和探讨生活中的实际问题，提高认知能力和水平 . 2.中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限定理的名称3.让学生懂得，量变与质变的辩证关系。. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页教学分析教学内容1.中心极限定理产生的历史背景。2.中心极限定理的提法. 3.林德伯格 -勒维中心极限定理4.隶莫弗拉普拉斯定理5.林德贝格中心极限定理6.李雅普诺夫中心极限定理7.中心极限定理在管理中的应用教学重点1

3、.隶莫弗拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理; 教学难点1.隶莫弗拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页教学方法与策略课 堂 教 学 设 计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨

4、论 ;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值板书设计教学进程教学意图教学内容教学环节1.极大似然估计的原理与思想（10 分钟）概率统计学是一门研究随机现象统计规律性1的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内时间：10 分钟精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页中心极限定理的提法容之一，甚至可以说概率论的真正历史

5、开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算2极限定理最早的成果有 :伯努利大数定律， 棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的中心极限定理就是从数学上证明了这一现象最早的中心极限定理是讨论n 重伯努利试验中，某事件A

6、 出现的次数渐近于正态分布的问题 1716 年前后，棣莫佛对n 重伯努利试验中每次试验事件 A 出现的概率为1/2 的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展同时新的极限理论问题也在实际中不断产生这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究

7、引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机因素的总合， 其中每个随机因素的单独作用微中 心 极 限 定理 的 名 称 最早 是 由 仆 里耶(1920年)提出来的， 中心极 限 定 理 的一 般 形 式 最早 是 由 切 比雪夫 (1821 年1894 年)提出 来 的 下 面我 们 介 绍 四个 主要 定理 :1)林 德 伯格 一 勒 维 定理 2)棣莫弗一 拉 普 拉 斯定理2)林德伯格定理3)李 雅 普 诺 夫定理其中林德 伯 格 定 理是最一般的，其 它 情 形

8、 可以 看 作 它 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页不足道， 而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从 )正态分布， 下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观在许多情形下， 一随机变量X可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和，12nX(a) 这里，每个i直观上表示一种随机因素的效应，假如式 (a)包含了决定X的充分多的随机因素的效应(即n充分大 )，则1nii的分布就近似于X 的分布中心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下， 当n时，独立随机

9、变量之和的极限分布是正态分布的推论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页累计 10 分钟引 入 中 心 极限 定 理 的 基本思想中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项12,上的条件不同独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用(特别在数理统计中)的一种形式，通常称做林德伯格-勒维定理 历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯(积分 )定理是它的特殊情形

10、设(1,2,)kk的方差D，大于0，令2221,nkkknkkaEbDBb（1）我们说，随机变数列k服从中心极限定理，如果关于1xR均匀的有22111lim().2tnxkknknPaxedtB（2）时间 :5分钟用 足 球 比 赛事 件 引 入 达到以下目的： 吸 引 学 生注意力， 使学生 尽 快 进 入上课状态； 帮 助 学 生 深入 浅 出 的 理解 极 大 似 然估 计 的 基 本思想 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页累计 20 分钟(2)表示：随机变量数11()nkkknaB的分布函数关于x均匀的

11、趋于正态分布(0,1)N的分布函数教学意图教学内容教学环节独立同分布的两个定理：林德伯格 -勒维中心极限定理设12,nx xx相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差：2(),()0.iiE xVar x记12.nnXXXnYn则对任意实数y，有221lim()( ).2tynnp Yyyedt（3）证明为证（ 1）式，只须证*nY的分布函数列若收敛于标准正态分布又由定理 4 3 43， 只须证*nY的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数为此设时间 20 分钟提问：如何度量 样 本 值 出现 的可 能性？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

12、 -第 8 页，共 29 页林德伯格 -勒维中心nX的特征函数为( )t，则*nY的特征函数为*( )()nnYttn又因为2()0,()nnE XVar X， 所以有(0)0，2(0)于是特征函数( ) t有展开式22( )(0)(0)(0)()2tttt2 2211()2tt从而有2*2222lim( )lim1()2nntYnntttenn，而22te正是(0,1)N分布的特征函数，定理得证例 1 某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为2的泊松分布若一年365 天都经营汽车销售,且每天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率解 :设x某汽车销售点每天出售的汽车辆数,

13、则12365Yxxx, 为 一 年 的 总 销 量 由()()2iiE xVar x,知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页( )( )3652730E YVar Y利用林德贝格-勒维中心极限定理可得, 700730(700)1(700)1()1( 111)0.8665730P YP Y这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0 8665 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页累计 40 分钟隶莫弗拉普拉斯定理（10分钟）教学意图教学内容教

14、学环节在 n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为p（0p1 ） ，n为 n 次试验中事件A 出现的次数，且记时间 10 分钟精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页隶 莫 弗 拉 普 拉 斯 定理nnnpYnpq且对任意实数y，有221lim()( ).2tynnp Yyyedt此定理由定理1 马上就得出， 也就是说定理2 是定理 1 的推论例 2 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20,以x表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数(1)写出x的分布列 ; (2)求被盗

15、户不少于14户且不多于30户的概率近似值解 :(1) x服 从100,0.2np的 二 项 分 布(100,2)b,即100()0.2 0.8,1,2,kknp xkknk(2)利用隶莫弗 -拉普拉斯中心极限定理,有30.51000.213.51000.2(1430)(13.530.5)()()1000.20.81000.20.8pxpx(2.625)( 1.625)(2.625)1(1.625)480.9437主 要 依 据 上边的例题， 归纳 总 结 离 散型 总 体 下 似然 函 数 的 构建. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

16、 12 页，共 29 页累计 50 分钟这表明被盗户不少于14户且不多于30 户的概率近似值为 09437课间休息10 分钟3. 极大似然估计法应用（15 分钟）教学意图教学内容教学环节对于独立同分布随机变量序列12,只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立而在实际问题中说诸i具有独立性是常见的，但是很难说诸i是 “同分布”的随机变量， 正如前面提到的测量误差nY的产生是由大量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即时间 5 分钟精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页林 德 贝 格 中心极限定理1nniiY则i间具有

17、独立性，但不一定同分布，所以我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件林德伯格(Lideberg)于 1922 年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件231 林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列nX满足林德贝格条件，则对任意的x，有22111lim().2tnxiininPXxedtB为证此，先证下列三个不等式：对任意实数a，有1iaea；(4) 212!iaaeia(5) 22123!iaaaeia(6) 实际上，对0a上三式明显设0a，则01aiaixee dxa；通 过 指 数 分布(连续型 )参数 的 极

18、大 似然估计， 进一步 巩 固 极 大似 然 估 计 的方法与步骤，同 时 体 现 极大 似 然 估 计法 在 工 作 生活 中 有 着 很广泛、很重要的应用 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页2001(1)2!aaiaixaeiaedxxdx；201(1)2aiaixaeiaeix dx220012!3!aaixxaeixdxdx利用cossiniaeaia，可见（ 4） （5） （ 6）方都是a的偶函数，故他们对0a也成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

19、- -第 15 页，共 29 页累计 15 分钟李 雅 普 诺 夫中 心 极 限 定理李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列k，存在常数0，使当n时有22110nkkknEaB（ 25）则（ 2）对x均匀的成立证只要验证林德贝格条件满足，由（25）2211()( )knnkkxaBknxadF xB2211( )()knnkkx aBknxadFxBB221110,()nkkknEanB例 3 一份考卷由99个题目组成 ,并按由易到难顺序排列某学生答对第1题的概率为099;答对第 2 题的概 率 为0 98; 一 般 地 ， 他 答 对 第i题 的 概 率 为时间 15 分钟精选学习资料 -

20、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页1100,1,2,ii加入该学生回答各题目是相互独立的，并且要正确回答其中60 个题目以上 （包括 60 个）才算通过考试试计算该学生通过考试的可能性多大？解设.01题，若学生答错第题；，若学生答对第iiXi于是iX相互独立，且服从不同的二点分布：(1)1100,(0)1100,iiiip Xpip Xpi1,2, ,99i而我们要求的是991(60)iipX为使用中心极限定理，我们可以设想从100X开始的随机变量都与99X同分布且相互独立下面我们用1来验证随机变量序列nX满足李雅普诺夫条件（

21、25） ，因为11()(1),()nnniiiiiBVar Xppn，333()(1)(1)(1)iiiiiiiiE Xppppppp，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页于是31 231111()0(1)niininiiiE XpBpp()n，即nX满足李雅普诺夫条件（25） ，所以可以使用中心极限定理又因为999999111()(1)49.5100iiiiiiEXp999929911()(1)()16.665100100iiiiiBVar X所以该学生通过考试的可能性为99991149.56049.5(60)1

22、6.66516.665iiiiXpXp1(2.5735)0.005由此看出： 此学生通过考试的可能性很小，大约只有千分之五精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页累计 30 分钟中心极限定理在商业管理中的应用（20 分钟）教学意图教学环节水 房 拥 挤 问题假设某高校有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头假设后

23、勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为 45 个，现在总务处遇到的问题是：（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？（2）需至少要装多少个水龙头，才能以95以上的概率保证不拥挤？解：（1）设同一时刻，5000 个学生中占用水龙头的人数为X，则XB（5000，001）拥挤的概率是45500050000(45)1(045)10.010.99kkkkppC直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛-拉普拉斯定理已知n=5000,p=001 ，q=099 ，.04.7,50npqnp故时间 10 分钟提问，请学生思考 . 精选学习资料 - - - - - - - -

24、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页.2389.01.771.004.750004.75045)450(P从而(45)10.23890.7611p 怪不得同学们有不少的抱怨拥挤的概率竟达到7611%（2）欲求 m，使得95.0)450(P即95.004.750004.750m由于009.704.7500即95.004.750m查标准正态分布表， 得645.104.750m即6.61m故需要装62个水龙头问题的变形：（3）需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求 m，使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

25、- - - - - - -第 21 页，共 29 页99.0)450(P即99.004.750004.750m由于009.704.7500 76 即99.004.750m查标准正态分布表，得325.204.750m即4.66m故需要装67个水龙头（4）若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变 ,1,2两问题结果如何？解：（1）5550(55)1()1(0.71)0.23897.04p（2） 同上（5） 若条件中的每个学生占用由1%提高到 1 5%，其余的条件不变，则（1） ， （2）两问题结果如何? 解： (1) 设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则精选学习资料 - -

26、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页XB（5000，0015） ，已知n=5000,p=0015 ，q=0985 ，.60.8,75npqnp拥挤的概率是.149.3160.875451)45(P拥挤的概率竟达到100%(2) 欲求 m，使得95.0)450(P即95.060.875060.875m由于060.8750即95.060.875m查标准正态分布表，得645.160.875m即14.89m故需要装90个水龙头精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页精

27、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页累计 40 分钟盈利问题5： 假设一家保险公司有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费， 在一年内一个人死亡的概时间 10 分钟精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页盈利问题率为 0006，死亡时，家属可向保险公司领得1000元，问（1）保险公司亏本的概率有多少？（2）保险公司一年的利润不少于40000元， 60000元， 80000元的概率各为多少？解 ：设X为 一 年 内 死 亡 的 人 数

28、， 则)06.1 ,10000( BX，即由德莫佛拉普拉斯中心极限定理(1) .0)77.7(17809 （ 2）设123,A AA分别表示一年的利润不少于40000元， 60000元， 80000元的事件，则1()80p Ap X994. 006.01000006.01000080994.006.01000006. 010000XP9952.0)59.2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 29 页累计 50 分钟2()60p Ap X994. 006.01000006.01000060994.006.01000006.

29、 010000XP5 .0)0(3()40p Ap X994.006. 01000006. 01000040994.006. 01000006.010000XP0048.0)59.2(1教学意图教学环节本次课小结时间 1 分钟回顾总结拓 展 设 问 来加 深 学 生 对时间 20 分钟根 据 本 节 讲授内容， 给出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 29 页本 节 内 容 的印象，进一步思考并引导学生对下节课要解决的问题进行思考 . 累计 50 分钟一 些 思 考 拓展的问题 . 作业布置：1.复读课本第151至第 15

30、7页；2.完成书面作业：第160页第 11-12题3.预习课本第162页至 175页. 要 求 学 生 认真完成作业 . 教学评价本节从独随机变量之和的极限分布为正态分布的定理引入了中心极限定理的内容， 可分为分独立同分布和不同分布两种情况下讨论随机变量的分布趋于正态分布的情况由于极限定理的研究直接联系到大n场合的二项分布的计算，所以我们也通过一些例子来讨论二项分别的近似计算问题 最后通过举出反例，以及在相同条件下比较大数定律与中心极限定理， 说明了中心极限定理在近似计算中更精确至于中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页到了中心极限定理的名称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页