2022年浙大数学分析试题及解答 .pdf
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1、浙江大学 20XX 年数学分析考研试题111(20)1.ln23nxnn一、分 (1) 证明数列收敛 ; (2)计算111lim(.)122nnnn. (15)( ) , ,kf xa br二、分 函数在闭区间上连续,存在收敛于零的数列( , )xa b使得对任意的,有2()()2( )lim0.kkkkf xrf xrf xr( )f x证明:为线性函数 .(15)( )( ),( )h xf xf x三、分 假设函数为处处不可导的连续函数,以此为基础构造连续函数使仅在两点可导,并说明理由。22222221() sin,0(20)( , )0,0 xyxyxyf x yxy四、分 二元函数.
2、 (1)( , ),( , )ffx yx yxy求; (2),ffxy是否在原点连续,( , )f x y 在原点是否可微,并说明理由。0(15) ( ) , ( )1f xa bf x dx五、分在任意区间黎曼可积,收敛,. 000lim( )( )xyyf x dxf x dx证明:(15)六、分 计算2222223/21,0,0,0.()xyzxdydzydzdxzdxdyabcaxbycz222(15):1cos().VVxyzIaxbycz dxdydz七、分 计算在单位球上的积分其中, ,a b c不全为 0 2( )01!(20)( ),12(0)nnnf xxxf八、分 设函
3、数证明级数收敛 .(15)( )(0)0,( )( ),f xfxfxAf x九、分 设可微,对于任意的有0,)( )0f x证明在上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页浙江大学 20XX年数学分析考研试题解答一、 (1)证明利用不等式1)11()11(nnnen,*Nn,得nnn1)11ln(11,*Nn;由iii1)11ln(11,ni,2, 1;两边对ni,2, 1相加,得到113121n)1ln(nn131211;令1111ln23nxnn,*Nn;111ln(1)01nnxxnn,nx是严格递减的;精选学习
4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页1111ln23nxnnln(1)ln0nn,于是nx是严格递减的且有下界, 根据单调有界原理 , 故nnxlim存在。这个极限值记为,叫做 Euler 常数。ln131211limnnn,记nnnln131211,0limnn,nnnln131211。(2)解:解法一利用111ln2nncn,其中lim0nn,211111ln 2212nncnnn,111lim12nnnn11lim12nnn2limln2lnnnnncnc2lim ln2nnnln 2. 解法二111lim12nnnn
5、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页111lim1nnkknn11001ln 1ln 21dxxx. 二、证明令( )( )( )( )()( )()()f bf aG xf xxaf axaxbba, (0)显然( )( )0G aG b,我们证明( )0G x,如若不然,存在一个点1x,使得1()0G x,考虑到( )G x是闭区间 , a b上的连续函数,必存在最大值,不妨设1x即为最大值点,1( , )xa b, 在1x的一个邻域,即11(,)xxx,1( )()G xG x,考虑到0kr。所以1112()(
6、)2()lim0kkkkG xrG xrG xr, 但是由原题条件可以得到下面这个结论1112()()2 ()lim20kkkkG xrG xrG xr,矛盾 ,所以( )0G x, 所以( )( )( )()( )()()0f bf af xxaf axaxbba, 由的任意性 ,令0得到( )( )( )()( )0f bf af xxaf aba, 于是( )( )( )()( )0f bf af xxaf aba故得到( )( )( )()( )f bf af xxaf aba,结论得证 . 三、解令( )(1) ( )f xx xh x,则显然( )f x是处处连续的,(0)(0),
7、(1)(1)fhfh;( )f x在0,1x处不可导,否则,由( )( )(1)fxh xx x,得矛盾。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页四、解 (1)由定义, 001sinlim)0, 0(220 xxxfxx2201sin0(0,0)lim0yyyyfy;222222221() 21( , )2()sincos,( , )0()xxyxfx yxyx yxyxyxy,222222221() 21( , )2()sincos,( , )0()yxyyfx yxyx yxyxyxy;(2)由于2200121lim
8、( , )lim(4sincos),22xxxxyfx yxxxx极限不存在,所以在( 0,0)点不连续 ; 同理可得),(yxfy在( 0,0)点不连续 . 由于|(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)|xyfxyffxfy222221|() sin| 2()() ()()xyxyxy,22|(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)|( ()() )xyfxyffxfyoxy,所以函数在(0,0)点可微 . 五、证明000limyxyfx dxfx dx. 由题设条件和阿贝尔判别法,知0yxfx dx关于0y是一致收敛的。在任意0,A上,当0y时,( )yxf x一致收敛于( )f x.
9、由含参量广义积分的极限定理,得000limyxyfx dxfx dx。或者00|yxf x dxfx dx00|AAyxfx dxfx dx|yxAAfx dxfx dx。六、解 :这是一个第二类曲面积分,我们不妨假设其方向为外法线方向. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页设P=2223/ 2()xaxbycz,2223/ 2,()yQaxbycz2223/ 2()zRaxbycz, 经演算得到0PQRxyz, 在原点附近补一个小椭球222: axbycz,使其完全包含在222:1Vxyz内, 在与V之间的区域 ,
10、被积函数有连续偏导数,由0PQRxyz, 满足Gauss公式, 所以2222223/21()xyzxdydzydzdxzdxdyaxbycz=2223/ 2()Vxdydzydzdxzdxdyaxbycz2223/ 2()xdydzydzdxzdxdyaxbycz=2223/ 2()xdydzydzdxzdxdyaxbycz3/ 21xdydzydzdxzdxdy(利用Gauss公式 ) 2223/ 213axbyczdxdydz3/ 21433abc4abc, 或者在曲面积分3/ 21xdydzydzdxzdxdy时作代换cos sin ,sinsinxyab,coszc,0,2),0, (
11、cos sin ,sinsin,cos )rabc, sincos , sinsin , cosrabc,sinsin,sincos ,0rab,coscos ,cossin,sinrabc,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页sincossinsincos, ,sinsinsincos0cos coscos sinsinabcx y zrrababc3sinabc,3/ 21xdydzydzdxzdxdy323/ 2001sinddabc4abc, 2222223 / 21()xyzxdydzydzdxzdxdya
12、xbycz4a b c. 七、解利用公式2221211()(1) ()xyzf axbycz dxdydzuf ku du,222kabc. 得2221211c os()(1) c o s()xyza xb yc z d x d yd zuku d u. 作坐标系的旋转变换,将Oxy旋转至axbycz=0 即作正交变换令222axbyczabc记222kabc, 因为是正交变换,所以1J,积分区域222(, ,)1 V, 所以cos().VId d d作柱面坐标变换,sin,cos ,rr2(, , )11,02 ,01Vrr所以cos().VIkd d d=2121100cos()kddrd
13、r121(1)cos()kd1202(1)cos()kd, 23222 (cossin)kkkk24sin(cos )kkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页2222222222224sin(cos)abcabcabcabc解毕八、解21( )12f xxx1(21) (21)xx111()2 22121xx00111()() )2 221212121nnnnxx1101(21)( 1) (21)22nnnnnx,于是()111(0)!(21)( 1) ( 21)2 2nnnnfn;( )1100!12 2(0)
14、( 21)( 1) ( 21)nnnnnnnf,1( )2(1)00!12 2(21)(0)1( 1) ( 21)nnnnnnnf,显然,此级数是收敛的。九、证明由条件fxAfx,(0,)x. 令( )AxF xefx,则有( )0AxFxefx,( )AxF xefx在(0,)上单调递减,于是( )(0)F xF,(0)0,Axefxf于是( )0f x,再由条件( )Af xfx,(0,)x,令( )AxG xefx,则有( )0AxG xefx,( )AxG xefx在(0,)上单调递增,于是( )(0)G xG,(0)0,Axefxf于是( )0f x,故在0,)上有( )0f x。设
15、( )f x在0,)上 连 续 , (0,)在 内 可 导 ,且(0)0f,存 在 常 数0A, 对 任 意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页(0,)x,有|( )|( )|fxA f x.证明在0,)上( )0fx. 证明对任意1(0,2xA,存在11(0,)2xA,使得1|( )| |( )(0) | |()|f xf xffxx1111|()|()|22A f xf xA, 存在21(0,)2xA,使得121|()| |() |2f xf x, 存在1(0,)2nxA,使得11|()| |()|2nnf xf
16、 x,(1,2,)n, 于是1|( )| |() |2nnf xf x,令n,取极限得 , |( )| 0f x, 所以在10,2xA上,有( )0f x; 同理可证在11,2xA A上,有( )0f x; 在13,2xAA上有( )0f x; 由归纳法 ,可证在1,22nnxAA上, 有( )0f x,(1,2,)n; 故在0,)上( )0f x. 设( )f x在 , )a b上 连 续 , ( , )a b在 内 可 导 ,且( )0f a,存 在 常 数0A, 对 任 意( , )xa b,有|( )|( )|fxA f x.证明在 , )a b上( )0f x. 设( ),( )f
17、x g x在 , a b上 连 续 , ( )g x在( , )a b在 内 可 导 , 且( )0g a, 存 在 常 数0A,0,对任意( , )xa b,有| ( ) ( )( )|( ) |g x f xg xA g x. 证明在 , a b上( )0g x. 证明由题设条件 ,可得成立11( )( )|( ) |( )|xxaaft dtft dtg x eA g x e, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页令1( )( )( )xaft dtF xg x e,则 有 设( )F x在 , a b上 连
18、续 , ( )F x在( , )a b在 内 可 导 ,且( )0F a,|( )|( )|AFxF x,( , )xa b; 于是有在 , a b上( )0F x,故有在 , a b上( )0g x. 设( )f x在 , a b上连续可微 ,且( )0f a,存在常数0A,使得|( )|( )|fxA f x,( , )xa b;证明在 , a b上( )0f x. 证明( )( )xafxft dt,|( )| |( )|( )|( )|xxxaaaf xft dtftdtAf tdt,令( )|( )|xaF xf tdt,则有( )( )FxAF x,( )0AxF x e,( )(
19、0)AxF xe F,于是( )0F x,( )0f x。浙江大学 20XX年数学分析考研试题一 证明: (1)2sinlimcoscos.cos222nnttttt;(2)利用( 1)证明:2111111111.222222222。二 已知( )f x在0 x处连续可导,且(0)0,(0)5ff,试求如下极限:1001lim()xf xt dtx。三 讨论下面级数的收敛性111 sin(1.)2nnxnn。四、设函数 fx 在区间 I 上非李普希兹连续,证明 fx 在区间 I 上一致连续的充分必要条件是:对任给的0,总存在正数 M ,使得当,x yI,xy,满足fyfxMyx时,就有fyfx
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