2022年二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载二七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答20XX 年 9 月 23 日上午（ 8 30-11 00）考生注意： 1、本试卷共三大题（15 个小题），全卷满分150 分2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答3、解题书写不要超出装订线4、不能使用计算器一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有6 小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分. 1、, ,a b c为互不相等的正数，222acbc，则下列关系中可能成立的是（

2、）A、abc；B、bca；C、bac；D、acb；答案：C；解：若ab，则22222acbcbc，不合条件，排除,A D，又由222acc bc，故ac与bc同号， 排除B；且当bac时，222acbc有可能成立，例如取, ,3,5,1a b c，故选C2 、 设11xfxx， 又 记11,1,2,kkfxfxfxffxk则2007fx（）A、11xx；B、11xx；C、x；D、1x；答案：B；解：1121111,11fxfxfxxfx，323423111,111ffxfxfxxfxf， 据 此 ，414211,1nnxfxfxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

3、结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载4341,1nnxfxfxxx，因2007为43n型，故选B. 3、设为锐角，sincos,sincosxsincos,y2sincossincosz，则, ,x y z的大小顺序为（）A、xyz；B、xzy；C、zxy；D、zyx；答案：A；解：sincossincos1sincossincosxy，2sincos2sincossincossincossincos2 sincoszy，故xy. 4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B 、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的

4、涂色方式种数为（） . A、24；B、36；C、72；D、84. 答案：D；解：选两色有24C种，一色选择对角有2种选法，共计24212C种；选三色有34C种，其中一色重复有13C种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计4 3 2248种；四色全用有4!24种（因,A B C D为固定位置） ，合计84种. 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为6 :2，则其侧面与底面的夹角为( ). A、3；B、4；C、6；D、12 . 答案：A；解：设底面正方形边长为1，棱锥的高为h，侧面三角形的高为l，则2AC，622hl，则3sin2hPMHl，3PMH. 6、正整数集合kA的最

5、小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列，则并集1759AA中的元素个数为（）A、119B、120；C、151；D、154. 答案：C；解：用kA表示集kA的元素个数，设1kAn，由20071nk，得2006nk，于是ABCDHCPBDAM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载172006111917A，59200613559A，1759100320061317 59AAA；从而175917591003119353151AAAAA二、填空题（本题满分54 分，每

6、小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上. 7、若实数, x y满足：1031031031031 ,125263536xyxy，则xy . 答案：1010332356；解：据条件，10102 ,3是关于t的方程33156xytt的两个根，即233560txyt的两个根，所以1010332356xy；1010332356xy8、抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为答案：2 33；解：设抛物线方程为22ypx，则顶点及焦点坐标为0,0 ,02pOF，若设点M坐标为,Mx y，则22222222242MOxyxpxpMFpxpxxy2222222243

7、13234444xpxxpxpxxpxxpxpx，故2 33MOMF（当,2Mx ypp或,2Mx ypp时取等号）9、计算0013sin10cos10 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载答案：4. 解：0013sin10cos100000000132cos10sin102sin 30102241sin10 cos10sin20210 、 过 直 线l：9yx上 的 一 点P作 一 个 长 轴 最 短 的 椭 圆 ， 使 其 焦 点 为123,0 ,3,0FF，则椭圆的方程为 . 答案：221

8、4536xy；解：设直线l上的点为,9P t t，取13,0F关于直线l的对称点9,6Q，据椭圆定义，22122221266 5aPFPFPQPFQF， 当且仅当2,Q P F共线，即22PFQFKK，也即96312tt时，上述不等式取等号，此时5t，点P坐 标 为5,4P， 据3 ,35ca得 ，2245,36ab， 椭 圆 的 方 程 为2214536xy. 11、把一个长方体切割成k个四面体，则k的最小值是 . 答案：5；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明4个不够，若为4个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行， 则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个

9、三角形，每个三角形的面积12，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高1，故四个不同的四面体的体积之和112411323，不合；所以5k，另一方面，可将单位正方体切割成5个四面体；例如从正方体1111ABCDA B C D中间挖出一个四面体11A BC D，剩下四个角上的四面体，合计5个四面体 . 12、将各位数码不大于3的全体正整数m按自小到大的顺序排成一个数列na，则2007a答案：133113；解：简称这种数为“好数”，则一位好数有3个；两位好数有3 412DAB1C1A1BD1CyxQOPF2F1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

10、 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载个；三位好数有23448个；，k位好数有13 4k个；1,2,k，记1134nknkS，因562007SS，52007984S，即第2007个好数为第984个六位好数； 而六位好数中， 首位为1的共有541024个，前两位为10,11,12,13的各有44256个，因此第2007个好数的前两位数为13，且是前两位数为13的第9843256216个数； 而前三位为130,131,132,133的各64个，则2007a的前三位为133，且是前三位数为133的第2163 6424个数；而前四位为1330,1331,1332,133

11、3的各16个，则2007a的前四位为1331，且是前四位数为1331的第24168个数；则2007a的前五位为13311，且是前五位数为13311的第844个数，则2007133113a三、解答题（本题满分60分，每小题 20 分）13、数列na满足：111,211nnnnaaanna；令12,kkxaaa12111,1,2,kkykaaa；求1nkkkx y解：改写条件式为11111nnnana，则112211111111111122nnnnnnananananaaaa121nn，所以11nan n，111111111kkkiiikxaiikk；2111111kkkkkiiiiiyi iii

12、a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载121112623k kkk kk kk；22111121112233236nnkkkkn nn nnx ykk21 311436n nnn14、如图，ABC的外心为O，E是AC的中点，直线OE交AB于D，点,M N分别是BCD的外心与内心，若2ABBC，证明：DMN为直角三角形 . 证：由于点,O M皆在 BC 的中垂线上，设直线 OM 交 BC于 P，交M 于 F ，则P 是 BC 的中点， F 是BC的中点 ; 因 N 是BCD 的内心，故,D N F共线

13、，且FPBC . 又OE 是 AC 的中垂线，则 DCDA ，而,DFOE为BDC 的内、外角平分线，故有ODDF ，则 OF 为M 的直径，所以， OMMF ，又因1122BNFBDCDBCNBF ，则 NFBF . 作 NHBD 于 H ，则有，12DHBDDCBC12BDDABC1122ABBCBCBP，且12NDHBDCFBP，所以， Rt NDHRt FBP ，故得DNBFNF ，因此， MN 是FOD 的中位线，从而MN OD ，而 ODDN ，则 MNDN . 故DMN为直角三角形证二：记,BCa CDb BDc，因DE是AC的中垂线，则ADCDb，由条件2bca1延长DN交M于

14、F，并记,FNe DNx，则FBFCFNe，对圆内接四边形PHFMNODEBACNMODEBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载BDCF用托勒密定理得FC BDFB CDBC DF，即eceba xe2 ，由1 、2 得2aea xe，所以xe，即N是弦DF的中点，而M为外心，所以MNDF，故DMN为直角三角形15、若四位数nabcd的各位数码, , ,a b c d中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数解：称, , ,a b c d为n的数

15、码组，则, , ,1,2,9a b c dM；一、当数码组只含一个值，为, , ,1,2,9a a a aa，共得9个n值；二、当数码组恰含二个值,a b，ab1、数码组为, , ,a a a b型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个2,9a，b可取1a个值，则数码组个数为92136aa，对于每组, , ,a a a b，b有4种占位方式，于是这种n有36 4144个2、数码组为, , ,a b b b型，ab，据构成三角形条件，有2bab，b的取值1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,2bbM中a的个数012343210共得16个数码组，对于每组, , ,a b b b，a有4种占位方式

16、，于是这种n有16 464个3、数码组为, , ,a a b b型，ab，据构成三角形条件，有2bab，同上得16个数码组， 对于每组, , ,a a b b， 两个a有246C种占位方式， 于是这种n有16696个以上共计1446496304个三、当数码组恰含三个值, ,a b c，abc1、数码组为, , ,a b c c型，据构成三角形条件，则有2cbac，这种, , ,a b c c有14组，每组中,a b有2412A种占位方式，于是这种n有14 12168个2、数码组为, , ,a b b c型，cbabc，此条件等价于1,2,9M中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中

17、,a b有2412A种占位方式，于是这种n有34 12408个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载3、数码组为, , ,a a b c型，cbabc，同情况2，有2434408A个n值以上共计168408408984个n值四、, , ,a b c d互不相同，则有dcbacd，这种, , ,a b c d有16组，每组有4!个排法，共得164!384个n值综上，全部四位三角形数n的个数为93049843841681个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页