2022年二次函数经典例题及知识点 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 16 课时二次函数一、中考导航图1. 二次函数的意义;2. 二次函数的图象;3. 二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性顶点式： y=a(x-h)2+k(a 0) 4. 二次函数待定系数法确定函数解析式一般式： y=ax2+bx+c(a 0) 两根式： y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。6. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与a、 b、c 之间的关系。三、中考知识梳理 1.二次函数的图象在 画二 次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象时通常 先通 过配 方配成y=a(x+b2a)2+ 4a24ac-b的形式 , 先确定顶

2、点 (-b2a,4a24ac-b), 然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定 , 当 a0 时, 在对称轴左侧y 随 x 的增大而减小 ;在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大; 简记左减右增 , 这时当x=-b2a时,y最小值=4a24ac-b;反之当 a0时 , 抛物线开口向上; 当 a0 时, 抛物线交y 轴于正半轴 ; 当 c0. 002ycbxyba抛物线与轴负半轴相交对称轴在 轴右侧bc0时, 图象过一、三象限 ; 当 a0时, 直线交 y 轴于正半轴 ; 当 c0 时, 二次函数y=ax2+bx+c

3、的开口向上 , 而一次函数y=?ax+c应过一、三象限, 故排除 C;当 a0 即可 . (2) 根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系 , 求出 k 的值 , 可确定抛物线解析式;? 由 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由 n1=m12+m1,n2=m22+m2得 m12+m1=m22+m2,即 (m1-m2)(m1+m2+1)=0 可求得 m1+m2=-1. 解: (1) 证明 : =(2k+1)2- 4(- k2+k) =4k2+4k+1+4k2- 4k=8k2+1. 8k2+10, 即 0,抛物线与x 轴总有两个不同的交点. 精选学习

4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载(2)由题意得x1+x2=- (2k+1), x1 x2=-k2+k. x12+x22=-2k2+2k+1, (x1+x2)2- 2x1x2=-2k2+2k+1, 即(2k+1)2- 2(- k2+k)=- 2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2- 2k=-2k2+2k+1. 8k2=0,k=0, 抛物线的解析式是y=x2+x. 点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称, n1=n2. 又 n1=m12+m1,n2=m22+m2. m12+m1=m22+m2, 即(m1-m

5、2)(m1+m2+1)=0. P、Q 是抛物上不同的点, m1m2,即 m1- m2 0.m1+m2+1=0 即 m1+m2=-1. 点评 : 本题考查二次函数的图象( 即抛物线 ) 与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系 . 二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点. 基础达标验收卷一、选择题 : 1.(2003大连 ) 抛物线 y=(x-2)2+3 的对称轴是 ( ). A.直线 x=-3 B.直线 x=3 C.直线 x=-2 D.直线 x=2 2.(2004重庆 ) 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图 , 则点 M(b,ca) 在( ). A.第一象限 ;

6、B.第二象限 ; C.第三象限 ; D.第四象限 3.(2004天津 ) 已知二次函数y=ax2+bx+c, 且 a0, 则一定有 ( ). A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac4,那么 AB的长是 ( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 1.(2004河北 ) 若将二次函数y=x2-2x+3 配方为 y=(x-h)2+k 的形式 , 则y=_. 2.(2003新疆 ) 请你写出函数y=(x+1)2与 y=x2+1 具有的一个共同性质_. 3.(2003天津 ) 已知抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=2, 且经过点 (1,4) 和点

7、(5,0),则该抛物线的解析式为_. 4.(2004武汉 ) 已知二次函数的图象开口向下,且与 y 轴的正半轴相交, 请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_. 5.(2003黑龙江 ) 已知抛物线y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1, 则 a+c=_. 6.(2002北京东城 ) 有一个二次函数的图象, 三位学生分别说出了它的一些特点: 甲: 对称轴是直线x=4; 乙: 与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙: 与 y 轴交点的纵坐标也是整数, 且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 三、解答题 1.已知函数y=x2+bx-1

8、的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象 , 并指出图象的顶点坐标; (3) 当 x0 时 , 求使 y2 的 x 取值范围 . 2. 已知抛物线y=- 12x2+(6- 2m)x+m-3 与 x 轴有 A 、B两个交点 , 且 A、B两点关于y 轴对称 . (1)求 m的值 ; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标; (3) 根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来. 一、学科内综合题1. 如图 , 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于 B、C两点 ,? 与 y 轴交于 A点. (1)根据图象确定a、 b、c 的符号 , 并说明理由

9、 ; (2) 如果点 A的坐标为 (0,-3),ABC=45 , ACB=60 ,? 求这个二次函数的解析式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载二、实际应用题3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品, 年初上市后 ,? 公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象( 部分 )?刻画了该公司年初以来累积利润s( 万元 ) 与销售时间t( 月 )之间的关系 ( 即前 t 个月的利润总和s 与 t 之间的关系 ). 根据图象 ( 图) 提供的信息 , 解答下列问题 : (1)由已知图象上的三点坐标,

10、 求累积利润s( 万元 ) 与时间 t( 月) 之间的函数关系式; (2) 求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元 ; (3) 求第 8 个月公司所获利润是多少万元? 4. 如图 , 有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时水面AB? 的宽为 20m,如果水位上升3m时, 水面CD的宽是 10m. (1)建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式; (2) 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地, 已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计 ). 货车正以每小时40km的速度开往乙地, 当行驶 1 小时时 ,? 忽然接到紧急通知 : 前方连降暴雨 , 造成水位以每小时0.25m

11、的速度持续上涨( 货车接到通知时水位在 CD处, 当水位达到桥拱最高点O时, 禁止车辆通行), 试问 : 如果货车按原来速度行驶, 能否完全通过此桥?若能 ,请说明理由 ; 若不能 ,? 要使货车安全通过此桥, 速度应超过每小时多少千米? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载6.(2004 重庆 ) 如图 , 在直角坐标系中, 正方形 ABCD的边长为a,O 为原点 ,? 点 B 在 x 轴的负半轴上 , 点 D在 y 轴的正半轴上. 直线 OE的解析式为y=2x, 直线 CF过 x 轴上一点 C(-

12、35a,0)且与 OE平行 .现正方形以每秒a10的速度匀速沿x 轴正方向平行移动,? 设运动时间为t 秒 ,正方形被夹在直线OE和 CF间的部分的面积为S. (1)当 0t0 时, 使 y2 的 x 的取值范围是x3. 2.(1)设 A(x1,0) B(x2,0). A、B两点关于y 轴对称 . 12120,0.xxx x22(6)0,2(3)0.mm解得 m=6. (2)求得 y=-12x2+3. 顶点坐标是 (0,3) (3)方程 -12x2+(6-2m)x+m-3=0 的两根互为相反数( 或两根之和为零等). 3. 解:(1) 符合条件的抛物线还有5 条, 分别如下 : 抛物线AEC;

13、 抛物线CBE; 抛物线DEB; 抛物线DEC; 抛物线DBC. (2)在(1) 中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交 . 设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c. 将 D(-2, 92),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入, 得942,20,164.abcabcabc解这个方程组,得 a=14,b=-54 ,c=1. 抛物线DBC的解析式为y=14x2-54x+1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载【另法 : 设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入 D(-2, 92), 得

14、a=14也可 .】又将直线AE的解析式为y=mx+n. 将 A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入, 得20,6.mnn解这个方程组,得 m=-3,n=-6. 直线 AE的解析式为y=-3x-6. 能力提高练习一、1. 解:(1) 抛物线开口向上, a0. 又对称轴在y 轴的左侧 , -2ba0. 又抛物线交于y 轴的负半轴 . c0. (2)如图 , 连结 AB 、AC. 在 RtAOB中, ABO=45 , OAB=45 . OB=OA. B(-3,0). 又在 RtACO 中, ACO=60 , OC=OA cot60 =3 , C(3,0). 设二次函数的解析式为 y=ax2+

15、bx+c(a 0). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载由题意930,330,3.abcabcc3,331,3.abc所求二次函数的解析式为y=33x2+ (3-1)x-3. 3. 解:(1) 设 s 与 t 的函数关系式为s=at2+bt+c 由题意得1.5,422,2552.5;abcabcabc或1.5,422,0.abcabcc解得1,22,0.abcs=12t2-2t. (2)把 s=30 代入 s=12t2-2t, 得 30=12t2-2t. 解得 t1=0,t2=-6( 舍). 答:

16、 截止到 10 月末公司累积利润可达到30 万元 . (3)把 t=7 代入 , 得 s=1272-27=212=10.5; 把 t=8 代入 , 得 s=1282-2 8=16. 16-10.5=5.5. 答: 第 8 个月公司获利润5.5 万元 . 4. 解:(1) 设抛物线的解析式为y=ax2, 桥拱最高点O到水面 CD的距离为hm, 则 D(5,-h),B(10,-h-3). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载25,1003.ahah解得1,251.ah抛物线的解析式为y=-125x2.

17、(2)水位由 CD处涨到点O的时间为 :1 0.25=4( 小时 ). 货车按原来速度行驶的路程为:40 1+404=200280, 货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h. 当 4x+401=280 时,x=60. 要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h. 5. 略6. 解:(1) 当 0t4 时 , 如图 1, 由图可知OM=10at, 设经过 t 秒后 , 正方形移动到ABMN, 当 t=4 时,BB1=OM=10a4=25a, 点 B1在 C点左侧 . 夹在两平行线间的部分是多边形COQNG, 其面积为 : 平行四边形COPG- NPQ 的面积 .

18、 CO= 35a,OD=a, 四边形COPQ 面积 =35a2. 又点 P的纵坐标为a, 代入 y=2x 得 P(2a,a), DP=2a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载NP=2a-10at. 由 y=2x 知,NQ=2NP, NPQ面积 =21()2210aaNP NQtS=35a2-(210aat)2= 35a2-2100a(5-t)2=2100a60-(5-t)2. (2)当 4t 5时 , 如图 , 这时正方形移动到ABMN, 当 4t 5 时, 25aBB12a , 当 B在 C、

19、 O点之间 . 夹在两平行线间的部分是B1OQNGR, 即平行四边形COPG? 被切掉了两个小三角形NPQ和 CB1R,其面积为 : 平行四边形COPG- NPQ的面积 - CB1R的面积 . 与(1) 同理 ,OM=2at,NP= 210aat, SNPQ=(210aat)2 , CO=35a,CM=35a+10at,BiM=a, CB1=CM-B1M=35a+10at-a=10at-25a. SCB1R=12CB1B1R=(CB1)2=(10at-25a)2. S=35a2-(2a-10at)2 -(10at-25a)2=35a2-2100a(5-t)2+(t-4)2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载=35a2-2100a(2t2-18t+41) =35a2-2100a2 (t-92)2+12. 当 t=92时,S 有最大值 ,S最大=35a-2100a12=119200a2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页