2022年二次函数y=2+k的图象和性质 .pdf

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1、第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象与性质第 4 课时22.1.3 二次函数 y= a（xh）2k 的图象与性质 (2) 提优清单提优点 1：二次函数y= a（xh）2的图象与性质提优点 2：二次函数y= a（xh）2k 的图象与性质典型例题【例 1】（2012? 山东淄博 ）已知：抛物线y=14(x1)2（1）写出抛物线的对称轴；（2）完成下表；x7 3 1 3 y9 1 （3）在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象【方法总结 】y=a（xh）2的图象可由y=ax2的图象平移得到，平移的方向由h 的符号确定当h0 时，抛物线y=ax2向右平移 h 个单位，可得到y=a（xh）2；当 h0

2、 时，抛物线y=ax2向左平移 |h|个单位，可得到y=a（xh）2【例 2】已知抛物线y=2（x3）25，则此抛物线 （）A开口向下，对称轴为直线x=3 B顶点坐标为（3，5）C最小值为5 D当 x3 时 y 随 x 的增大而减小【方法总结 】抛物线 y=a（xh）2k（a 0，h，k 为常数）与抛物线 y=a（xh）2（a 0，h 为常数）的关系：（1）这两个抛物线的相同点为形状相同，对称轴相同，都为 xh其区别为：顶点坐标不同，y=a（xh）2的顶点为（ h，0） ，y=a（x h）2k 的顶点为（ h，k） （2）这两个抛物线的联系为：都可以由抛物线y=ax2平移得到 当 h0 时，抛

3、物线 y=ax2向右平移 h 个单位，得到 y=a（xh）2；当 h0 时，抛物线y=ax2向左平移 |h |个单位，得到y=a（xh）2【例 3】（2014? 广西贵港模拟 ）如图，已知直线y=12x2 与抛物线 y=a （x2）2相交于 A、B 两点，点 A 在y 轴上， M 为抛物线的顶点（1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式；（2）若 P 为线段 AB 上一个动点（ A、B 两端点除外），连接 PM ，设线段 PM 的长为 l，点 P 的横坐标为x，请求出 l2与 x 之间的 函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，线段AB 上是否存在点P，使以A、M

4、、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【方法总结 】用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程等知识点，求出符合条件的所有情况【例4】（2014?江苏泰州 ）某研究所将某种材料加热到1000时停止加热， 并立即将材料分为A、B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min 时，A、B 两组材料的温度分别为yA、yB，yA、yB与 x 的函数关系式分别为yA=kxb，yB=14（x60）2m（部分图象如图所示） ，当 x=40 时，两组材料的温度相同（1）分别求 yA、yB关于 x 的函数关

5、系式；（2）当 A 组材料的温度降至120时， B 组材料的温度是多少？（3）在 0 x40 的什么时刻，两组材料温差最大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页【方法总结 】利用函数图象的特征，求得两种材料的函数关系式及二次函数最值分层提优复习巩固提优1 （ 2014? 新疆生产建设兵团）对于二次函数y=（x1）22 的图象，下列说法正确的是（）A开口向下B对称轴是x=1 C顶点坐标是（ 1，2）D与 x 轴有两个交点2 （ 2014? 黑龙江牡丹江 ）将抛物线 y=（x1）23 向左平移 1 个单位，得到的抛物线与

6、y 轴的交点坐标是（）A （0，2）B （0，3）C （0，4）D （0，7）3（ 2014? 江苏苏州模拟 ）已知二次函数y=a（x2）2c（a0），当自变量x 分别取2、3、0 时，对应的函数值分别为y1、y2、y3，则 y1、y2、y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy3y2y14（ 2012? 甘肃兰州 ）已知二次函数y=a（x1）2b（a0 ）有最小值1，则 a， b的大小关系为（）AabBabCa=bD不能确定5（ 2014? 黄浦区一模 ）若抛物线 y=（xm）2m1的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是6（ 2012?广西玉林 ） 二次函数492-2

7、xy的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示： 必要时可利用备用图画出图象来分析） yxO7 （2013? 浙江温州 ）如图，抛物线y=a（x1）24 与 x 轴交于点 A， B， 与 y 轴交于点 C， 过点 C 作 CDx轴交抛物线的对称轴于点D，连接 BD，已知点 A 的坐标为（ 1，0） （1）求该抛物线的解析式；（2）求梯形 COBD 的面积8 （2015? 江西南昌模拟 ）已知：抛物线y=a（x2）2b（ab0）的顶点为A，与 x 轴的交点为B，C（点 B 在点 C 的左侧）（1）直接写出抛物线对称轴；（2）若抛物线经过原点，且 ABC 为直角三角

8、形， 求 a，b 的值；（3）若 D 为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b 满足的关系式；若不能，说明理由综合运用提优9 （ 2014? 思明区质检 ）如果保持抛物线y=2x2的图象不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移2 个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是（）Ay=2（x2）22 By=2（x2）22 Cy=2（x2）22 Dy=2（x2）22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页10 （ 2014? 山东淄博 ）已知二次函数y=a（xh）2k（a0）

9、 ，其图象过点A（0，2） ，B（8，3） ，则 h 的值可以是（）A6 B5 C4 D311 （ 2014? 浙江嘉兴 ）当 2x1 时，二次函数y=（xm）2m21 有最大值 4，则实数 m 的值为（）A47B3或3C2或3D2或3或4712 （ 2014? 湖北十堰四月调考）如图， 抛物线 y1=a（x2）23 与 y2=12（x3）25 交于点 A（1，3） ，过点 A 作 x 轴的平行线， 分别交两条抛物线于点B， C 下列结论：a=23；x=0 时，y2y1=1；平行于 x 轴的直线 y=m（ 3m5）与两条抛物线有四个交点；2AB=3AC其中错误结论的个数是（）A1 B2 C3

10、D4 （第 12 题图）（第 13 题图）13（）如图，P 是抛物线 C：y=2（x2）2对称轴上的一个动点，直线x=t 平行于 y轴，分别与直线y=x、抛物线 C 交于点 A、B若 ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的等腰直角三角形， 则满足条件的t为14（ 2015? 湖南株洲模拟 ）已知二次函数y=（x2a）2（a1）（a 为常数），当 a 取不同的值时，其图象构成一个 “ 抛物线系 ” 如图分别是当a=1，a=0，a=1，a=2 时二次函数的图象它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y= 15 （ 2014? 湖北十堰 ）已知抛物线C1：y=a（x1）22 的顶点为 A，且经

11、过点B（ 2， 1） （1）求 A 点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图，将抛物线 C1向下平移2 个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB 相交于C，D 两点，求:OACOADSS的值16（2014?广东广州模拟 ）如图，抛物线y=（x1）2k 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C （0，3）（1）求抛物线的对称轴及k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得 PAPC 的值最小，求此时点P 的坐标；（3）点 M 是抛物线上的一动点，且在第三象限当 M 点运动到何处时， AMB 的面积最大？求出AMB 的最大面积及此时点M 的坐标；当 M 点运动到何处时，四边形

12、AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页拓广探究提优17（2015? 湖北孝感调考 ）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线 y=x1 与二次函数的图象交于A，B 两点，其中点A 在 y轴上（1）二次函数的解析式为y= ；（2）证明：点（m，2m1）不在（ 1）中所求的二次函数的图象上；（3）若 C 为线段 AB 的中点，过 C 点作 CEx 轴于 E点， CE 与二次函数的图象交于D 点y 轴上存在点K，使以 K，A，D，C 为顶点的四边形是

13、平行四边形，则K 点的坐标是；二次函数的图象上是否存在点P， 使得 S三角形POE=2S三角形ABD？求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由参考答案例 1 【解析 】（1）抛物线的对称轴为x=1（2）填表如下：x7 5 3 1 1 3 5 y9 4 1 0 1 4 9 （3）描点作图如下：例 2 【答案 】D 【解析 】a=2，开口向下，对称轴为直线x=3，故选项 A 错误；顶点坐标为（3，5） ，故选项 B 错误； a0，二次函数有最大值，最大值为5，故选项 C 错误；当 x3 时 y 随 x 的增大而减小，故选项D 正确例 3 【解析 】（1）A 的坐标是（ 0，2），抛物线的解析式是y=

14、21（x2）2（2）如图， P 为线段 AB 上任意一点，连接PM，过点 P 作 PDx 轴于点 D，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页设 P 的坐标是（ x，21x2），则在 RtPDM 中， PM2=DM2PD2，即 l2=（ 2x）2（21x2）2=45x22x8，自变量 x 的取值范围是5x0答： l2与 x 之间的函数关系是l2=45x22x8，自变量 x 的取值范围是 5x0（3）存在满足条件的点P，连接 AM，由题意得， AM =22OMOA=22，当 PM=PA 时，45x22x8=x2（21x22

15、）2，解得 x=4，此时 y=21 （ 4） 2=4，点 P1（ 4，4）；当 PM=AM 时，45x22x8=（22）2，解得 x1=58，x2=0（舍去），此时 y=21 （58） 2=514，点 P2（58，514）；当 PA=AM 时， x2（21x22）2=（22）2，解得 x1=5104，x2=5104（舍去），此时 y=21 （5104） 2=510102，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页点 P3（5104，510102），综上所述，满足条件的点为P1（ 4，4）、P2（58，514）、 P3（51

16、04，510102）答：存在点 P，使以 A、M、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标是（ 4，4）或（58，514）或（5104，510102）例 4 【解析 】 （1）由题意可得出：抛物线yB=14（x60）2m 经过（ 0，1000） ，则 1000=14（060）2m，解得 m=100，yB=14（x60）2100，当 x=40 时， yB=14 （4060）2100=200直线 yA =kxb 经过（ 0，1000） ， （40，200） ，则1000,40200,bkb解得20,1000.kbyA=20 x1000；（2）当 A 组材料的温度降至120时， 120=20 x

17、1000，解得 x=44当 x=44，yB =14（4460）2100=164（） ， B 组材料的温度是164；（3）当 0 x40 时， yAyB=20 x100014（x60）2100=14x210 x=14（x20）2100，当 x=20 时，两组材料温差最大为1001 【答案 】C 【解析 】二次函数y=（x1）22 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2） ，对称轴为直线x=1，抛物线与 x 轴没有公共点2 【答案 】B 【解析 】抛物线 y=（x1）23 的顶点坐标为（ 1，3） ，把点（ 1，3）向左平移1 个单位得到点的坐标为（0，3） ，所以平移后抛物线解析式为y=x23，所以

18、得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3） 3 【答案 】D【解析 】a0，二次函数图象开口向上，又对称轴为直线x=2， x 分别取2、3、0 时，对应的函数值分别为y1最小， y3最大， y3y2y14 【答案 】A 【解析 】二次函数y=a（x1）2b （a0 ）有最小值， 抛物线开口方向向上，即 a0，又最小值为1，即 b=1，b=1， ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页5 【答案 】 （1， 2）【解析 】抛物线 y=（xm）2m1 的对称轴是直线x=1， m=1，解析式y=（x1）22，顶点坐标为（1

19、，2） 6 【答案 】7【解析 】横、纵坐标都是整数的点有7 个，分别是（ 2，0） ， （2，1） ， （2，2） ， （1，0） ， （1，1） ， （3，0） ， （3，1） 7 【解析 】（1）将 A（ 1，0）代入 y=a（x1）24 中，得 0=4a4，解得 a=1，则抛物线解析式为y=（x1）24；（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到 y=3，即 OC=3，抛物线解析式为y=（ x1）24 的对称轴为直线x=1，CD=1A（ 1，0）， B（3，0），即 OB=3，则 S梯形COBD=(13)32=68 【解析 】（1）抛物线对称轴是直线x=2（2）设直线 x=2 与 x 轴交

20、于点 E，则 E（2，0）抛物线经过原点，B（0，0）， C（4，0） ABC 为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC，AE=BE=EC， A（2， 2）或（ 2，2）当抛物线的顶点为A（2， 2）时， y=a（x2）22，把（ 0，0）代入，得a=21，此时， b=2当抛物线的顶点为A （2，2）时， y=a（x2）22，把（ 0，0）代入，得a=21，此时， b=2a=21，b=2 或 a=21，b=2（3）依题意， BE=AE 时，四边形ABDC 是正方形A（2，b）， AE=|b|， B（2|b|，0）把 B（2|b|，0）代入 y=a（x2）2b，得 ab2b=0，b0 ，

21、ab?bb=0，ab=19 【答案 】C【解析 】抛物线 y=2x2的顶点坐标为（ 0，0） ， x 轴、 y 轴分别向上、向右平移2 个单位，新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为（2， 2） ，新坐标系下抛物线的解析式是y=2（x2）22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页10 【答案 】D【解析 】二次函数y=a（xh）2k 的图象过点A（0，2） ，B（8，3） ，则222,3(8),ahkahk2(8)ah2ah=1，即 a（4h）=116，由于 a0，所以 4h0，h411 【答案 】C【解析 】二次函数的

22、对称轴为直线x=m，m 2 时， x=2 时二次函数有最大值，此时（2m）2m21=4，解得 m=74，与 m 2 矛盾，故 m 值不存在；当 2m1 时， x=m 时，二次函数有最大值，此时m21=4，解得 m=3，m=3（舍去）；当 m1 时， x=1 时二次函数有最大值，此时，（1m）2m21=4，解得 m=2，综上所述， m 的值为 2 或312 【答案 】B【解析 】把 A（1，3）代入 y1=a（x2）23 得 9a3=3，解得 a=23，所以正确；当 x=0 时， y1=23（x2）23=13，y2=12（x3）25=12，则 y2y1=56，所以错误；当 m=3 时，直线 y=

23、m 与两条抛物线有三个交点，所以错误；把 y=3 代入 y1=23（x2）23 得23（x2）23=3，解得 x1=5，x2=1，则 B 点坐标为（ 5，3） ，把 y=3 代入 y2=12（x3）25 得12（x3）25=3，解得 x1=5，x2=1，则 C 点坐标为（ 5，3） ，所以 AB=6，AC=4，则 2AB=3AC，所以正确13 【答案 】552或 1 或 3【解析 】抛物线 C 的对称轴为x=2，故 P点横坐标为2，当 x=t 时，直线 y=x=t，故 A（t，t），则 y2=2x28x8=2t28t8，故 B（t，2t28t8）；若 ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的

24、等腰直角三角形，则有AB=AP 或 AB=BP，此时 AB=|2t28t8t|，AP=|t2|，可得 |t2|=|2t28t8t|；当 2t28t8t=t2 时，如图 1，t25t5=0，解得 t1=552；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页当 2t28t8t=2t 时，如图 2，t24t3=0，解得 t2=1，t3=3；故符合条件的t 值为 1 或 3 或55214 【答案 】y=21x1【解析 】由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a1），设 x=2a，y=a1， 2，消去 a 得 x2y=2，即 y=21x115

25、 【解析 】 （1）抛物线 C1：y=a（x1）22 的顶点为 A，点 A 的坐标为（ 1， 2） 抛物线 C1：y=a（x1）22 经过点 B（ 2， 1） ，a（21）22=1，解得 a=1抛物线 C1的解析式为y=（x1）22（2）抛物线C2是由抛物线C1向下平移 2 个单位所得，抛物线 C2的解析式为y=（x1）222=（x1）24设直线 AB 的解析式为y=kxb， A（ 1，2） ，B（ 2， 1） ，2,21,kbkb解得1,3.kb直线 AB 的解析式为y=x3联立2(1)4,3,yxyx解得3,0 xy或0,3.xyC（ 3，0） ，D（0， 3） OC=3，OD=3过点 A

26、 作 AEx 轴，垂足为 E，过点 A 作 AFy 轴，垂足为F，A（ 1，2） ， AF=1，AE=2SOAC：SOAD=（12OC? AE） ： （12OD?AF）=（12 3 2） ： （12 3 1）=2SOAC：SOAD的值为 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页16 【解析 】（1）抛物线y=（x1）2k 与 y 轴交于点 C（0， 3）， 3=1k，k=4，抛物线的解析式为y=（x1）24，抛物线的对称轴为直线x=1；（2）存在连接 AC 交抛物线的对称轴于点P，则 PAPC 的值最小，当 y=0 时

27、，（ x1）24=0，解得 x=3 或 x=1A 在 B 的左侧， A（ 3，0）， B（1，0），设直线 AC 的解析式为y=kxb，, 3,03bbk解得, 3, 1bk直线 AC 的解析式为y=x3，当 x=1 时， y=（ 1） 3=2，点 P 的坐标为（ 1， 2）；（3）点 M 是抛物线上的一动点，且在第三象限， 3x0；设点 M 的坐标为（ x，（ x1）24），AB=4， SAMB=21 4 |（x1）24|=2|（x1）2 4|，点 M 在第三象限， SAMB=82（x1）2，当 x=1 时，即点 M 的坐标为（ 1， 4）时， AMB 的面积最大，最大值为8；设点 M 的坐

28、标为（ x，（ x1）24），过点 M 作 MD AB 于 D，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页S四边形ABCM=SOBCSADMS梯形OCMD=21 3 121 （3x） 4（x1）221 （ x） 34（x1）2 =23（x23x4）=23（x23）2875，当 x=23时， y=（231）24=415，即当点 M 的坐标为（23，415）时，四边形AMCB 的面积最大，最大值为87516 【解析 】（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为y=a（x2）2，把 x=0 代入 y=x1 得 y=1，则 A

29、（0，1），再代入 y=a（x2）2得 1=4a，则 a=41故二次函数的解析式为y=41（x2）2=41x2x1（2）证明：设点（m，2m1）在二次函数y=41x2x1 的图象上，则有 2m1=41m2m1，整理得 m24m8=0， =（ 4）24 8=160，原方程无解，点（ m，2m1）不在二次函数y=41x2x1 的图象上（3）解： K（0， 3）或（ 0，5）；二次函数的图象上存在点P，使得 SPOE=2SABD，如图，过点B 作 BFx 轴于 F，则 BFCEAO，又 C 为 AB 中点，OE=EF，由于 y=41x2x1 和 y=x1 可求得点 B（8，9），E（4，0）， D（

30、4，1）， C（4，5），ADx 轴，SABD=2SACD=221 4 4=16精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页设 P（x，41x2x1），由题意有SPOE=21 4（41x2x1）=21x22x2，SPOE=2SABD，21x2 2x2=32，解得 x=6 或 x=10，当 x=6 时， y=41 3661=16；当 x=10 时， y=41 100101=16，存在点 P（ 6，16）和 P（10，16），使得 SPOE=2SABD，得到 POE 的边 OE 上的高为 16，即点 P 的纵坐标为16，16=41x2x1，解得 x=10， x=6，P 点坐标为（ 10，16）（ 6，16）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页