由“牧童放牛”想到的__求线段和最小值问题初探.ppt

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1、学习目标：学习目标： 1.灵活掌握定理灵活掌握定理“两点之间线段最短两点之间线段最短”和和“轴对称的性质轴对称的性质”. 2.体会转化思想在数学中的应用，即化体会转化思想在数学中的应用，即化复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体问题问题. 1 1、如图，一位小牧童，从、如图，一位小牧童，从A A地出发，赶着牛地出发，赶着牛群到群到B B地，请问他应该选择怎样的路径，地，请问他应该选择怎样的路径，才能使牛群所走的路程最短？才能使牛群所走的路程最短？ 为什么？为什么？AB考点考点1 1、两点之间线段最短、两点之间线段最短 一、课本中的两点基本知识：一、课本中的两点

2、基本知识： 2 2、小牧童，从、小牧童，从A A地出发，赶着牛群到河岸边地出发，赶着牛群到河岸边L L饮饮水，然后再到水，然后再到B B地，请问怎样选择饮水的地点，地，请问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？才能使牛群所走的路程最短？ABL成轴对称的两个点到成轴对称的两个点到对称轴上任意一点的对称轴上任意一点的距离相等。距离相等。 .AP如图如图, ,等边等边ABCABC中，边中，边长长=1=1，E E是边是边BCBC的中点，的中点，BDBD是是ACAC边上的高，在边上的高，在BDBD上确定一点，使其到上确定一点，使其到E E、C C的距离和最小，这个最的距离和最小，这个最小值是小值

3、是 . .ABCDE二、合作学习、展现精彩二、合作学习、展现精彩如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8，点，点E E、F F分别分别在在ABAB、BCBC上，上，AEAE3 3，CFCF1 1，P P是对角线是对角线ACAC上的一个动点，则上的一个动点，则PEPEPFPF的最小值是的最小值是( ) ( ) EDFACB（20012001海南中考）海南中考）如图所示，在边长为如图所示，在边长为6 6的菱形的菱形ABCDABCD中，中，DAB=60DAB=60，E E为为ABAB的中点，的中点，F F是是ACAC上一上一动点，则动点，则EF+BFEF+BF的最小值是的最小值

4、是 。DCABEF（20052005年年 河南中考）河南中考）如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，ABABCDCDADAD1 1，B B6060，直线，直线MNMN为为梯形梯形ABCDABCD的对称轴，的对称轴，P P为为MNMN上一点，那么上一点，那么PCPCPDPD的的最小值为最小值为_。（20002000年年 荆门中考）荆门中考）如图，如图，A A是半圆上一个三等是半圆上一个三等分点，分点，B B是弧是弧ANAN的中点，的中点，P P是直径是直径MNMN上一动点，上一动点，O O的半径为的半径为1 1，则，则AP+BPAP+BP的最小值是的最小值是 。ANP

5、BMOPQxyOQ Q1 1M（1212，7 7）（2 2，3 3）（2 2，- -3 3）某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座泵水站，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座泵水站，分别向河的同一侧的张村分别向河的同一侧的张村Q Q和李村和李村P P送水，工程人员设计送水，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥图纸时，以河道上的大桥O O为坐标原点，以河道所在的为坐标原点，以河道所在的直线为直线为X X轴建立坐标系，轴建立坐标系，Q Q（2 2，3 3），），P P（1212，7 7），）， 泵水站泵水站建在距离大建在距离大桥桥O O多远的多远的地方可使输地方可使输水管道最短？水管道最短？x

6、yoAC（20082008巩义市期末考试）巩义市期末考试） 如图，抛物线如图，抛物线y=x+bx+cy=x+bx+c与与x x轴交于两点轴交于两点A A（-1-1，0 0），），B B（3 3，0 0）（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）设）设1 1中抛物线交中抛物线交y y轴于轴于C C点，点，在抛物线的对称轴上是否存在在抛物线的对称轴上是否存在点点Q Q，使得，使得QACQAC的周长最短，的周长最短，若存在，求出点若存在，求出点Q Q的坐标；若的坐标；若不存在，请说明理由不存在，请说明理由. .B如图，如图，MON=30MON=30，A A为为OMOM上一点，上一点，

7、OA=1OA=1，D D为为ONON上一点，上一点，OD=3OD=3，C C为为AMAM上任意一点，上任意一点，B B为为ODOD上任意一点，那么折线上任意一点，那么折线ABCDABCD的长的长AB+BC+CDAB+BC+CD的的最小值是多少？最小值是多少？. . .AD M MON. .AA. .D B C 三、自悟自得（小结）：三、自悟自得（小结）：这一类型题的共同特征是：利这一类型题的共同特征是：利用用 和和 的知识，的知识，将将“不在同一直线上的线段和不在同一直线上的线段和 ”转化为转化为 ，从而做到，从而做到化复杂为简单，化抽象为具体。化复杂为简单，化抽象为具体。 1 1、（、（20

8、112011深圳中考）深圳中考）如图如图1 1，抛物线，抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的）的顶点为顶点为C C（l l，4 4），交），交x x轴于轴于A A、B B两点，交两点，交y y轴于点轴于点D D，其中点，其中点B B的坐的坐标为（标为（3 3，0 0）（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）如图）如图2 2，过点，过点A A的直线与抛物线交于点的直线与抛物线交于点E E，交，交y y轴于点轴于点F F，其中，其中点点E E的横坐标为的横坐标为2 2，若直线，若直线PQPQ为抛物线的对称轴，点为抛物线的对称轴，点G G为直线为直线PQP

9、Q上上的一动点，则的一动点，则x x轴上是否存在一点轴上是否存在一点H H，使，使D D、G G，H H、F F四点所围成的四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G G、H H的坐标；若的坐标；若不存在，请说明理由；不存在，请说明理由；四、质疑再探、勇攀高峰四、质疑再探、勇攀高峰1 1、（、（20082008年年 呼和浩特）呼和浩特）如图，已知梯形如图，已知梯形ABCD ABCD ，ADBCADBC，AD =DC=4AD =DC=4，BC =8BC =8，点点N N在在BCBC上，上，CN =2CN =2，E E是是ABAB中点，在中点

10、，在ACAC上找一点上找一点M M使使EM+MNEM+MN的值最小，此时其最的值最小，此时其最小值一定等于小值一定等于 . .2 2、如图，、如图，A A处为牧草地，处为牧草地，B B处是牧童的家，处是牧童的家，A A，B B两处两处距河岸的距离分别为距河岸的距离分别为AC=35mAC=35m，BD=125mBD=125m，且，且ABAB两地的两地的距离为距离为150m150m，天黑前牧童从，天黑前牧童从A A点将马牵到河边去饮水，点将马牵到河边去饮水，再赶回家为了使所走的路程最短，牧童应将马赶再赶回家为了使所走的路程最短，牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来；请你求出到河边的什么地

11、点？请你在图中画出来；请你求出他要走的最短路程他要走的最短路程OXYAB 3.（2008中考说明）中考说明）如图两艘军舰如图两艘军舰A、B在某海港中的在某海港中的位置坐标分别为（位置坐标分别为（2，9）和（）和（10，1），在），在Ox和和Oy两岸上各有一个两岸上各有一个军需所，军需所，A舰舰长乘小艇从舰舰长乘小艇从A舰出舰出发，先到发，先到Oy边的军需所，再到边的军需所，再到Ox边的军需所各边的军需所各 取一些物资，然后取一些物资，然后一块送到一块送到B舰上，要使舰长所走舰上，要使舰长所走的水路最近，他应分别在的水路最近，他应分别在Ox、Oy岸边的何处上岸？岸边的何处上岸？解：求出解：求出A

12、点关于点关于Oy的对称点的对称点C，B点关于点关于Ox的对称点的对称点D，连接，连接CD交交Oy于于E点，交点，交Ox 于于F点，点，E点是舰长在点是舰长在Oy岸边登陆的位置，岸边登陆的位置，F是舰长在是舰长在Ox岸边登陆的位置；岸边登陆的位置；CDEFA、C两点关于两点关于Oy对称，对称，EA=EC， B、D关于关于Ox对称，对称，FB=FD舰长所走的水路为舰长所走的水路为AE+EF+BF=CE+EF+DF，C、E、F、D在同一条直线上在同一条直线上 AE+EF+BF=CE+EF+DF=CD，此时水路最短，也就是，此时水路最短，也就是CD的长；求出直线的长；求出直线CD的解析式，即可的到的解

13、析式，即可的到E、F两点的坐标，也就是舰长分别在两点的坐标，也就是舰长分别在Ox、Oy岸边登陆的位岸边登陆的位置。置。、4.（2010天津市中考）天津市中考）在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，矩形矩形OACB的顶点的顶点O在在坐标原点，顶点坐标原点，顶点A、B分别在分别在x轴、轴、y轴的正半轴的正半轴，轴，OA=3，OB=4，D为边为边OB的中点。的中点。（1）若）若E为边为边OA上的一个动点，当上的一个动点，当CDE周长周长最小时，求点最小时，求点E的坐标；的坐标；（2）若）若E、F为边为边OA上的两个动点，且上的两个动点，且EF=2，当四边形当四边形CDEF的周长最小时，求点的周长最小时，求点E、点、点F的坐的坐标标.