数字谜之竖式谜(一)(6页).doc

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1、-A12标准奥数教程数字谜之竖式谜【知识点与基本方法】跟横式数字谜一样也是一种猜数的游戏。解竖式谜旧的根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数、数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确地推理、判断解答竖式数字谜是应注意的问题：（1）空格中只能填写0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且最高位不能为0；（2）进位要留意，不能漏掉（3）答案有时候不唯一（4）两数字相加，最大进位为1，三个数字相加最大进位为2，（5）两个数字相乘，最大进位为8（6）相同的字母（汉字或符号）代表相同的数字，不同的字母（汉字或符号）代表不同的数字加(7)一个问题，读取整数型，并计算所有各位上数字的总和，直到该和

2、降至一位数。 例如：数字是1256 sum=1+2+5+6=14; sum=1+4=5;【例题精讲】求100999一共900个三位数的各位数字之和也就是2700个数的和只需计算处各个数字出现的次数便可0出现的次数这样算0在个位上出现次数100990共90次0在十位上出现次数a00a09，a为19，共10*9=90次即数字0共出现了180次而数字19出现的次数相同为（2700-180）/9=280次所以所求数等于280*（1+2+9）=280*45=12600【例题精讲】例1.下面的算式中，只有5个数字已写出，请补充其他的数字 6 7+ 2 1 5分析：在5个方格中，要个填写一个数字，是运算式成

3、立，先填哪一个？那就要我们找问题的突破口了从百位来看，和的千位数字只能是1.从市委相加来看，进位到百位，也只能进1，因此 2 的百位是九，和的百位是0.通过上面的分析就找到了问题的突破口了，15-7-6=2 11-2-1=8就得到算式的结果 6 7+ 2 1 5例3.图中，有四个小纸片各盖住了一个数字，问：被盖住的四个数字综合是多少？ + 1 4 9分析：先看个位，因为两个数字相加，最大为9+9=18，所以两个数的和不能是19.从而两个被盖住的个位数字之和等于9.由于个位数字相加不向十位进位，所以两个被盖住的十位数字的和14.因此被盖主的四个数字的总和是14+9=23例4.在下面的方框中填上何

4、时得数字 7 6 1 8 3 1 0分析：由于积的各位舒适0，乘数的个位数是5，由此我们可以得到被乘得数与5相乘的1880，被乘数的百位数字是3，最后因为被乘数是376，积是310，所以乘数的十位数字是8解： 3 7 6 8 5 1 8 8 0 3 0 0 8 3 1 8 6 0例5.下面每个汉字个代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，问：这些汉字个代表什么数字？ 北 京 北 京 市 + 爱 北 京 市 1 9 9 9分析：首先，我们立即得到“爱”表示=1，所以百位数字相加不进位，“北”小于5.又因为三个数字相加小于100+100+100=300所以“北”+“北”大

5、于6，从而“北”=4，知道“爱”和“北”个代表什么数字问题就很好解决了解：爱=1，北”=4 “京”=7 “市”=6例6.在图6-1算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。 分析：首先根据十位上8+5得到4可知，个位有一个进位，所以，个位的空格中必定是9；再根据百位上两个数相加，再加一个进位后得到9，并有进位可知，百位两个空格中都是9；结果中的千位只能是1，于是得到：例7.如图6-2，用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出3个数字，那么这个算式的结果是多少？ 分析：首先，结果中的千位为1；第二，百位上第一个数至少是7，最多是9；

6、如为7，那么，结果中的百位为0，并十位要有进位；由此第一个数的十位可以填6，第二个数的个位填9；如为9，显然不行。所以，结果只能是：【课后练习题】6.在如图6-3所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少？ 7.在图6-6所示的算式中，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？ 8.将1到9这9个数码分别填入图6-8的9个空格中，要求先填1，再在与1相邻(即左、右或上、下)的格中填2，再在与2相邻的空格中填3，依次类推，最后填9，使得加法算式成立。 二 加法与减法中数字和的变化在数字和的问题上，有许多有趣的、富于思考的问题。首先

7、，计算两个数相加，数字和会怎样变化，我们分开不进位加和进位加这两种情况进行讨论。先看546453与546435两题，这两题每题两个加数的各位上的数字的和是546453=546435=27，而546453=999，加的过程没有进位，所得的和999各位上的数字的和999=27；546435=981，两个加数的数字和是27，加的过程个位上满10向十位进1，有一次进位，所得的和981各位上的数字和981=18，比没有进位时，和的数字和少9；再计算546534，两个加数各位上的数字的和也是27，546534=1080，加的过程中，个位和百位分别都满10，各向前一位进1，有两次进位，所得的和1080各位上

8、的数字的和1080=9，比没有进位时少了18，即少了2个9。由此我们可以得到这样的规律：计算加法，没有进位时，加得的和的数字和等于加数的数字和；有进位时，每进位一次，加得的和的数字和就减少1个9。同样，我们也可以归纳出减法中数字和的变化规律：计算减法，没有退位时，减得的差的数字和等于被减数的数字和减去减数的数字和的差；有退位时，每退位一次，减得的差的数字和就增加1个9。下面，我们用上面的规律来解答几个问题。例1：有A、B两个整数，A的各位数字的和是35，B的各位数字的和是29，如果A和B相加时有三次进位，那么把AB所得的和的各位数字相加，和是多少？解：如果相加时没有进位，AB所得的和的各位数字

9、相加的和，等于A和B两个加数数字和相加的和。3529=64，相加时，每进位一次，得数的数字和减少1个9，现有三次进位，得数的数字和减少3个9，所以AB所得的和的各位数字相加，和是6427=37。答：AB的和的数字和是37。例2：整数A减整数B有两次退位，减得的差的数字和是13，已知A的各位数字的和是8，B的各位数字和是多少？解：A的各位数字的和是8，A减B的差的数字和却是13，这有可能吗？如果连同退位使差的数字和增加这一因素考虑在内，这个结果是很正常的。A减B有两次退位，使减得的差比不退位时增加29=18，也可以看作是13由被减数A的数字和8增加了18减去B的数字和得到的。所以B的各位数字的和

10、是81813=13。答：B的各位数字的和是13。例3：整数A的各位数字的和是24，整数B的各位数字的和是22，而AB的和的各位数字的和是10，在加的过程中有多少次进位？解：如果AB在计算中没有进位，所得的和的各位数字的和是2422=46，现在AB的和的各位数字的和是10，比不进位时减少了4610=36，36里面包含9的个数是369=4，所以加的过程中有4次进位。答：在加的过程中有4次进位。例4：甲数和乙数的数字和都能被7整除，甲数加乙数，得数的数字和是3，甲数减乙数，差最小是几？解：甲数和乙数的数字和都能被7整除，相加时如果没有进位，所得的和的数字和也能被7整除，现已知甲数加乙数得数的数字和是

11、3，不能被7整除，因此，甲数加乙数必定有若干次进位，3至少加上2个9，得到329=21，能被7整除，而21=714，即甲数和乙数的数字和一个是7，一个是14，并且甲数加乙数有两位进位。当甲数是61，乙数是59时，甲数减乙数的差为6159=2，这是最小的差。答：差最小是2。例5：11000这1000个自然数所有数字的和是多少？解：11000这1000个自然数所有数字的和比11000这1000个数的和小得多，这是因为把11000这1000个数相加时，有多次进位，每进位1次，比不进位时数字和都减少9，把加得的和按数字和计算的进位次数减去9的个数，才得到所有数字的和，但这样计算太繁了。为了简便地计算这

12、1000个数所有数字的和，可以把这1000个数按以下的方法分组，使每一组相加时都不进位，然后算出每组和的数字和，再求出各组数字和的总和，就是1000个数所有数字的和。 1 2 3 4 4991000 999 998 997 996 995 5001000 999 999 999 999 999 999 各组数的和 1 27 27 27 27 27 999 各个和的数字和这样算得1000个数所有数字的和是127500=13501。答：所有数字的和是13501。*例6：两个四位数相加，第一个四位数的每个数字都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数字调换了位置。某同学做出的答案是16246。试

13、问该同学的答数正确吗？如果正确，写出这两个四位数，如果不正确，请说明理由。解：在对这一题思考时，如果试图按题中的条件找出四位数拼出加法算式，要找出很多的四位数，进行许多的尝试，而且不能进行严密的推理，因此这不是可取的方法。比较好的做法是，先按规律说明是否可能按题目的条件做出这个答数，有可能时，才拼算式，如果不可能，这个答数就是错的。由于第一个四位数的每个数字都不小于5，不管把这四个数字怎样调换组成第二个四位数，第二个四位数的每个数字也都不小于5，两个数相加，四个数位上都要进位，共有四次进位，而两个四位数数字的和是第一个四位数数字和的2倍，是偶数，四次进位使和的数字和比原来八个数字的和减少4个9

14、，所得的和的数字和仍然是偶数，而该同学的答数16246的数字的和16246=19，是个奇数，所以这个答数是错的。应用练习 二1有A、B两个整数，A的各位上的数字的和是31，B的各位上的数字的和是19，A和B相加，得数的各位上的数字的和是32，相加时有几次进位？2A的各位上的数字的和是4，A减去一个两位数，差的各位上的数字的和是24，减数最大是几？3甲数和乙数的数字和都是17的倍数，甲数减乙数，差的数字和是10，甲数最小是几？4甲数和乙数的和是753，两个数的数字和都是11的倍数，两个数中较大的一个最大是几？5110000这10000个自然数所有数字的和是多少？6一个三位数，它的各位上的数字的和

15、能被8整除，这个三位数加1得到的数各位上的数字的和也能被8整除，在所有满足条件的三位数中，最大的一个是几？*7的差是一个自然数的平方，这个自然数的各位数字的和是几？*8的积的各位数字的和是几？课后练习 二1甲数各位数字之和是28，乙数各位数字之和是18，甲、乙两数相加时有三次进位，那么甲、乙两数之和的各位数字之和是多少？2甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10，如果甲数减乙数有两次要从前一位退1再减。那么甲、乙两数之差的各位数字之和是多少？3698加一个数，得数各位上的数字的和是8，已知加上的数各位上的数字的和是12，那么加上的这个数最小是几？4一个五位数，各位上的数字的和是27，这个数加上5，得数的各位上的数字的和是5，这个数最小是多少，最大是多少？5两个自然数的差是41，被减数各位数字的和与减数各位数字的和都能被13整除，被减数最小是几？-第 6 页-