无穷级数练习题(24页).doc

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1、-无穷级数习题一、填空题1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 。2、幂级数的收敛域为 。3、幂级数的收敛半径 。4、幂级数的收敛域是 。5、级数的收敛域为 。6、级数的和为 。7、 。8、设函数 的傅里叶级数展开式为，则其系数的值为 。9、设函数 则其以为周期的傅里叶级数在点处的敛于 。10、级数的和 。11、级数的收敛域为 。参考答案：1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、 10、 11、二、选择题1、设常数，而级数收敛，则级数是（ ）。（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛与有关2、设，则下列命题中正确的是（ ）。（A）若条件收敛，则与都收敛。（B）

2、若绝对收敛，则与都收敛。（C）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。3、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是（ ）。（A）收敛，发散. （B）收敛，发散.（C）收敛. （D）收敛.4、设为常数，则级数是（ ）（A）绝对收敛. （B）条件收敛. （C）发散. （D）收敛性与取值有关.5、级数（常数）是（ ）（A）发散. （B）条件收敛. （C）绝对收敛. （D）收敛性与有关.6、设，则级数（A）与都收敛. （B）与都发散.（C）收敛而发散. （D）发散而收敛.7、已知级数，则级数等于（ ）。（A）3. （B）7. （C）8. （D）9.8、设函数，而 ， 其中，

3、则等于（ ）。（A）. （B）. （C）. （D）.9、设 ，其中 则等于（ ）。（A）. （B）. （C）. （D）.10、设级数收敛，则必收敛的级数为（A）. （B）. （C）. （D）.11、已知级数， ，则级数等于（ ）。（A）3. （B）7. （C）8. （D）9.12、若级数收敛，则级数（ ）（A）收敛. （B）收敛. （C）收敛.（D）收敛.13、若在处收敛，则此级数在处（ ）。（A）条件收敛. （B）绝对收敛. （C）发散. （D）敛散性不能确定.14、设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（ ）（A）5. （B） （C） （D）参考答案：1234567891011

4、121314CBDCCCBCDCDBA三、解答题1、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。【分析一】表明时是比高阶的无穷小，若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小，从而也是的阶或高于阶的无穷小，这就证明了绝对收敛。【证明一】由及的连续性。再由在邻域有二阶连续导数及洛必达法则 由函数极限与数列极限的关系 因收敛收敛，即绝对收敛。2、设正项数列单调减小，且发散，试问级数是否收敛？【分析与求解】因单调下降有下界极限。若，由莱布尼兹法则，并错级数收敛，与假设矛盾，于是。现在对正项级数可用根值判别法：因为 ，所以原级数收敛。3、求幂级数收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。【分析与求解

5、】 直接用求收敛半径的公式，先求 于是收敛半径，收敛区间为当时是正项级数：，而发散， 发散，即时原幂级数发散。当时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。 因 收敛，收敛，又收敛收敛，即时原幂级数收敛。4、（1）验证函数满足微分方程； （2）利用（1）的结果求幂级数的和函数。【分析与求解】（1）首先验证该幂级数的收敛区间是这是缺项幂级数，令，则 原级数由 ，从而时原级数收敛。其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次： ， ， 于是 级数的线性性质 （收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）（2）因为幂级数的和函数满足微分方程 又知 所以为求只须解二阶线性常系数微分

6、方程的初值问题+该方程相应的齐次方程的特征方程为 特征根为 相应齐次方程的通解为 设非齐次方程的一个特解为，代入方程得 非齐次方程的通解为 令，由初始条件 因此 5、求幂级数的收敛区间与和函数【分析与求解】 这是缺项幂级数，令考察，其中 由 的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为。下面求和函数：， 注意，积分两次得 , 因此，6、求级数的和。【分析与求解】先将级数分解： 第二个级数是几何级数，它的和已知 求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察 因此原级数的和 7、求级数的和。【分析与求解】 先用分解法将原级数分解。 记 要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是，即 于是 ，

7、 因此 8、将函数展为的幂级数。【分析与求解】容易展开。 ，由 ，得 在幂级数的收敛区间内可逐项积分得 且收敛区间不变，当时，式右端级数均收敛，而左端在连续，在无定义，因此 9、将函数 展开成的幂级数。【分析与求解】，先求的展开式 积分得 10、设 试将展开成的幂级数，并求级数的和。【分析与求解】 关键是将展成幂级数，然后约去因子，再乘上并化简即可。直接将展开办不到，且易展开，即 积分得 因为右端级数在时均收敛，又在连续，所以展开式在收敛区间端点成立。现将式两边同乘得 上式右端当时取值为1，于是 上式中令 11、将函数展成以为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和。【分析与求解】 按傅氏系数公式，

8、先求的傅氏系数与。因为偶函数 注意到在分段单调，连续且，于是有傅氏展开式 为了求的值，上式中令得 即 现由 12、将函数展开成周期为4的余弦级数。【分析与求解】这就是将作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得的傅氏系数： =由于（延拓后）在分段单调、连续且于是有展开式 13、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端关处的收敛性。解：设 收敛区间当时，而发散原级数在处发散。当时，记 收敛，又收敛。故原级数在处收敛收敛域内14、将函数展开成的幂级数。分析 先将分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。解： 15、将函数展开成的幂级数，并求级数的和。分析 直接展开较困难，先将展开，再递项积分得出的展开式解 当

9、时，收敛 （莱布尼兹判别法）当时，收敛又16、求幂级数的收敛域及和函数解：求收敛域，由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之，设 当，即时，原级数绝对收敛；当即时，原级数发散。所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是当时，绝对收敛同理，当时，绝对收敛，因此，该级数的收敛域为17、求幂级数的收敛区间与和函数。解：此级数是缺项的幂级数令当，即时，级数绝对收敛；当，即时，级数发散。级数的收敛区间为记18、（1）讨论级数的敛散性，（2）已知级数和都收敛，试证明级数绝对敛。（1）解 收敛（2）证 与都收敛收敛收敛即 绝对收敛。19、设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一的正实根，并证明当时，级数收

10、敛。分析 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性 （2）用比较判别法证明收敛。证 （1）取，则在上连续，且，使，又在上严格递增方程存在唯一正实根由 且，有又 收敛收敛。20、设（1）试证：（2）试证：对任意常数，级数收敛。（1）解 直接求的表达式 （2）证 令 于是 由于 收敛 因此 收敛。21、求级数的收敛域。【解】因系数故 因此当，即时级数绝对收敛。当时，得交错级数；当时，得正项级数，二者都收敛，于是原级数的收敛域为22、已知函数 试计算下列各题： ； 【解】用分段积分法，分部积分法和换元积分法，分别可得 ；利用以上结果，有23、设有两条抛物线和，记它们交点的横坐标的绝对值

11、为。（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；（2）求级数的和。【解】（1）用与分别表示两条抛物线与与有两个交点与，如图令 ，容易求得，利用定积分还可求得两抛物线围成的平面图形的面积。 （2） 因为 ，于是 故 24、设，求【解】由 ，有令，因其收敛半径，且，故在内有 于是 令，即得 从而 25、已知满足（为正整数），且，求函数项级数之和。【解】由已知条件可知满足一阶线性微分方程 其通解为 由条件，得，故从而 记，其收敛域为时，有 故 由与在的连续性知，上述和函数公式在处也成立，于是，当时，有26、（1）验证函数满足微分方程；利用的结果求幂级数的和函数。【解】 因为幂级数 的收敛域是，因而可

12、在上逐项求导数，得 ， ，所以 （2）与相应的齐次微分方程为,其特征方程为 ，特征根为因此齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 ，将代入方程 可得 ，即有 于是，方程通解为 当时，有于是幂级数的和函数为27、求幂级数的和函数及其极值。【解】 将等式 逐项求导，得 上式两边从到积分，有 由于，故得到了和函数的表达式 令，可求出函数有惟一驻点，因为 ，可见在点处取得极大值，且极大值为28、设级数的和函数为，求：所满足的一阶微分方程；的表在式。【解】 易见，且幂级数的收敛域为，在上逐项求导，得 因此是初值问题 ，的解。 方程 的通解为由初始条件 求得故 ，因此和函数29、求幂级数在区间内的和函数【解】 不难发现，从而，只需求当时和函数的表达式，注意 其中 逐项求导，得 将上式两端的改写成，并分别从到求定积分，可得 又因，于是 综合以上讨论，即得-第 24 页-