异面直线的判断与所成的角(10页).doc

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1、-异面直线的判断与所成的角-第 10 页异面直线的判断与所成的角一选择题（共10小题）1异面直线是指（）A空间中两条不相交的直线B平面内的一条直线与平面外的一条直线C分别位于两个不同平面内的两条直线D不同在任何一个平面内的两条直线2已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且.，则直线FH与直线EG（）A平行B相交C异面D垂直3在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（）A1个B2个C3个D4个4在长方体ABCDA1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（）

2、A2B4C6D85正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线A1B成45的棱有（）条A4B8C12D26如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）A2对B3对C4对D6对7将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A平行B垂直C相交成60角D异面且成60角8如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A12对B24对C36对D48对9如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）ABCD10一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与C

3、M成60角；EF与MN是异面直线；MNCD，其中正确的是（）ABCD二填空题（共5小题）11如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 12在正四棱锥PABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为 13在棱长为1的正方体ABCDABCD中，异面直线AD与AB所成角的大小是 14如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是 15空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的

4、中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为 异面直线的判断与所成的角参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1异面直线是指（）A空间中两条不相交的直线B平面内的一条直线与平面外的一条直线C分别位于两个不同平面内的两条直线D不同在任何一个平面内的两条直线【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除【解答】解：A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行B 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交D 正确，这就是异面直线的定义故选 D【点评】本题考查异面直线

5、的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有效的方法2已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且.，则直线FH与直线EG（）A平行B相交C异面D垂直【分析】由已知EF为三角形ABD的中位线，从而EFBD且EF=BD，由.，得在四边形EFHG中，EFHG，即E，F，G，H四点共面，且EFHG，由此能得出结论【解答】解：四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是AB、AD的中点，EF为三角形ABD的中位线EFBD且EF=BD又.，CHGCDB，且HGBD，HG=BD在四边形EFHG中，EFHG即E，F，G，H四点共面，且EFHG，四边

6、形EFGH是梯形，直线FH与直线EG相交，故选B【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出EFHG且EFHG，是解答本题的关键3在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（）A1个B2个C3个D4个【分析】利用G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，线面的关系可判断GH、MN是异面直线的图形【解答】解：由题意：G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，对于图1：G，M是中点，上下面平行，故得GH、MN平行；对于图2：过N点作GH的平行线，可得GH与MN相交GH与MN不平行；且GH

7、与MN不在同一平面，故得直线GH、MN是异面直线；对于3：GH与MN不在同一平面，GH与MN不平行，延长必相交故得直线GH、MN不是异面直线；对于4：取GH的中点为E，可得GENM是平行四边形故得GH、MN平行；图2，图3中直线GH、MN是异面直线；故选：B【点评】本题考查了两条直线在空间图形中的位置的判断利用了正三棱柱的特征和中点的性质属于基础题4在长方体ABCDA1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（）A2B4C6D8【分析】作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱【解答】解：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有

8、：BB1和DD1，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2故选：A【点评】本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题5正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线A1B成45的棱有（）条A4B8C12D2【分析】根据线线角的定义在正方体中逐一寻找判断即可【解答】解：如图所示：在正方形ABB1A1中，AA1、AB、BB1、A1B1与A1B均成45角，根据线线角的定义知，DD1、CC1、DC、D1C1都与A1B成45角，所以满足条件的棱有8条，故选：B【点评】本题考查空间中异面直线所成角的定义及其求法，属基础题6如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的

9、直线中，异面直线共有（）A2对B3对C4对D6对【分析】画出三棱锥，找出它的棱所在直线的异面直线即可【解答】解：如图所示，三棱锥PABC中，棱PA与BC是异面直线，棱PB与AC是异面直线，棱PC与AB是异面直线；共3对故选：B【点评】本题考查了空间中的异面直线的判定问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题7将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A平行B垂直C相交成60角D异面且成60角【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DEAB，所以CDE即为直线AB，CD所成的角，在CDE中求解即可【解答】解：如图，直线AB，CD异面因为DEAB，所以C

10、DE即为直线AB，CD所成的角，因为CDE为等边三角形，故CDE=60故选D【点评】本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力8如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A12对B24对C36对D48对【分析】画出正方体，查出一条棱的异面直线的对数为4，用正方体的棱数乘以2即可得到结果【解答】解：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCDA1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，异面直线共有122=24对

11、故选：B【点评】本题考查异面直线的判定，体现了组合思想方法，是基础题9如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）ABCD【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来【解答】解：A 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件B 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件D 中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件C 中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选

12、项C满足条件故选 C【点评】本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断2条直线的位置关系，属于基础题10一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与CM成60角；EF与MN是异面直线；MNCD，其中正确的是（）ABCD【分析】将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确，故应选D【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面二填空题（共5小题）11如图所示，在棱长为

13、2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于【分析】取BC的中点G连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则OEH为异面直线所成的角，在OEH中，利用余弦定理可得结论【解答】解：取BC的中点G连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则E是CC1的中点，GC1EHOEH为异面直线所成的角在OEH中，OE=，HE=，OH=由余弦定理，可得cosOEH=故答案为：【点评】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角12在正四棱锥PA

14、BCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为45【分析】连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OEPA，所以OEB即为异面直线PA与BE所成的角因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以PO平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以PAO即为PA与面ABCD所成的角，即PAO=60，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1PBC中，PB=PC=2，BC=，2（4+2）=4+4BE2，BE=，OE2+

15、OB2=BE2，所以在直角三角形EOB中OEB=45，即面直线PA与BE所成的角为45故答案为为45【点评】本题考查异面直线所成角，考查线面垂直，比较基础13在棱长为1的正方体ABCDABCD中，异面直线AD与AB所成角的大小是【分析】根据题意，连接BC，得出ABC是异面直线AD与AB所成的角，利用等边三角形求出它的大小【解答】解：正方体ABCDABCD中，连接AD、AB、BC，如图所示；则ABDC，且AB=DC，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABC是异面直线AD与AB所成的角，连接AC，则ABC是边长为等边三角形，ABC=，即异面直线AD与AB所成角是故答案为：【点评】本题考查了空间

16、中两条异面直线所成角的作法与计算问题，是基础题14如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60【分析】如图：由于ABMC 且 AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与 CM成的角，根据由CMD为等边三角形，可得MCD=60即为所求【解答】解：原正方体如图所示：由于ABMC 且 AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与 CM成的角由CMD为等边三角形，MCD=60，故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60故答案为：60【点评】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了数形结合的数学思想和转化的数学思想15空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角【解答】解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM=5，GN=在GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：MGN=120所以：异面直线AC与BD所成的角为60故答案为：60【点评】本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型