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1、-放缩法技巧全总结-第 23 页 放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (1
2、5) 例2.(1)求证:(2)求证: (3)求证:(4) 求证:解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证:解析: 一方面: 因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足.设,整数.证明:.解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数, 使, 则,若,则由知因为,于是例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.
3、,求证:.解析:所以 从而例7.已知,求证:证明: ,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8.求证:. 解析:先构造函数有,从而所以 例9.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题)例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所
4、以,所以例14. 已知证明解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路:。于是,即注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:即例16.(2008年福州市质检)已知函数若 解析:设函数函数)上单调递增,在上单调递减.的最小值为,即总有而即令则例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证:函数上是增函数; (II)当; (III)已知不等式时恒成立,求证:解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所
5、以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大”,解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得即例20.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证:解析: 例22. 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线(0)上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明4,; (2)证明有,使得对都有. 解析:(1) 依题设有:,由得: ,又直线在轴上的截距为满足显然,对于,有 (2)证明:设,则设,则当
6、时,所以,取,对都有:故有成立。例23.已知函数,若的定义域为1,0,值域也为1,0.若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。 解析:首先求出,故当时,因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.例24. 设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证五、迭代放缩例25. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论例26. 设,求证:对任意的正整数k,若kn恒有:|Sn+kSn|0,b
7、0,求证:解析: 因为a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列,设,从而47.设,求证.解析: 观察的结构,注意到,展开得,即,得证.例48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数,满足:对任意,都有;对任意都有.(I)试证明:为上的单调增函数;(II)求;(III)令,试证明:. 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,尝试探索
8、看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知,令,则可以得到,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 接下来要运用迭代的思想: 因为,所以, 在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合有= (3)在解决的通项公式时也会遇到困难. ,所以数列的方程为,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有.例49. 已知函数f(x)的定义域为0,1,且满足下列条件: 对于任意0,1,总有,且; 若则有()求f(0)的值;()求证:f(x)4;()
9、当时,试证明:.解析: ()解:令,由对于任意0,1,总有, 又由得即 ()解:任取且设 则 因为,所以,即 . 当0,1时,. ()证明:先用数学归纳法证明:(1) 当n=1时,不等式成立;(2) 假设当n=k时,由 得即当n=k+1时,不等式成立由(1)、(2)可知,不等式对一切正整数都成立.于是,当时,而0,1,单调递增 所以, 例50. 已知: 求证:解析:构造对偶式:令则又 (十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小,保号性是指,定义在上的可积函数,则.例51.求证:. 解析: , 时,.利用定积分估计和式的上下界:定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩
10、形的面积和.例52. 求证:,. 解析: 考虑函数在区间上的定积分.如图,显然-对求和,.例53. 已知.求证:.解析:考虑函数在区间上的定积分.例5,如图,已知直线及曲线:,上的点的横坐标为().从上的点作直线平行于轴,交直线于点,再从点作直线平行于轴,交曲线于点.的横坐标构成数列.()试求与的关系,并求的通项公式; ()当时,证明; ()当时,证明.解析:(过程略).证明(II):由知,.当时,证明():由知.恰表示阴影部分面积,显然 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析: 例56. 设求证:解析: 又(只将其中一个
11、变成,进行部分放缩),于是例57.设数列满足,当时证明对所有 有;解析: 用数学归纳法:当时显然成立,假设当时成立即,则当时,成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得注:上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:;证明就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例58.求证:. 解析:(i)当时, (ii)当时,构造单位圆,如图所示: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii)当时, ,由(ii)可知: 所以综上有十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.例59.求证:对一切,
12、都有.解析: 从而 当然本题还可以使用其他方法,如: 所以. (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明,只要证明:.例6满足:,求证: 解析: ,从而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以综上有引申:已知数列满足:,求证: .解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,所以综上有.同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,.记,.求证:当时.(1); (2); (3). 解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明: (i)当时,结论成立
13、; (ii)假设当时,则时, 从而,所以 所以综上有,故 (2)因为则, ,相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因为,从而,有,所以有 ,从而,所以,所以 所以综上有.例61.已知数列的首项, (1)证明:对任意的,; (2)证明:. 解析:(1)依题,容易得到,要证,即证即证,设所以即证明从而,即,这是显然成立的. 所以综上有对任意的, (法二) ,原不等式成立 (2)由(1)知,对任意的,有取,则原不等式成立十四、经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:.证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以 (方法二)因为,相乘得: ,从而. (方法三)设A=,B=,因为AB,所以A21, 求 a的取值范围. 解析:函数f (x)的定义域为(-, 1)(1, +), 导数为. () 当0 f (0) =1, 因而这时a满足要求. () 当a2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有 x0(0, 1) 且 f (x0) f (0) =1, 因而这时a不满足要求.() 当a0时, 对于任意x(0, 1) 恒有 , 这时a满足要求.综上可知, 所求 a的取值范围为 a2.
限制150内