正态分布(24页).doc

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1、-一、 正态分布图 11.1概率密度函数正态分布的特征（1）正态曲线在横轴上方均数处最高；（2）正态分布以均数为中心，左右对称；（3）正态分布有两个参数，即均数和标准差S。是位置参数，当s固定不变时，越大，曲线沿横轴向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴向左移动。S是形状参数，当固定不变时，S越大，曲线越平阔；S越小，曲线越尖峭；（4）正态曲线下面积的分布有一定规律：正态分布时区间（-1s,+1s）的面积占总面积的68.27%；正态分布时区间（-1.96s,+1.96s）的面积占总面积的95%；正态分布时区间（-2.58s,+2.58s）的面积占总面积的99%。1.2、分布函数图2正态分布是连续性

2、变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即概率密度）。 对于任何正态分布随机变量 x 落入任意区间（ a ， b ）的概率可以表示为： P(ax = 0 .1779，不合格率为:=0.3821,则废品总率为 ZA = 0 . 0222 +0 . 3821 = 0 . 4043即有40.43%属废品。这说明:超下限的废品率2.22%不算太大，混凝土质量基本上是好的;但超过上限的废品率为38.21 0 o，虽不能算作废品，但毕竟是个很大的浪费，尤其在当前，某些施工单位常以多有水泥来提高混凝土强度，这是技术

3、经济管理上所不能允许的。应该采取措施，适当降低平均值(x)为缩小标准差(6，以求得即满足质量要求，又符合经济的原则。通过以上分析，我们可以看出，运用正态分布对工程中的质量问题进行分析和评定，可随时控制和掌握生产过程的质量动态，并针对生产过程中出现的质量问题，及时采取措施和对策以解决，从而保证生产质量始终处于控制状态，最终达到生产质量的稳定，并可降低成本，提高经济效益。同时也可促进和提高质量管理工作的效益和效率。二、 对数正态分布2.1、概率密度函数图 5变量的频数或频率呈中间最多，两端 逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。s 的大小改变图形的高度与峰值的大小，m决定图形的位置。若 X 是

4、一个随机变量， Yln(X)服从正态分布：Y=ln(X)N(m,s2)则称 X 服从对数正态分布。m 和 s 不是对数正态分布的均值和标准差，而分别称为它的对数均值和对数标准差。期望与方差分别是:图 62.2、分布函数图 72.3、可靠度函数2.4、失效率函数图 82.5、应用、问题、案例 半导体器件的沾污、扩散、电流密.度和电压梯度等引起的器件失效，都可以看作是化学的或物理化学的过程所产生的结果，因此在半导体器件的寿命和加速寿命试验中，对数正态分布得到了广泛的应用。另外，对数正态分布还适合于电子设备维修时问的数学模型和反映电子元器件的可靠性增长过程。 钢筋混凝土结构的耐久性可靠性分析是内容复

5、杂且丰富的研究课题，涉及的学科多.美国混凝土学会 201委员会将混凝土耐久性破坏的过程概括为冻融循环君化学侵蚀卿磨蚀缪钢筋锈蚀卿碱骨料反应.与耐久性有关的随机变量统计参数的观测和统计分析是结构耐久性评估的基础工作，但当前的诸如碳化深度、氯离子侵深度等实测资料相等缺乏，因而其变量分布概型，碳化深度或氯离子锈蚀深度预测等问题都有待进一步研究.。对于在0- t1段上的任意时点t混凝土碳化深，度(或氯离子侵蚀深度)x可以调查，从而可建立其极限状态方程为：Z=D-x=0。 式中，D为混凝土保护层的厚度;x为碳化(或氯离子侵蚀)深度. 最保守的寿命预测或结构使用性能评估应认为Z 0时为结构可靠状态.而Z1

6、时，密度函数曲线为单峰型，且随值的减小峰逐渐降低，在3-4时，接近于正态分布当为1时三参数变为两参数指数分布密度函数。位置参数to反映了函数在横轴上的位置变化，在可靠性分析中，to有极限的含义，也称为最小寿命。h尺度参数是当to=0时威尔布分布的特征寿命。b为函数中最有意义的参数。3.2、分布函数图 10 3.3、可靠度函数R(x) =1-F(x)图 113.4、失效率函数l（t）=f(t)/R(t)图 123.5、应用、问题、案例威布尔分布是一种连续分布，它能够描述各种类型机械零部件失效数据的分布规律，在寿命数据分析、可靠性设计、疲劳可靠性分析、维修决策、保修策略制定等方面得到了一定程度的应

7、用。标准的威布尔分布有二参数和三参数两种形式。常用来估计威布尔分布参数的方法可以分为两大类，图解法和解析法。图解法包括经验分布图法、威布尔概率图法和风险率统计图法等；解析法包括极大似然估计法和回归估计法等。这些传统的参数估计方法在样本数据较少时，难以获得较好的结果。 在一些样本数据较为复杂的条件下，比如不同失效模式的数据、不同质量的产品失效数据混合在一起时，传统的威布尔分布不能得到令人满意的拟合结果，传统的参数估计方法也不适用。在可靠性和统计学文献中，提出了在威布尔分布基本模型基础之上的改进模型，如混合模型、分段模型和竞争风险模型等，对于这三种模型的应用和参数估计方法目前也有了一些研究。 (1

8、)基于支持向量回归机(Support Vector Regression，SVR)的威布尔分布参数估计。支持向量回归机是在统计学习理论基础上发展的用于预测输入输出量之间函数关系的一种方法，可以实现线性回归和非线性回归，特别适合于小样本情况。建立威布尔分布的线性回归估计模型，用支持向量回归机求解回归模型中的未知参数，从而获得威布尔分布的形状参数和位置参数的估计值，并讨论支持向量回归机在小样本和大样本条件下的适用性及在小样本条件下的优势。 (2)疲劳剩余寿命可靠性建模。疲劳可靠性中的一个重要问题就是疲劳剩余寿命预测，现有的研究大多是假设疲劳寿命服从正态分布或对数正态分布。威布尔分布在中、长寿命区都

9、适用，也是描述疲劳寿命分布的理想模型。 (3)疲劳寿命服从威布尔分布的P-S-N曲线参数估计。在抗疲劳设计中常用到S-N曲线，考虑疲劳寿命可靠度的一组S-N曲线称为P-S-N曲线，它是进行疲劳可靠性设计的基础工具。获取P-S-N曲线的传统方法是成组试验法，将各种应力水平下疲劳寿命分布曲线上可靠度相等的点用光滑曲线连接而成。假定在各应力水平下，疲劳寿命为独立同分布随机变量，分别服从一个三参数威布尔分布，S-N曲线采用三参数方程来描述，通过寻找疲劳寿命可靠度函数与S-N曲线方程之间的关系，建立非线性方程组，其中的未知数即为S-N曲线方程的三个参数。通过求解非线性方程组，可以获得各种可靠度时的，S-

10、N曲线方程系数，从而可以求解P-S-N曲线方程的表达式。威布尔分布由于含有二个或三个参数，与指数分布相比多了一个形状参数m。因此，它比指数分布适应能力强，对浴盆曲线的三个失效阶段，即早期失效型、偶然失效型、耗损失效型都可以适应。在航天产品中，普遍认为惯性平台产品其寿命遵从威布尔分布。当形状参数m 1时，威布尔的失效率，随着产品工作时间的增加而增大，m越大，增大得越快。而当m=1时，就成为指数分布，失效率为常数，与产品工作时间无关。这正好对应于浴盆曲线的早期失效型，耗损失效型和偶然失效型三种情况。 可靠性评估中采用信息折合是一种普遍使用的方法，文献对二参数威布尔分布且形状参数m已知的信息折合提出

11、了一种方法，即若有n，台产品试验到t，时刻没有失效，而产品的任务时间为t。小时，则试验信息可折合为执行n次没有失效. 这样就可以通过执行任务的成败次数来评估产品的可靠度。上述方法在寿命服从威布尔分布的一次性使用产品上可以得到很好的应用。例如，液体火箭发动机是一次性使用产品，假定该型发动机的额定工作时间2分钟，通过长寿命地而试车例如4分钟来获得更多的信息。但对于要多次使用的产品(包含测试)，例如惯性平台，每次定期检测中都要通电工作，最后上天时产品已经工作了一段时间，折合时就要谨慎一些。 以失效率为桥梁，利用热储备系统求解温储备系统的可靠度，避免了用可靠度的定义直接求解或运用马尔可夫理论求解的繁琐

12、，并且可以将此方法扩展到冷储备系统。在计算时，可以用此算法同时处理三种储备系统，便于编程实现。实例证明了此方法的有效性。四、指数分布图 134.1、概率密度其中 0是分布的一个参数，常被称为率参数即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是0,)。 如果一个X呈指数分布，则可以写作：X Exp（）。指数函数的一个重要特征是无记忆性。这表示如果一个随机变量呈指数分布当s,t0时有P(Ts+t|Tt)=P(Ts)即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。图 144.2、分布函数4.3、可靠性函数图 15R

13、(x) =1-F(x)4.5、应用、问题、案例在和中，指数分布是一种。指数分布可以用来表示独立发生的，比如旅客进机场的时间间隔、新条目出现的时间间隔等等。许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是和的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为越小，分布偏斜的越厉害。指数分布应用广泛，在的工业标

14、准和军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型（如计算机）的MTBF的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。指数分布虽然不能作为机械零件功能参

15、数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。 在电子元器件的可靠性研究中，指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布.假定某种产品的使用寿命服从指数分布，那么指数分布随机变量的无记忆性表明，无论它已经被使用了多长一段时间x，只要还没有损坏，它能再使用一段时间v的概率与一件新产品能使用到时间v的概率一样.就是说，这种产品将“永远年轻”.显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程.所以

16、，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式.这说明以指数分布作为寿命分布是有缺陷的.尽管如此在有些场合人们还是愿意采用这种易于计算的分布作为寿命的模型. 参考文献何朝兵. 指数分布与几何分布的若干重要结论. 山东：山东大学，2010.凌丹. 威布尔分布模型及其在机械可靠性中的应用研究. 成都：电子科技大学，2010宋保维，毛昭勇，李正，王鹏. 系统可靠性设计与分析. 西安：西北工业大学出版社，2008. 12陆祖建,刘雪峰,张仕念,刘春和. 关于威布尔分布的若干问题. 质量与可靠性. 2007年第6期.薄兰邵. 对数正态分布及其应用. 航空航天部半导体器件失效分析中心,. 方法与应用.张俊芝

17、，李桂青. 在役结构可靠度的拟对数正态分布法及其应用. 华东交通大学学报，2001年6月，第18卷第.孙怀义，刘琴. 用于可靠性分析的各类分布函数及实用性分析. 重庆工业自动化仪表研究所重庆，401121.赵鹏毅，高丽. 正态分布在工程质量管理中的应用. 河北建筑科技学院学报，第19卷第2期2002年6月。函数图像程序使用MATLAB软件编写;正态分布f（x）图像函数u=5;q=10;x=-30:0.1:40;y=1/(q.*sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x-u)./q).2);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y)F（x）积分函数syms x c b int

18、(1/(q.*sqrt(2*pi).*exp(-0.5*(x-u)./q).2),x,c,b)图像函数u=5;q=10;c=-100;b=-100:0.01:100;y=1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*2(1/2)*(b-u)/q)*2(1/2)*pi(1/2)-1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*2(1/2)*(c-u)/q)*2(1/2)*pi(1/2)plot(b,y);xlabel(x); ylabel(p);R(X) 图像函数u=5;q=10;c=-100;b=-100:0.01:10

19、0;y=1-(1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*2(1/2)*(b-u)/q)*2(1/2)*pi(1/2)-1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*2(1/2)*(c-u)/q)*2(1/2)*pi(1/2);plot(b,y);xlabel(b); ylabel(y);l(x)图像函数u=5;q=10;c=-40;b=-40:0.01:80;y1=1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*2(1/2)*(b-u)/q)*2(1/2)*pi(1/2)-112

20、5899906842624/5644425081792261*erf(1/2*2(1/2)*(c-u)/q)*2(1/2)*pi(1/2);y2=1-y1;y=y1./(y2.*q);plot(b,y);对数正态分布f（x）图像函数u=0;q=1;x=0:0.1:10;y=1./(q.*x.*sqrt(2*pi).*exp(-0.5*(log(x)-u)./q).2);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);F（x）图像函数u=0;q=1c=0.1;b=0.1:0.1:20;y=1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*log(b

21、)*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)-1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*log(c)*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2);plot(b,y);xlabel(x); ylabel(y)R(X) 图像函数u=0;q=1c=0.1;b=0.1:0.1:20;y=1-(1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*log(b)*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)-1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*log(c)*2(1/2)*2(1/2)*p

22、i(1/2);plot(b,y);xlabel(x); ylabel(y)l(x)图像函数u=0;q=1;c=0.1;b=0.1:0.1:900;y1=1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*log(b)*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)-1125899906842624/5644425081792261*erf(1/2*log(c)*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)y2=1-y1;y=y1./(y2.*q.*b);plot(b,y);xlabel(b); ylabel(y);威布尔分布f（x）图像函数n=1;p=1;m=3;x=

23、1:0.1:4;y=(m./n).*(x-p)./n).(m-1).*exp(-(x-p)./n).m);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);F（x）图像函数n=1;p=1;m=3;x=1:0.1:4;y=1-exp(-(x-p)./n).m);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);R(X) 图像函数n=1;p=1;m=3;x=1:0.1:4;y=exp(-(x-p)./n).m);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);l(x)图像函数n=1;p=1;m=2;x=1:0.1:4;y=(m./n).*(x-p)./n).(m-1);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);指数分布f（x）图像函数l=0.5;x=0:0.01:15;y=l.*exp(-l.*x);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);F（x）图像函数l=0.5;x=0:0.01:15;y=1-exp(-l.*x);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);R(X) 图像函数l=0.5;x=0:0.01:15;y=exp(-l.*x);plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);-第 24 页-