数学中的变形技巧及其应用(16页).doc

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1、-数学中的变形技巧及其应用2009211218分类号O12本科生毕业论文（设计）题目： 数学中的变形技巧及其应用院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学XX级X班 学 生 姓 名 XXX 指导教师（职称） XXX 提 交 时 间 二一三年五月 -第 12 页学 号数学中的变形技巧及其应用XXX（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000） 摘 要 许多数学问题都有一定难度，解决他们往往需要一定的技巧.为了在有限的时间内快速而准确地解决数学题，我们就必须采取一些方法与技巧.这就要求我们在平时的学习过程中细心观察、认真积累一些经验与方法.本文主要介绍数学中一些常用的变形技巧，给出

2、了这些技巧在解数学问题中的应用. 关键词 数学 变形 技巧 应用Deformation technique and its application in mathematicsXxx xxx WANG （Department of mathematics and statistics, Ankang University, Ankang Shaanxi, 725000) Abstract Many mathematical problems are difficult to solve, they often need certain skills. In order to solve mat

3、h problems in the limited time quickly and accurately, we must adopt some methods and skills. Then we must observe carefully and accumulate some experience and methods in the usual learning process. This paper mainly introduces some deformation techniques commonly used in mathematics.Keywords mathem

4、atics deformation technique application目 录摘 要 IAbstractII前 言11.数学中的一般变形技巧21.1 一元二次方程的变形技巧21.2 三角函数的变形技巧41.3 “0”的变形技巧71.4 “1”的变形技巧92.最值问题的常用变形技巧11配方法12换元法13判别式法13不等式法143.运用均值不等式解题的变形技巧15拆项15拆幂15升幂16整体代换16平衡系数17分离取倒数17结束语19参考文献20致 谢21前 言数学是一个有机整体，各个部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个个相互交错的立体空间.因此为了培养学生在数学学习中的运

5、算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力以及综合应用数学知识分析、解决实际问题的能力，我们应该对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并且有意识地运用一些数学方法去解决问题，这样才能够使学生的数学学习提高到一个新的层次、新的高度 .数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.数学中的变形与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富.近几年来，中学数学考试中的考题越来越新颖，尤其是在中考，高考的试题中，要使考生在短短的两个小时之内完成所有的试题，这对大部分考生来说是非常困难的，而且有些试题的技巧性非常强，做起来有一定的难度，考生如果用常规的方法解决，这不仅会浪费很多时间，而且最后还

6、可能得不到正确答案 .所以我们有必要针对一些题采取正确的解题技巧，即对它们作一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，同时增加了我们解题的信心，还提高了我们对数学学习的兴趣.针对以上问题，本文主要总结归纳了数学中的一些变形技巧，通过例题的方式给出这些变形技巧及具体应用.1. 数学中的一般变形技巧技巧性法，只有我们在学习数学的实践中反复操作才能掌握，以至于灵活运用.如勾股定理可表述为也可表述等. ，这显然是一个不屑回答的问题， 就成了最富灵活性的问题， 或.可见“变形”确实是一个内涵十分丰富的概念，在一些著名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是非重要的一个环节.有

7、时我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等任务，常常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无固定的模式或规则，一个式子常常有多种可能的变形，因题而异，技巧性非常强.现在我们来看一下一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望这几方面的变形应用的介绍，对其他题的变形能起到抛砖引玉的作用.下面我们就来谈谈这几种变形技巧的应用.1.1 一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题“化繁为简”.下面举例说明：例1 解： 分析：如果，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效

8、率，以至于节省时间.例2 解：由题意得：分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决. 例3 设实数分别满足并且， 解：由题设可得： 分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题.总结：在解决一元二次方程的代数问题时,首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所求的式子，观察他们之间有什么特点与联系，然后再充分利用已知条件来解决所求的问题.特别是要灵活运用韦达定理： 为一元二次方程，在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手，关键是要善于观察所求式子的特点进而合理适当地变形，使所求问题得到解决.以上三道题都是由问

9、题入手，对已知条件做适当的变形，进而应用韦达定理来解决所求问题.1.2 三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，其与二次函数、初等几何的关系十分密切.特别是“给出已知条件，求三角函数的值”的问题，求三角函数的值的关键即合理地进行三角恒等变形，其最基本的思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征.除此之外，我们还常常应用代数的变形技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件.例4 分析：除了这里的，还有以下等式也经常用到：灵活运用这些等式，能使许多三角函数问题得到简化.例5 分析：本例题是正切公式变形的应用.在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，希望读者在学习中

10、一定要总结、体会以至于灵活运用.例6 ， 分析：对于正切和角可正用也可逆用.则其可变形.这里公式的变形应用.例7 解： 注意到 可变形为 我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度.再观察所求三角函数式， 很容易发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到解决.， 从而方法二：原式构造，则由正玄定理得：又由余弦定理得：，说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧.总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识不可缺少的知识.它包括：化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式.三角函数式恒等变形的理论依据是代数恒等变形的一般方法和

11、法则，三角函数的变形公式在变形中要注意三角函数的定义域和值域的要求，以及符号的变化.1.3 “0”的变形技巧曾有人指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被所限定的数都更重要。事实上，零比其他一切数都有着更丰富的内容：零乘以任何一个数，会把这个数变为零，零除以任何一个不等于零的数都得零”由于零具备许多特殊的性质.因此，在解题过程中我们若能充分地利用这些特性，那么我们将会很快地解出所求的题，下面我们看几个关于“”的特性在解题中的应用.例8 （分子上加“”）再利用不等式和等差数列的有关知识即可.例9 . ,所以 也就是再利用不等式的性质可方便解决此题.例 10 ，求解：（1）令为的前

12、n项和，则然后再利用等差数列的知识便可解决这道题目. 的有关特性去解决.这样可以很快确定解题方向，提高解题效率.1.4 “1”的变形技巧众所周知“1”的变形表述形式是非常多的，在数学问题的求解过程中，如果我们善于捕捉“1”，并且恰当地用“1”来解决数学问题，会使问题显得简洁明了.那么下面我们来看一看它的应用.例11 . （1） 但任何数乘以1其值不变，因此，我们可以在求证式的左边乘以， 将其视为例12 .使问题巧妙解决.本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦.例13 而这里.例14 .中至多有一个为负.，均为非零时，说明:这道题如果不认真去思考，那么将很容易遗漏（1）和（2）这两种情况

13、. 这三个数的正负情况.而第三种情况用到了1和0的变形技巧， 用到了1的变形技巧，而变形技巧.然后再利用不等式的性质便可解决这道题.总结：通过以上的例子可以看出，如果借助“1”来解决有关的数学问题，则效率非常高，因为“1”的变形是多种多样的，对不同的题目，“1”“1”来求解，那么我们应该灵活应用“1”去解决.2. 最值问题的常用变形技巧最值问题是在生产和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选择解题的途径和方法.对学生考查的角度来看，求最值问题是一个综合能力的考查；从内容来看它涉及到：不等式的性质、参数方程、函数的单调

14、性等等；从方法上来说，它涉及到：代数式的变形与变换、数形结合、不等式法、换元法、导数法、分类讨论、内容与方法上的转换等；从能力角度来说，它要求学生有一定的分析能力、解决问题的能力.下面对求最值问题的常用方法进行总结并举例说明，利用各类型的典型例题，分析求最值问题的解题思路，以揭示其中的特征和规律.2.1配方法利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，利用二次函数的有关性质解决问题.它主要用于二次函数或可化为二次函数的函数.在解题过程中要特别注意自变量的取值范围.例15 取得最大值，并求出最大值. ，从而说明：此类题解法关键在于配方法，将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在

15、定义域内，否则考虑函数的单调性.利用换元法解数学题的关键在于选择适当的辅助元，引入适当的代换。这样不仅容易找到解题思路，而且常使问题简单化。用换元法时，一定要注意相关变量的取值范围.例 16 达到最大值，并求出最大值.代入已知等式得：，要使大，则值最小，即需取最大值说明：本题通过换元变形为含正弦函数的解析式，再利用正弦函数的值域来求最大值. 它是利用根的判别式的意义，通过变形得到系数是常数关于一元二次方程后，得出系数二次方程的函数，当时， 时，还需要结合图像求最值.例17 求函数的最值。时等号成立， 说明：这是无理函数的最值问题，采用了平方法，通过自变量的范围制约着最小值的求得。另外考虑到根号

16、式子的特点，用换元法来解可有如下更简单的解法.所以，这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意、考虑利用不等式求最值的三个条件限制时成立； .例18 则，说明：表面上看本题不能使用基本不等式，但只要稍留心便能从两个分母中发现“名堂”， ，两数之积正好为定值“4”，于是巧乘得“4”便可利用基本不等式.3. 运用均值不等式解题的变形技巧均值不等利用均值不等式解题的关键是凑 “定和”和“定积”，在解题过程中常常需要采用“拆项、补项、平衡系数”等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使得复杂问题简单化，收到事半功倍的效果.例19 例20 如果圆柱轴截面的周长为定值，

17、那么圆柱体积的最大值是（ ） 例21 设例22 证明：【注】在做题的过程中大家若细心观察，可得此结论： 所以，平衡系数法就是想办法使未知数前面的系数的代数和为0.以便于在运用均值不等式时能得到定值.例23 用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为，则另一边长为，并设容积为中容器的“分离”就是通过凑补的方法把一个分数式化成多项式.但是在解题过程中，有时我们把一个分数式化成了多项式时：例24 所以，即.总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三等”即 (当且仅当

18、ab时取“=”号)“一正”，“二定”定和或定积 “三等”时还要注意一些变形技巧，灵活运用均值不等式.结束语由于中学数学的改革及社会发展的需求，以及提高我们的应试能力和解决实际问题的能力，数学变形技巧作为一种解题的手段越来越被人们所喜爱，但是它没有固定的形式，所以这就需要我们在平时的学习中加以运用和积累.本文对中学数学中的初等数学和代数中的一些变形技巧加以整理、归类，利用大量的例子来阐述说明.这将会对我未来的中学教师生活起着指导性的作用，在中学数学中熟练掌握了基本的变形技巧，这会使你在解题时得心应手，甚至会提高你对数学的兴趣同时增强你对数学学习的信心.我们在解数学题的过程中难免会遇到这样那样的问

19、题，那么我们应该如何去做才能使问题变得简单易懂呢？从波利亚的“怎样解题”表中可知数学解题一般用四个步骤： 弄清问题.即要知道未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？然后拟定计划. 找不出直接的关系你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划. 实行你的计划. 验证所求的解.但是有时我们在解题的过程中应该注意，如果能利用变形技巧的我们应该利用使得问题简单化.变形技巧是数学解题的一种方法，变形能力的强弱直接影响着解题能力的高低。再次强调，变形属于技能技巧性的知识，它需要在实践中反复操练才能把握，以至于灵活与综合运用.参考文献1 何兵. 均值不等式解题的变形技巧. 高中数理化, 2012(14)

20、：90-92.2 张振继.利用基本不等式求最值十大变形技巧.中学数学杂志（高中版）, 2010(3)：39-41.3 陈珠社. 深化变形巧解题. 数学教学研究, 2011,30(6): 61-64.4 徐德义.一元二次方程变形的应用.初中数学教与学J，2002,10:14-15.5 汪江松.高中数学解题方法与技巧M.武汉：湖北教育出版社,2006:17-22.6 董开福.中学数学教材分析（第一版）M.昆明:云南教育出版社，1999,1:45-56.7 “0”与乘“1”.中学生数学J，2002,6：15-23.8 朱德祥.方法、能力、技巧M.昆明:云南教育出版社，1989:87-99.9 钱双平

21、 林瑛.数学解题方法论（第1版）M.昆明:云南科技出版社，2000,4:44-47.10 唐国庆.高中数学巧思精解专题训练M.长沙:湖南教育出版社，1993:29-31.致 谢时间飞逝，转眼间大学生活即将结束，回首走过的岁月，心里倍感充实.当我写完这篇论文的时候，发现自己在大学生活中学到了以前从未接触到的知识，感慨良多.首先，我要感谢培养我的学校-安康学院，学校拥有浓厚的学习氛围，舒适的学习环境，这使我终身难忘！我真心的希望我的学校蒸蒸日上，再创辉煌！其次，我要诚挚的感谢我的指导老师-XX老师.我的论文是在XX老师忙碌的教学工作中，他挤出时间来为我悉心指导、审查、修改下才完成的.成老师拥有渊博

22、的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严于律己宽以待人的崇高风范，朴实无华，平易近人的人格魅力对我影响至深.本论文从选题到完成，每一步都是在成老师的指导下完成的，花费了成老师大量的宝贵时间和精力.在此，谨向成老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！本论文的顺利完成，离不开各位老师、同学、朋友的关心和帮助.真诚地感谢倾囊赐教、鞭策鼓励我的诸位恩师，你们的谆谆教诲我将铭记于心.祝各位老师身体健康，工作顺利，家庭幸福！感谢我的同窗好友，舍友们，是他们和我共同度过了四年美好而难忘的大学时光，我很珍惜和她们的友谊！祝她们前途似锦，梦想成真！在此，我再次真诚地向帮助过我的老师和同学们表示深深地感谢！谢谢大家！