《相似三角形》讲义(11页).doc

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1、-相似三角形讲义-第 11 页相似三角形讲义一 教学目标：1 知识目标：（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；（2）掌握判定三角形相似的预备定理。2 能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。二 教学重点、难点：重点：相似三角形的概念及判定的预备定理难点：当两个相似三角形部分重叠时，判别它们的对应角和对应边以及例1的证明三 教学过程：(一) 类比联想，动手实验1 回顾全等三角形的含义（两个三角形形状、大小相同，能够完全重合），全等三角形

2、所具有的性质（对应边、对应角相等）。2 让学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线，教师提问：三角形的中位线所截的三角形与原三角形的形状有什么关系？大小呢？各角有什么关系？各边有什么关系？ （二）直观演示，展示新知 A1 相似三角形的定义 A/将上面所截得的三角形移出,记为 ABC，原三角形 B C B/ C /记为 ABC，因此有 A= A ， B= B,C, ,即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。这样的两个三角形虽然大小不一定相等，但形状相同。 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2表示方法： 教师介绍表示法，同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（可

3、以以此与全等符号及表示作一比较，加强记忆）。3 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。4 相似比：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）。强调： ABC与 ABC的相似比是k，则 ABC与 AB C的相似比是。练习：判断下列命题是否正确。错误的，举出反例；正确的，用定义加以说明：所有的等腰三角形都相似。所有的等边三角形都相似。所有的直角三角形都相似。所有的等腰直角三角形都相似。教师示范一个规范过程，让学生模仿，学会用定义来解决问题。 A（三）范例研讨，迁移练习： 1例1。如图，在 ABC中， D E DE/BC，D,E分别在AB，AC上。 B F C

4、求证：ADEABC 师生共同探讨：（1） 目前要证明两个三角形相似只能根据什么？（定义）（2） 根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？（对应角相等，对应边成比例）（3） ADE与ABC满足“对应角相等”吗？为什么？（4） 对应边成比例，由“DE/BC”的条件可得到怎样的比例式？ （5） 本题的关键归结为“只要证明什么”？（6） 根据以前的推论，如何把DE移到BC上去，即应添怎样的辅助线？（EF/AB） 教师板演证明过程。2如图，DE/BC，D、E分别在BA、CA的延长线上， D EADE与ABC 相似吗？ A相似C B 由此得到预备定理：3定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或

5、两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。4例2，如图，D为ABC的AB边上的一点，过点D作 C DE/AC，交BC于E，已知BE：EC=2：1，AC=6CM， 求DE的长。5、练习：P122页1、2、36、课后拓展（机动）： （1）如图甲，已知 ABD ACB，则AD：AB= ： ， AB：BD= ： ，如果AD=2，DC=1，那么AB= （2），如图乙，在 ABC中，AD是角平分线，求证： A A DB C B D C 图甲 图乙 五、归纳总结、布置作业：1 今天学习了相似三角形的定义，它既是三角形相似的判定，又是相似三角形的性质，同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况，其相似比

6、是1；2 平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3 作业相似三角形2四 教学目标：1 知识目标：（1）近一步理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；（2）巩固判定三角形相似的预备定理及应用 掌握判定三角形相似的其他三个方法2 能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。五 教学重点、难点：重点：判定三角形相似的其他三个方法难点；判定三角形相似的其他三个方法及应用三 课堂探究：探究一 在一张方格纸上画

7、一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角 它们有什么特点？ 你认为这两个三角形之间是什么关系？A 你能把理由说来与大家分享吗 DECB如图：ABC和中， ， 求证；ABC证明：截，过D作DE ABCABC结论：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似备注探究二 利用刻度尺和量角器画ABC和，使A=，量BC、的长度，量B、C、的度数你发现BC、的长度有什么关系？你发现B、C、的度数有什么关系？由、能得ABC和有什么关系？结论：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似改变A和K的大小，是否有同样的结论？请同学

8、们自己证明这个结论ABC和，使B=， ， 这两个三角形相似吗？探究三作ABC和，使A=、B=，分别度量两个三角形的边长你发现C与有什么关系？你发现、 、 有什么关系？由、能得ABC和有什么关系？结论：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似请同学们自己证明这个结论四 例题欣赏例1：根据下列条件，判断ABC和是否相似，并说明理由？A=、AB=7、AC=14=、=7、=14 AB=4、 BC=6、AC=8 =12、 =18、=21五、 课堂练习1、根据下列条件，判断ABC和是否相似，并说明理由？A=、AB=8、AC=15=、=16、=30 AB=10、 BC=8、

9、AC=16 =20、 =16、=322、图中的两个三角形是否相似/3、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个的三边长为3、4、5，另一个三角形的一边长为2，它的另两条边长为多少？你有几个答案？4、底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论？5如图：RtABC中，CD是斜边上的高，ACD和ACBD和ABC相似吗？证明你的结论？ 六、归纳总结、布置作业：4 今天学习了相似三角形的三个判定，5 作业相似三角形的性质教学目标：知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。2、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力。过程

10、与方法：1、对性质定理的探究经历观察猜想论证归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。情感与态度：在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用。教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角

11、形中面积之间的关系教学方法与手段：探究式教学、小组合作学习、多媒体教学教学过程：一、创设情境，引入新课1、我们已经学了相似三角形的哪些性质？2、问题情境：某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？二、实践交流，探索新知1、看一看：ABC与ABC有什么关系？为什么？2、算一算：ABC与ABC的相似比是多少？ABC与ABC的周长比是多少？面积比是多少？3、想一想：你发现上面

12、两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？4、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？5、在学生思考、讨论的基础上给出证题过程（多媒体）6、归纳小结；相似三角形性质定理2相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。三、基础训练，加深理解练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2周长比面积比10000归纳：周长比等于相似比；已知相似比、周长比，求面积比要平方，已知面积比求相似比或周长比则要平方。四、综合应用，解决问题已知：如图，DEBC，AB=30m，BD=18m，ABC的周长为80m，面积为100m2，求ADE的周长和面积？

13、五、拓展延伸，共同提高1、 过E作EFAB交BC于F，其他条件不变，则EFC的面积等于多少？平行四边形BDEF的面积为多少？2、 若设SABC=S，SADE=S1，SEFC=S2，试猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？六、类似猜想，深入探究探究：如图，DEBC，FGAB，MNAC，且DE、FG、MN交于点P，若设SDMP=S1，SPEF=S2，SGNP=S3，SABC=S，S与S1、S2、S3之间是否也有类似结论？猜想并加以论证。七、回顾反思，畅谈心得本节课你有何收获？1、这节课我们学到了哪些知识？2、我们是用哪些方法获得这些知识的？3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有

14、什么问题需要继续讨论吗？八、布置作业1、作业本2、3（2）（3）、4、52、探究推理过程课外整理完成，各组自行组织讨论交流。教学设计说明：1、本节课从一个较为实际的生活情境引入，设置问题悬念，激发学生的求知欲望，使学生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法，感受数学知识在生活中的广泛应用。2、性质定理2的学习和探索，注重于知识的形成过程，使学生体验特殊到一般的认知规律，以及由观察猜想论证归纳的数学思维过程。3、由问题的解决变式到例题，再经例题加以拓展延伸，使本节内容衔接更趋自然，同时使学生充分体会类比的数学思想以及图形之间的互相联系。4、教学中注重小组之间的合作交流，在合作中加强学生的团体意识

15、，体验成功的喜悦，树立学习的自信心。相似三角形的应用六 教学目标：1 知识目标：（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；（2）掌握判定三角形相似的四个定理。2 能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。七 教学重点、难点：重点：相似三角形的概念及判定定理难点：把实际问题转化成相似三角形的建模教学过程：一、温顾而知新相似三角形有哪些性质？请画图并用几何语言描述；相似三角形有哪些判定方法？请画图并用几何语言描述；二、例题欣赏 例1、 根据史料

16、记载，古希腊数学家、天文家秦勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求 金字塔的高度 。 解； BA DE BAO=EDF 又AOB=DFE= ABC DEF 因此金字塔的高度134m.例2 如图,为了估算河的宽度,我们可在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、共线且直线与岸垂直，接着在过点且与垂直的直线a上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线b交于点，测得m，m。m。求河的宽度 解；，即解得因此河的宽度为m三课堂练习、在某一时刻，测得一根高为.m的竹杆

17、的影长为m，同一时刻测得一栋高楼的影长为m，这栋楼的高度是多少？、如图，测得m，m，m，求河宽53.53.5 3如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪其他两边的实际长度。 四、小结灵活地应用相似三角形的性质、判定解决实际生活中的问题相似三角形练习题1、如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4米，则AB=_米。 2、一根竹竿的高为 ，影长为 ，同一时刻，某塔楼影长是 ，则塔楼的高度为 .3、已知：在ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件ACP= 或AP

18、C=或 AC2= 时，ACPABC4、如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D请写出图中的两对相似三角形：_（用相似符号连接）5.ABC的三边长分别为 的两边长分别为1和,如果ABC,那么的第三边长为_.6.若ABC.,则ABC和的关系_.7、如果ABCABC，相似比为k (k1)，则k的值是（ ）AA：ABAB：AB CB：BDBC：BC8、若ABCABC，A=40，C=110，则B等于（ ）A30B50 C40D709、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（ ）A15cmB18cm C21cmD24cm10、如图ABCDEF，则图

19、中相似三角形的对数为（ ）A1对B2对 C3对D4对11、ABCA1B1C1，相似比为2：3，A1B1C1A2B2C2，相似比为5：4，则ABC与A2B2C2的相似比为（ ）AB CD12、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（ ）A200cmB200dm C200mD200km13RtABC中，ACB=90，CDAB于D，DEAC于E，那么和ABC相似但不全等的三角形共有 （ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个14在RtABC中，C=90，CDAB于D，下列等式中错误的是（ ）（A）AD BD=CD2 （B）ACBD=CBAD （C）AC2=ADAB （

20、D）AB2=AC2+BC215在平行四边形ABCD中，E为AB中点，EF交AC于G，交AD于F，=则的比值是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）516在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，则BDAD等于 （）（A）ab （B）a2b2 （C） （D）不能确定17.已知直角三角形的斜边长为13CM，两条直角边的和为17CM，则斜边上的高的长度为-18.RtABC中，CD是斜边上的高线，AB=29。AD=25，则DC=-19如图，在ABC中，D为AC上一点，E为延长线上一点，且BE=AD，ED和AB交于F 求证：EFFD=ACBC20、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F

21、.(1)ABE与ADF相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长. （11分）21.如图，在ABC中，ABC90，CDAB于D，DEAC于E，求证：= 22、 如图，在RtABC中，ADB=90,CDAB于C，AC=20CM,BC=9CM,求AB及BD的长23、如图，已知ABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，并且CE=CD,EAC=B,求证：AECBDA, DC2=ADAE24如图，已知PABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H，求证：DE2=EGEH25如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F

22、是AD上的一点，EGCF 且AF=AD，于，（1）求证：CE平分BCF,(2) AB2=CGFG6、如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米。小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。请你计算，电线杆AB的高为7、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？ 8.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图

23、所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.9.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DEAB),那么小玻璃管口径DE是多大?10已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍球的高度应为 11点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟APQ与ABC相似？试说明理由1、有一个三角形草地，三边的长度分别为18 m, 30 m,

24、42 m, 现在画它的平面图，使最长边的长度为7cm,求其余两边的长度，并在下图中画出其余两边2、下图是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm，AB是步枪上的准星宽度2mm，OF是眼睛到正方形靶子的距离160m，求正方形靶子的宽度？ABCEDoF80160000.24、 某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图） （1）他们在AMD和BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满BMC地带所需的费用 是多少元。 （2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APB DPC，且APD的面积与BPC的面积相等，并说明你的理由。5、 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德.2米木杆皮尺平面镜给你一条2米高的木杆,一把皮尺,一面平面镜.你能利用所学知识来测出塔高吗?EACBD 提示 ：