二次函数及其图象.ppt

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1、陕西省数学第三章函数及其图象第13讲二次函数及其图象要点梳理 1定义：形如函数 叫做二次函数2利用配方，可以把二次函数yax2bxc表示成 yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0)要点梳理 3图象与性质 二次函数的图象是抛物线 ， 当_a0_时抛物线的开口_向上_， 这时当_xb2a_时，y 的值随x 的增大而_减小_；当_xb2a_时，y 的值随x 的增大而_增大_；当 x_b2a_时，y 有_最小值4acb24a_当_a0_时抛物线的开口_向下_，这时当_xb2a_时，y 的值随x 的增大而_增大_；当 _xb2a_时，y 的值随 x 的增大而_减小_；当 x_b2a_时，y 有_最

2、大值4acb24a_抛物线的对称轴是直线x_b2a_，抛物线的顶点是_(b2a，4acb24a)_ 要点梳理 4图象的平移二次函数的三种解析式(1)一般式yax2bxc(a，b，c是常数，a0)；(2)交点式ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)；(3)顶点式ya(xh)2k(a，h，k是常数，a0)抛物线的顶点常见的三种变动方式(1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(3)开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反二次函数与二次方程间的关系已知二次函数yax2bxc的函数

3、值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反过来，解一元二次方程ax2bxck，就是把二次函数yax2bxck的函数值看作0，求自变量x的值二次函数与二次不等式间的关系“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y0，y0或y0，y0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况1(2014陕西)二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是( C )Ac1Bb0C2ab0 D9ac3b2(2013陕西)已知两点A(5，y1)，B(3，y2)均在抛物线yax2bxc(a0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是( B )

4、Ax05 Bx01C5x01 D2x033(2012陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线yx2x6向上(下)或向左(右)平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( B ) A1B2C3D6 4(2014陕西)已知抛物线C：yx2bxc经过A(3，0)和B(0，3)两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N. (1)求抛物线C的表达式； (2)求点M的坐标； (3)将抛物线C平移到C，抛物线C的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？ 5(2013陕西)在平面

5、直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A(1，0)、B(3，0)两点(1)写出这个二次函数图象的对称轴；(2)设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当AOC与DEB相似时，求这个二次函数的表达式(提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A(x1，0)、B(x2，0)，那么它的表达式可表示为ya(xx1)(xx2)6(2012陕西)如果一条抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”(1)“抛物线三角形”一定是_等腰_三角形；(2)若抛物线yx2bx(b0)的

6、“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)如图，OAB是抛物线yx2bx(b0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由. 待定系数法确定二次函数的解析式【例1】(2013安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式解：设二次函数解析式为ya(x1)21(a0)函数图象经过原点(0，0)，a(01)210，a1.该函数的解析式为y(x1)21或yx22x【点评】根据不同条件，选择不同设法(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式yax2bxc(a0)

7、，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值；(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数；(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，再将另一条件代入，可求出a值1(1)(2014杭州)设抛物线yax2bxc(a0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 (2)(2013宁波)已知抛物线y与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)且过点C(0，3)求抛物线的解析式和顶点坐标；请你写出一种平

8、移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线yx上，并写出平移后抛物线的解析式解：抛物线y与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线解析式为ya(x1)(x3)，把C(0，3)代入得3a3，解得a1，故抛物线解析式为y(x1)(x3)，即yx24x3，yx24x3(x2)21，顶点坐标(2，1)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为yx2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线yx上利用二次函数的图象与性质解题【例 2】 (2013广州)已知抛物线 y1ax2bxc(a0，ac)过点 A(1， 0)， 顶点为 B， 且抛物线不经过第三象限 (1)使用 a，c 表示 b

9、； (2)判断点B 所在象限，并说明理由； (3)若直线 y22xm 经过点 B，且与该抛物线交于另一点 C(ca，b8)，求当 x1 时，y1的取值范围 解：(1)抛物线 y1ax2bxc(a0，ac)，经过 A(1，0)，把点代入函数即可得到 bac (2)B 在第四象限，理由如下：抛物线 y1ax2bxc(a0，ac)过点 A(1，0)，x11，x2ca，ac，所以抛物线与 x 轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以 a0，且顶点在第四象限 (3)C(ca，b8)，且在抛物线上，b80，b8，acb，ac8，把 B，C 两点代入直线解析式易得ca4，即ac8，ca4，解得c6，a

10、2，如图所示，C 在 A 的右侧，当 x1 时，y14acb24a2 【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点的问题，根据数形结合得出是解题的关键2(2014贺州)二次函数图象的顶点在原点 O，经过点A(1，14)，点 F(0，1)在 y 轴上直线 y1 与 y 轴交于点 H. (1)求二次函数的解析式；(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y1交于点M，求证：FM平分OFP；(3)当FPM是等边三角形时，求P点的坐标(2)证明：点 P 在抛物线y14x2上， 可设点 P 的坐标为(x，14x2)， 过点P 作 PBy轴于点 B，则

11、BF14x21，PBx，RtBPF 中，PF（14x21）2x214x21，PM直线 y1，PM14x21，PFPM，PFMPMF，又PMy 轴，MFHPMF，PFMMFH，FM 平分OFP (3)解：当FPM 是等边三角形时，PMF60，FMH30，在 RtMFH 中， MF2FH224， PFPMFM， 14x214， 解得 x2 3，14x214123，满足条件的点P 的坐标为(2 3，3)或(2 3，3) 利用二次函数解决实际应用题 【例3】(2013哈尔滨)某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系

12、，设坐标原点为O.已知AB8米，设抛物线解析式为yax24.(1)求a的值；(2)点C(1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求BCD的面积【点评】解二次函数的实际应用题关键是根据已知条件建立二次函数模型3(2014毕节)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次解：(1)第一档次

13、的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件第x档次，提高的档次是(x1)档y62(x1)955(x1)，即y10 x2180 x400(其中x是正整数，且1x10)(2)由题意可得10 x2180 x4001120，整理得x218x720，解得x16，x212(舍去)答：该产品的质量档次为第6档结合几何图形的函数综合题【例4】(2013玉林)如图，抛物线y(x1)2c与x轴交于A，B(A，B分别在y轴的左右两侧)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为点D，已知A(1，0)(1)求点B，C的坐标；解：(1)点A(1，0)在抛物线y(x1)2c上，0(

14、11)2c，得c4，抛物线解析式为y(x1)24，令x0，得y3，C(0，3)；令y0，得x1或x3，B(3，0) (2)判断CDB的形状并说明理由；(3)将COB沿x轴向右平移t个单位长度(0t3)得到QPE，QPE与CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围：()当 0t32时，如答图所示：设PQ 与 BC 交于点 K，可得 QKCQt，PBPK3t，设 QE 与 BD 的交点为 F，则y2x6，yx3t，解得x3t，y2t，F(3t，2t)，SSQPESPBKSFBE12PEPQ12PBPK12BEyF123312(3t)212t2t32t2

15、3t ()当32t3 时，如答图所示：设PQ 分别与 BC，BD 交于点 K，点 J.CQt，KQt，PKPB3t.直线 BD 解析式为y2x6，令 xt，得 y62t，J(t，62t)SSPBJSPBK12PBPJ12PBPK12(3t)(62t)12(3t)212t23t92，综上所述，S 与 t 的函数关系式为 S32t23t（0t32）12t23t92（32t3） 【点评】本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点第(3)问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积

16、的和差关系4(2014无锡)如图，二次函数yax2bx(a0)的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为1，AC BC3 1.(1)求点A的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若FCD与AED相似，求此二次函数的关系式解：(1)如图，过点 C 作 CMOA 交 y 轴于点 M. ACBC31，BCAB14.CMOA， BCMBAO，CMOABCAB14BMOB， OA4CM4，点 A 的坐标为(4，0) (2)二次函数yax2bx(a0)的图象过A点(4，0)，16a4b0

17、，b4a，yax24ax，对称轴为直线x2，F点坐标为(2，4a)设直线AB的解析式为ykxn，将A(4，0)代入，得4kn0，n4k，直线AB的解析式为ykx4k，B点坐标为(0，4k)，D点坐标为(2，2k)，C点坐标为(1，3k)C(1，3k)在抛物线yax24ax上，3ka4a，ka.AED中，AED90，若FCD与AED相似，则FCD是直角三角形，FDCADE90，CFD90，FCD90，FCDAED.F(2，4a)，C(1，3k)，D(2，2k)，ka，FC2(12)2(3k4a)21a2，CD2(21)2(2k3k)21a2，FCCD，FCD是等腰直角三角形，AED是等腰直角三角形，DAE45，OBA45，OBOA4，4k4，k1，a1，此二次函数的关系式为yx24x