高中数学人教A版必修5《111正弦定理》课件.ppt

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1、正弦定理复习三角形中的边角关系1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系180 CBAcbacba , 大角对大边，小边对小角大角对大边，小边对小角（一）三角形中的边角关系（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系 （角（角C为直角）为直角） 1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系90 BA222cba sinsinsinabcABC探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？正弦定理及其应用正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出、正弦定理形式的提出

2、abc=2RsinAsinBsinC 的外接圆的半径的外接圆的半径是是 ABCR 正弦定理的推导： ABDC .ObacsinsinsinabcABC=2R (R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）证明：如图，圆证明：如图，圆 O为为ABC的外接圆，的外接圆， BD为直径为直径, 则则 A=D,2 ;sinsinsin90aaBDRAD2 ,2 ;sinsinbcRRBC同理，sinsinsinabcABC=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）CcBbAaaBCbACcABsinsinsin,ABC求证：，已知证明：. AB j BC j AC j的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与则垂直，

3、与作单位向量过AB jAA90B9090jBACacbBaAbsinsinBbAasinsinBCABAC又BCjABjBCABjACj)(cos(90)0cos(90)j ACAj BCB jBACacb.sinsinsin.sinsinBCjBCcBbAaCcBb，垂直于作单位向量同理可证：过ABCj类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立Y YX X2、正弦定理的向量证明、正弦定理的向量证明B BA AC C想一想：如何用向量法证明正弦定理？想一想：如何用向量法证明正弦定理？BABA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为CACA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为BA sinB=

4、CA sinC BACA=sinCsinBabc=sinAsinBsinC同同理理可可得得|BA|cos(90|BA|cos(90o o-B)=|BA|sinB-B)=|BA|sinB|CA|cos(90|CA|cos(90o o-C)=|CA|sinC-C)=|CA|sinCabc=2RsinAsinBsinC正正弦弦定定理理：公式变形式：公式变形式： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=, sinB= sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinCa:b:c=sinA:sinB:sinC利

5、用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：两类问题：1 1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS2 2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA( (从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题) )(1),sinsinABCABabAB中111(2)sinsinsin222SabCbcAacB22sinsinsin(4RABCabcRABCR为外接圆的半径）1()(2r abc rABC为内切

6、圆的半径）例例1. 在在ABC中，已知中，已知c=10，A=45o ，C=30o，求求a , b和和B.例例2. 在在ABC中，已知中，已知 c=1 , 求求a,A,C.3,60 ,bB例例3. 在在ABC中，已知中，已知 a=2, 求求b和和B,C.6,45 ,cA随堂练习随堂练习1、正弦定理适用的范围是、正弦定理适用的范围是A A、直角三角形、直角三角形 B B、锐角三角形、锐角三角形C C、钝角三角形、钝角三角形 D D、任意三角形、任意三角形D2ABCa=8,B=60 ,C=75 ,b=32 A 4 2 B 4 3 C 4 6 D3 、在在中中，已已知知那那么么、C3ABCa=2 3,

7、b=2 2,B=45 ,A= A 60120 B 60 C 30150 D 30 、在在中中，已已知知那那么么、或或、或或、AoABCa= 3, b= 2, B=45 , 例例：在在中中，已已知知解解此此三三角角形形。解：由正弦定理：解：由正弦定理：ab323=sinA=.sinAsinBsinAsin452 A=60120 或或A=60C=75 A=120C=15 bc2c6+ 2=c=2sin75 =.sinBsinCsin45sin752 bc2c6- 2=c=2sin15 =.sinBsinCsin45sin152 为什么有两解的情况？为什么有两解的情况？A A是锐角时是锐角时知识归纳

8、知识归纳已知两角及一边解三角形一定只有一解。已知两角及一边解三角形一定只有一解。 已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、b ba aA AC CB BabsinAabsinAabsinA时时若若baba时两解，时两解，baba时一解时一解B Ba aA A为直角或钝角时为直角或钝角时a ab bA AB BC Ca ab bA AB BC Cabab时有一解，时有一解，一解或两解。一解或两解。abab时无解。时无解。4 4、在、在ABCABC中，中，“A=B”A=B”是是“sinA=sinBsinA=sinB”的的_条条件。件。 A A、充分不必要、充

9、分不必要 B B、必要不充分、必要不充分 C C、充分必要、充分必要 D D、不充分也不必要、不充分也不必要C5 5、在、在ABCABC中，中，a=18,b=20,A=150a=18,b=20,A=150o o, ,则满足此条件则满足此条件的三角形的个数是的三角形的个数是 A A、0 B0 B、1 C1 C、2 D2 D、无数个、无数个AsinAcosB6ABC=,Bab A 30 B 45 C 60 D 90、在在中中，若若那那么么的的值值是是、BCcoscBcosbAcosa 例例4 在三角形在三角形ABC中已知中已知 试判断三角形试判断三角形ABC的形状的形状7ABC3a=2bsinA,

10、B25 A B C D363366、在在中中，若若那那么么的的值值是是、 或或、 或或C9ABCAC= 3 A=45C=75BC=_、在在中中，那那么么210ABCa+b=12, A=60 ,B=45 ,a=_,b=_ 、在在中中，那那么么36-12 612 6-2411ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_ 、在在中中，若若那那么么13 2：12ABCb=3,c=3 3, B=30a=_ 、在在中中，已已知知那那么么3或或6课堂小结：2sinsinsinsinsinsinabca b cRABCABC 作用：1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。2）已知两边和其中一边的对角，求另一边

11、的对角3）可以进行边角之间的互化。注意：已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。的外接圆的半径是 ABCR2ABCb=12,A=30 ,B=45 , 例例 、在在中中，已已知知三角形，并求出它的外接圆半径。三角形，并求出它的外接圆半径。解这个解这个bb12=2RR=6 2sinB2sinB2sin45 解解：又又A=30A=30o o, B=45, B=45o o, ,所以所以C=105C=105o o 2+ 6sinC=sin105 =sin 60 +45=4bsinA12 sin30a=6 2sinBsin45 由由正正弦弦定定理理 b sinC12sin105c=6 1+

12、 3sinBsin45 例例3 3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。先判断三角形是否有解？有解的作出解答。 1 a=7,b=8,A=105 ; 2 a=2 3,b=6,A=30 1 a=7,b=8,a90 ,解解：本题无解。本题无解。 2 a=2 3, b=8,ab,A=30 bsinA, 又又本题有两解。本题有两解。bsinA6sin303sinB=a22 3 由由正正弦弦定定理理得得B=60B=60o o或或120120o o, , asinC2 3sin90c=4 3sinAsin30 当当B=60B

13、=60o o时，时，C=90C=90o o. .当当B=120B=120o o时，时，C=30C=30o o. .asinC2 3sin30c=2 3sinAsin30 B=60C=90c=4 3B=120 ,C=30 ,c=2 3，或或4ABCa= 2,b= 3,A=45 ,BCc 例例 、在在中中，已已知知求求 、 及及ab=,sinAsinB解解：由由正正弦弦定定理理得得bsinA3323sinB=sin45 =,a2222 ba,Bba,BA=45A=45o o,有两解有两解B=60B=60o o或或120120o o1)1)当当B=60B=60o o时，时，C=75C=75o o,

14、,a sinC2sin756+ 2c=,sinAsin452 2)2)当当B=120B=120o o时，时，C=15C=15o o, ,a sinC2sin156- 2c=,sinAsin452 （例（例2变式）变式）为锐角，试判断此三角形的形状。为锐角，试判断此三角形的形状。例例5 5、在、在ABCABC中，如果中，如果lga-lgc=lgsinB=-lglga-lgc=lgsinB=-lg , ,且且B B22lgsinB=-lg2sinB=B=452 解解：a2sinA2lga-lgc=-lg2=c2sinC2由由 2sin 135 -C = 2sinC 2 sin135 cosC-co

15、s135 sinC = 2sinC2cosC+ 2sinC= 2sinCcosC=0C=90 所以此三角形为等腰直角三角形所以此三角形为等腰直角三角形226ABCtanA:tanB=a :b ,ABC例例 、在在中中，若若判判定定的的形状。形状。222222asin AsinAcosBsin A=bsin BcosAsinBsin B解解：由由正正弦弦定定理理得得cosBsinA=sinBcosB=sinAcosAcosAsinBsin2B=sin2A2A=2B2A+2B= 或或A=BA+B=2 或或所以三角形所以三角形ABCABC是等腰三角形或直角三角形。是等腰三角形或直角三角形。练习：练习

16、：（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. CABC （2）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D正弦定理正弦定理练习：练习：（3）在任一）在任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左边左边 代入左边得：代入左边得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立=右边右边0 正弦定理正弦定理1.coscos ,ABCbA aB（1）在中，判断三角形的形状1,2,30 ,oABCabAB已知中，求ABC （2）在）在 中，若中，若 ，则的形状，则的形状 2cos2cos2cosCcBbAa ABC