等差数列及其性质---讲义.ppt

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1、等差数列及其前n项和(一) -高考复习研讨课主讲人:吴茶申一、一、知识梳理知识梳理1 1、等差数列的等差数列的定义定义: :如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与它的前一项的差等于每一项与它的前一项的差等于_,_,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列, ,这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的_,_,一般一般用字母用字母d d表示表示, ,定义的表达式为定义的表达式为:_.:_.同一个常数同一个常数公差公差a an+1n+1-a-an n=d(nN=d(nN* *) )2 2、等差中项等差中项: :如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列,

2、,那么那么A A叫做叫做a,ba,b的等差中项的等差中项, ,且且A=_.A=_.3 3、等差数列的通项公式等差数列的通项公式: :若等差数列若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1, ,公差是公差是d,d,则其通项公式为则其通项公式为a an n=_.=_.ab2a a1 1+(n-1)d+(n-1)d4 4、等差数列的前、等差数列的前n n项和公式项和公式: :已知条件已知条件前前n n项和公式项和公式a a1 1,a,an n,n,n S Sn n= =a a1 1,d,n,d,n S Sn n= =1nn(aa )21n(n1)nad25 5、等差数列的性质、等差数列的性质(

3、1)(1)通项公式的推广通项公式的推广:a:an n=a=am m+_(n,mN+_(n,mN* *).).(2)(2)若若aan n 是等差数列是等差数列, ,且且m m+ +n n= =p p+ +q q(m,n(m,n,p,q,p,qNN* *),),则则_;_;p p+ +q q=2m=2m _ ( (p p, ,q q,mN,mN* *).).(3)(3)S Sm m,S,S2m2m,S,S3m3m分别为分别为aan n 的前的前m m项项, ,前前2m2m项项, ,前前3m3m项的和项的和, ,则则S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m, ,_ 成等差数列成等差数列. .如下图

4、所示：如下图所示：(n-m)d(n-m)da am m+a+an n=a=ap p+a+aq qa ap p+a+aq=2a=2am mS S3m3m-S-S2m2m mmmmmSSSmmSSmmmaaaaaaaa3232m31221S321(4)(4)两个等差数列两个等差数列aan n,b,bn n 的前的前n n项和项和S Sn n,T,Tn n之间的关系为之间的关系为(5)(5)aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=An=An2 2+Bn(A0)+Bn(A0)是是aan n 成等差数列的成等差数列的 条件条件. .( (6 6) )等差数列的增减性等差数列的增减性:d0:d0时

5、为时为_数列数列, ,且当且当a a1 100时前时前n n项和项和S Sn n有最有最小值小值.d0.d00时前时前n n项和项和S Sn n有最大值有最大值. .n2n 1n2n 1aS.bT充分充分不必要不必要递增递增递减递减【小题快练】【小题快练】1.1.判断对错判断对错(1)(1)若一个数列从第若一个数列从第2 2项起每一项与它的前一项的差都是常数项起每一项与它的前一项的差都是常数, ,则这个则这个数列是等差数列数列是等差数列.(.( ) )(2)a(2)an n 为等差数列的充要条件是对任意为等差数列的充要条件是对任意nNnN* *, ,都有都有2a2an+1n+1=a=an n+

6、a+an+2n+2.(.() )(3)(3)等差数列等差数列aan n 的单调性是由公差的单调性是由公差d d决定的决定的.(.() )(4)(4)数列数列aan n 为等差数列的充要条件是其通项公式为为等差数列的充要条件是其通项公式为n n的一次函数的一次函数.(.() )(5)(5)等差数列的前等差数列的前n n项和公式是常数项为项和公式是常数项为0 0的二次函数的二次函数.(.() )2.2.已知等差数列已知等差数列-5,-2,1,-5,-2,1, ,则该数列的第则该数列的第2020项为项为. .答案答案: :52523.3.在在100100以内的正整数中有以内的正整数中有个能被个能被6

7、 6整除的数整除的数. .答案答案: :16164 4. .在等差数列在等差数列a an n中中,a,a1 1=2,a=2,a3 3+a+a5 5=10,=10,则则a a7 7=(=() )A.5 B.8 A.5 B.8 C.10 C.10 D.14D.14答案：答案：B.B.因为因为a a1 1+a+a7 7=a=a3 3+a+a5 5, ,所以所以a a7 7=(a=(a3 3+a+a5 5)-a)-a1 1=10-2=8.=10-2=8.5.5.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S S1717为一确定常数为一确定常数, ,则下列各式也为则下列各

8、式也为确定常数的是确定常数的是( () )A.aA.a2 2+a+a1515 B.a B.a2 2a a1515C.aC.a2 2+a+a9 9+a+a1616 D.a D.a2 2a a9 9a a1616【解析解析】选选C.C.因为因为S S1717为一确定常数为一确定常数, ,根据公式可知根据公式可知a a1 1+a+a1717为一确定常数为一确定常数, ,又又a a1 1+a+a1717=a=a2 2+a+a1616=2a=2a9 9, ,所以所以a a2 2+a+a9 9+a+a1616为一确定常数为一确定常数, ,故选故选C.C.考点考点1 1 等差数列的基本运算等差数列的基本运算

9、例例1 1: :考点精讲考点精讲;, 0, 122,99;105 ) 1 (34720642531daaaaaaaaaaan求公差）（的值；求为等差数列，已知1(1)a2021)2(d【规律方法】【规律方法】1.1.等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的通性通法及巧法及巧法(1)(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项等差数列运算问题的一般求法是设出首项a a1 1和公差和公差d,d,然后由通项然后由通项公式或前公式或前n n项和公式转化为方程项和公式转化为方程( (组组) )求解求解. .(2)(2)等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n n项和公式项和公式, ,共涉及五个量

10、共涉及五个量a a1 1,a,an n,d,n,S,d,n,Sn n, ,知其中三个就能求另外两个知其中三个就能求另外两个, ,体现了方程的思想体现了方程的思想. .变式训练变式训练1 1 . .已知等差数列已知等差数列 的前的前n n项和为项和为 ，若，若 ， ，则则 （ ）A.A.8 8 B. B.1010 C.C.1212 D.D.1414 nanS63a123S6aC C考点考点2 2 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明例例2 2： .2121),1(44, 411的通项）求数列（是等差数列；）求证：数列（记满足已知数列nnnnnnnababnaaaa【规律方法】【规律方法】等差

11、数列的四个判定方法等差数列的四个判定方法(1)(1)定义法定义法: :证明对任意正整数证明对任意正整数n n都有都有a an+1n+1-a-an n等于同一个常数等于同一个常数. .(2)(2)等差中项法等差中项法: :证明对任意正整数证明对任意正整数n n都有都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2后后, ,可递推得出可递推得出a an+2n+2-a-an+1n+1=a=an+1n+1-a-an n=a=an n-a-an-1n-1=a=an-1n-1-a-an-2n-2= =a=a2 2-a-a1 1, ,根据定义得出数列根据定义得出数列aan n 为为等差数列等差数列.

12、 .(3)(3)通项公式法通项公式法: :得出得出a an n= =A An+n+B B后后, ,得得a an+1n+1-a-an n=p=p对任意正整数对任意正整数n n恒成立恒成立, ,根根据定义判定数列据定义判定数列aan n 为等差数列为等差数列. .(4)(4)前前n n项和公式法项和公式法: :得出得出S Sn n=An=An2 2+Bn+Bn后后, ,根据根据S Sn n,a,an n的关系的关系, ,得出得出a an n, ,再使再使用定义法证明数列用定义法证明数列aan n 为等差数列为等差数列. .提醒提醒: :等差数列主要的等差数列主要的证明证明方法是定义法和等差中项法方

13、法是定义法和等差中项法, ,而对于通项公而对于通项公式和前式和前n n项和公式的方法项和公式的方法只是作为判断，只是作为判断，主要适合在选择题或填空题主要适合在选择题或填空题中简单判断中简单判断. .变式训练变式训练2 2 (1)(1)设设a an n=(n+1)=(n+1)2 2,b,bn n=n=n2 2-n(nN-n(nN* *),),则下列命题中不正确的则下列命题中不正确的是是( () )A.aA.an+1n+1-a-an n 是等差数列是等差数列 B.b B.bn+1n+1-b-bn n 是等差数列是等差数列C.aC.an n-b-bn n 是等差数列是等差数列 D.a D.an n

14、+b+bn n 是等差数列是等差数列D D考点考点3 3 等差数列性质的应用等差数列性质的应用命题角度命题角度1:1:根据等差数列的性质求基本量根据等差数列的性质求基本量例例3 3：等差数列等差数列aan n 前前1717项和项和S S1717=51,=51,则则a a5 5-a-a7 7+a+a9 9-a-a1111+a+a1313等于等于( () )A.3 B.6 A.3 B.6 C.17 C.17 D.51D.51【参考解答】【参考解答】选选A.A.由于由于S S1717= = 17=17a17=17a9 9=51,=51,所以所以a a9 9=3.=3.根据等差数列的性质根据等差数列的

15、性质a a5 5+a+a1313=a=a7 7+a+a1111, ,所以所以a a5 5-a-a7 7+a+a9 9-a-a1111+a+a1313=a=a9 9=3.=3.117aa2命题角度命题角度2:2:根据等差数列的性质求前根据等差数列的性质求前n n项和的最值项和的最值例例4 4：设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知S S3 3= =S S1111, ,a a1 1= =1313. .求求S Sn n的最的最大大值值。方法技巧归纳方法技巧归纳求等差数列的前求等差数列的前n n项和项和S Sn n最大最大( (小小) )值的常用方法值的常

16、用方法1.1.邻项变号法：邻项变号法：(1)(1)当当a a1 100，d0d0时，满足时，满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取取得最大值为得最大值为S Sm m. .(2)(2)当当a a1 100时，满足时，满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取得最小值为取得最小值为S Sm m. .mm 1a0,a0mm 1a0,a02.2.函数法：利用等差数列的前函数法：利用等差数列的前n n项和项和(d0), S(d0), Sn n可看成关于可看成关于n n的二次函数式且常数项为的二次函数式且常数项为0,0,借助二次函数的借助二次函数的图象或配方法解决最值问题，注意图象或配方法解决

17、最值问题，注意nNnN* *. .2n11n(n1)ddSnadn(a)n222变式训练变式训练3 3：设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知a a3 3=12,S=12,S12120,S0,S13130.0,S0,S13130,0,所以所以 即即又又a a3 3=a=a1 1+2d=12,+2d=12,所以解得所以解得1112 1112ad0,213 1213ad0,2112a11d0,a6d0.24d3.7 (2)(2)由题意及等差数列的性质可得由题意及等差数列的性质可得 所以所以a a7 70,a0.0.所以在数列所以在数列aan n 中，前

18、中，前6 6项为正，从第项为正，从第7 7项起，以后各项为负，项起，以后各项为负，故故S S6 6最大最大. .112126711313712(aa )S6 aa0,213(aa )S13a0.2课堂小结课堂小结1、等差数列基本运算的通法与巧法；、等差数列基本运算的通法与巧法；2、等差数列的判定、等差数列的判定等差数列的证明等差数列的证明,常见的方法常见的方法 （判定（判定-四种；证明四种；证明-定义）定义）；3、常见的数列性质的应用：、常见的数列性质的应用：与项数相关的应用；与项数相关的应用；与前与前n项和相关的性质应用；项和相关的性质应用；4、性质、性质3及性质及性质4的应用下一次课进行探讨的应用下一次课进行探讨.作业：作业： 世纪金榜世纪金榜 活页活页P274P274 （B B组第五题选做）组第五题选做）