应用基本不等式求最值.ppt

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1、应用基本不等式求最值应用基本不等式求最值复习回顾复习回顾基本不等式：基本不等式： (当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)2ababab2222abab22,2a bRabab0,0,2ababab4 ,2520, lglg.x yxyuxy例 设为正实数，且求的最大值25 0,0,25102xyxyxyxy解：1010,10.xyxy25.xy当且仅当时，等号成立252025xyxy5,2.xy解得：lglglg()lg101.uxyxy一、问题情境一、问题情境2xyxy222xyxyxyxy设设 ，则有，则有0,0 xy当且仅当当且仅当 时，

2、时，“=”成立成立xy利用基本不等式能否求最值呢？利用基本不等式能否求最值呢？ 已知已知 都是正数，都是正数，（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时，和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时，积积 有最大值有最大值yx,yxyxyx P2yx 241Sxyxy最值定理最值定理积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大二、建构数学三、应用数学：三、应用数学：则大40,0_xyxyxy已知， 的最 值是若 ，则 的最小值是0, 0baabba基础练习基础练习4 ,2520, lglg.x yxyuxy例 设为正实数，且求的最大值25

3、 0,0,25102xyxyxyxy解：1010,10.xyxy25.xy当且仅当时，等号成立252025xyxy5,2.xy解得：lglglg()lg101.uxyxy._lglg,20,2最大值是的则满足、正数yxyxyx21)0, 0(232 yxyx612311、已知 则x y 的最大值是 ，此时x= ,y= 。基础练习基础练习应用基本不等式求最值应用基本不等式求最值一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等必须有自变量值能使函数值取到必须有自变量值能使函数值取到 = 号号.各项必须为各项必须为正正;含变数的各项和或积必须为含变数的各项和或积必须为定值定值;(1)利用基本不等式求函数最值

4、的步骤利用基本不等式求函数最值的步骤:. 4, 4424y) 1 (minyxxxx所以因为判断以下命题是否正确变式：; 8,2,8,8,)2(min22yxxxxxyRx时当中则设 . 6, 692所以函数的最小值是则若xxy,x03sin9sin不一定是正数和错。因为xx1xxsin9sin错。因为不是定值错。因为xx82一正二定三相等思考：思考： 110求的最小值xyxx 120求的最大值xyxx解： 210,0,0 xxx 12xyx 1,1xxx 当且仅当即时取得“ ”max12xy 当时,15 (0),2.yxxyx例 已知证明：11(2)00,()()xxyxxxx 当时，1 (

5、1)02,1 1.xyxxxxx证明： 当时，当且仅当，即时，等号成立1(1)()2,1.()1()2,2.()xxxxyx 由可知当且仅当时等号成立即,0,02ababab 时常用一不正11x构造积为定值构造积为定值解解：x1 x10 x （x1） 1 ) 1(1x11x311112xx已知已知x1，求，求x 的最小值以及取得的最小值以及取得最小值时最小值时x的值。的值。 凑项法凑项法(2)(2)先变形再利用基本不等式求函数最值先变形再利用基本不等式求函数最值: :例：例：当且仅当x1 时取“”号。于是x2或x0（舍去）11x变二二不不定定, ,需需形形即即x=x=61时时 y ymaxma

6、x=1210 0 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121解：解：凑系数凑系数的最大值。求函数已知xxyx31,310例：例：构造和为定值构造和为定值当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x (2)(2)先变形再利用基本不等式求函数最值先变形再利用基本不等式求函数最值: :变二二不不定定, ,需需形形你还有其他的解法吗？你还有其他的解法吗？1、 求函数求函数 的最小值的最小值.)3(31xxxy2 2、求函数、求函数f(x)=x(4-f(x)=x(4-2 2x) (0 x2)x) (0 x2)的最大

7、值是多的最大值是多少？少？基础练习基础练习3、 已知 ，求 的最大值10 x21xx的最小值求函数01322xxxy4 4、错解错解: :(2)(2)先变形再利用基本不等式求函数最值先变形再利用基本不等式求函数最值: :二、应用基本不等式求最值二、应用基本不等式求最值225 .44xyx求函数的最小值例222254 144xxyxx22144xx22214.4xx当且仅当时，等号成立(3)(3)取不到等号时用函数单调性求最值取不到等号时用函数单调性求最值: :正解正解: :1(2)yttt 则min52,0,.2txy当即时,常三不等用单调性二、应用基本不等式求最值二、应用基本不等式求最值22

8、5 .44xyx求函数的最小值例222254 144xxyxx22144xx24,tx令小结：小结：基本不等式的应用基本不等式的应用1.基本不等式可证明简单的不等式基本不等式可证明简单的不等式2.应用基本不等式求最值的问题应用基本不等式求最值的问题(1)利用基本不等式求函数最值的步骤利用基本不等式求函数最值的步骤:一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等,0,02ababab 一不正常用(2)先变形再利用基本不等式求函数最值先变形再利用基本不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性求最值取不到等号时用函数单调性求最值:,二不定 需变形,三不等 常用单调性 1、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（ ）A、10 B、 C、 D、2、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（ ）A、 B、C、 D、) 0,(55xRxxxy)101 (lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5 yxyx333664318CD3、求函数、求函数 的值域的值域xxy321