第三节函数的单调性与最值.ppt

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1、考纲要求考情分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性、最值是函数中的重要内容，是高考命题的热点之一考查时主要为函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题2.题型多以选择题、填空题为主；若与导数知识交汇命题则以解答题的形式出现，属中高档题.知识能否忆起知识能否忆起一、函数的单调性一、函数的单调性1单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定定义义设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I.如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任上的任意两个自变量的值意两个自变量的值x1

2、，x2当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上上是减函数是减函数f(x1)f(x2) 增函数增函数减函数减函数图象图象描述描述自左向右看图象自左向右看图象自左向右看图象自左向右看图象逐渐上升逐渐上升逐渐逐渐下降下降2单调区间的定义单调区间的定义若函数若函数yf(x)在区间在区间D上是上是 或或 ，则称，则称函数函数yf(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，单调性， 叫叫做做yf(x)的单调区间的单调区间增函数增函数减函数减函数区间区间

3、D二、函数的最值二、函数的最值前前提提设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足满足条条件件对于任意对于任意xI，都有，都有 ；存在存在x0I，使得，使得对于任意对于任意xI，都有，都有 ；存在存在x0I，使得，使得结结论论M为最大值为最大值M为最小值为最小值f(x)Mf(x)Mf(x0)Mf(x0)M解析：由函数的奇偶性排除解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排，由函数的单调性排除除B、C，由，由yx|x|的图象可知此函数为增函数，的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选又该函数为奇函数，故选D.小题能否全取小题能否全取1(2012陕西高考陕

4、西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函下列函数中，既是奇函数又是增函数的为数的为()答案：答案：D答案：答案：D2函数函数y(2k1)xb在在(，)上是减函数，则上是减函数，则()答案：答案：D4(教材习题改编教材习题改编)f(x)x22x(x2,4)的单调增区的单调增区间为间为_；f(x)max_.解析：函数解析：函数f(x)的对称轴的对称轴x1，单调增区间为，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：答案：1,48答案：答案： (1,0)(0,1)1.函数的单调性是局部性质函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某从定义上看，函数的单调性是指函数在

5、定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调在整个定义域上不一定单调2函数的单调区间的求法函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，

6、首先判断两个简单根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据函数的单调性，再根据“同则增，异则减同则增，异则减”的法则求解函的法则求解函数的单调区间数的单调区间注意注意单调区间只能用区间表示，不能用集合或单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号符号“”联结，也不能用联结，也不能用“或或”联结联结对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：单调性有两种方法：(1)结合定义结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、基

7、本步骤为取值、作差或作商、变形、判断判断)证明；证明；(2)可导函数则可以利用导数证明对于抽象函数单可导函数则可以利用导数证明对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行调性的证明，一般采用定义法进行A(，0)B(0，)C(，1) D(1，)答案答案C 若本例中若本例中f(x)2|x|变为变为f(x)log2|x|，其他条件不，其他条件不变，则变，则fk(x)的单调增区间为的单调增区间为_求函数的单调区间的常用方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间差或复合函数，求单调区间(2)定义法：

8、先求定义域，再利用单调性定义定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间2函数函数f(x)|x2|x的单调减区间是的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)答案：答案：A补22013吉林模考求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ya12xx2(a0且a1)审题视点对于(1)可先将函数化为分段函数，画出函数的图

9、象，然后结合图象求出单调区间；对于(2)应对a的取值进行讨论，然后根据复合函数单调性法则求解(2)令 g(x)12xx2(x1)22， 所以 g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减当 a1 时，函数 ya1-2x-x2的增区间是(，1)，减区间是(1，)；当 0a1 时，函数 ya1-2x-x2的增区间是(1，)，减区间是(，1)1带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数图象，结合函数的图象、性质进行直观的判断2求复合函数yf

10、g(x)的单调区间的步骤：(1)确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减” 例例3(1)若若f(x)为为R上的增函数，则满足上的增函数，则满足f(2m)0时，时，0f(x)0.所以所以f(x2)f(x1)f(x1)f(x2x1)10.所以函数所以函数f(x)在在R上单调递减上单调递减1 项必须防范受到区间的限制，例如函数 y1x分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接函数的单调性是对某个区间而言的，所以要。 。 。 。 。 。小结：小结：2个必记结论1. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到2. 开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值4种必会方法1. 定义法：取值、作差、变形、定号、下结论2. 复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数3. 导数法：利用导数研究函数的单调性4. 图象法：利用图象研究函数的单调性.