山东省济南市历城第二中学2020-2021学年高三下学期检测数学试卷(一) (含解析).pdf

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1、山东省济南市历城二中 2020-2021 学年高三（下）第一次检测数学试卷数学试卷一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 8 小题）小题）. .1设集合 Ax|x21，Bx|2x0，则 AB（）A1，0）B（2，1等于（）C1+2iD12iC（1，0D2，12已知 i 是虚数单位，则A1+2iB12i3甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%甲不输的概率为 90%，则乙不输的概率为（）A60%4（B50%C40%D30%）9的展开式中常数项为（）B672C84D672A845如图为战机在海面上空巡航已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为p

2、760ehk（e 是自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是 700mmHg，则我战机在 1000m 高空处的大气压强约是（结果保留整数）（）A645mmHgB646mmHgC647mmHgD648mmHg，AF，则6如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，已知 AE（）A6B4CD7在公差为 1 的等差数列an中，已知 a1t，bn的取值范围是（），若对任意的正整数 n，bnb9恒成立，则实数t1A（，9）B（9，8）C（10，） D（10，9）8已知 f（x）x|x|，对任意的 xR R，f（ax2）+4f（3x）0 恒成立，则实数

3、 a 的最小值是（）ABCD二、多项选择题（共二、多项选择题（共 4 4 小题）小题）. .9下列命题为真命题的是（）A若 ab，则 2abC若 a0，b0，则B若 ab0，则1D若 ab，则 ac2bc2个单位长度， 再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，10 将函数 f （x） 的图象向左平移得到函数 g（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象已知函数 g（x）的部分图象如图所示，则下列关于函数 f（x）的说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）在区间，上单调递减对称Cf（x）的图象关于直线 xDf（x）的图象关于点（，0）成中心对称11已知双曲线 C：y21（a0

4、），若圆（x2）2+y21 与双曲线 C 的渐近线相切，则（）A双曲线 C 的实轴长为 6B双曲线 C 的离心率 eC点 P 为双曲线 C 上任意一点，若点 P 到 C 的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则 d1d2D直线 yk1x+m 与 C 交于 A，B 两点，点 D 为弦 AB 的中点，若 OD（O 为坐标原点）的斜率为 k2，则 k1k212九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵； 阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体如图，在堑堵ABCA1B1C1中，

5、ABAC，C1CBC2，则下列说法正确的是（）2A四棱锥 BA1ACC1为阳马B三棱锥 C1ABC 为鳖臑C当三棱锥 C1ABC 的体积最大时，ACD四棱锥 BA1ACC1的体积为 V1，三棱锥 C1ABC 的体积为 V2，则 V13V2三、填空题（共三、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13若 sin（x），则 sin（2x+）14已知F 为抛物线 C：y2x 的焦点，点A，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若BFO 的面积是（O 为坐标原点），且12，则直线 AB 的斜率是15经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称

6、为地理坐标系统，它是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统， 能够标示地球上的任何一个位置， 经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角纬度是个线面角，某一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角城市A 位置东经 120，北纬48，城市B 位置为东经 120，北纬18，若地球的半径为R，则过A，B 两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧的长是16若函数f（x）ex2x 图象在点（x0，f（x0）处的切线方程为ykx+b，则kb 的最小值为四、解答题（共四、解答题（共 6 6 小题，

7、共小题，共 7070 分。）分。）17在sin2A+sin2Csin2BsinAsinC，sin（B+）cosB+，ccosA+acosC2bcosB 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinA2sinC，b2，且_求ABC 的面积18已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan（n1）2n+1+2（nN N*）（1）求数列an的通项公式；（2）若2，则在数列bn中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由319电子邮件是一种用电子手段提

8、供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只需负担网费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地） 与世界上任何一个角落的网络用户联系 我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象， 中国人的邮箱名称里含有数字的比较多， 而外国人邮箱名称里含有数字的比较少为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取 40 个邮箱名称，其中中国人的 20个，外国人的 20 个，在 20 个中国人的邮箱名称中有 15 个含数字，在 20 个外国人的邮箱名称中有 5个含数字2 列联表：（1）根据以上数据填写 2邮箱名称里有数字

9、邮箱名称里无数字总计中国人外国人总计40（2）能否有 99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？（3）用样本估计总体，将频率视为概率在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6 个邮“6 个外国人邮箱名称里恰有3 个含数箱名称， 记“6 个中国人邮箱名称里恰有3 个含数字”的概率为 P1，字”的概率为 P2，试比较 P1与 P2的大小附：临界值参考表与参考公式P（K2K0）K0（K240.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828，其中 na+b+c+d）20PAAD，AB2， PAAD3在四

10、棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，点E 在线段 PC 上（端点除外），平面 ABE 交 PD 于点 F（1）求证：四边形 ABEF 为直角梯形；（2）若 AF，求直线 PC 与平面 ABEF 所成角的正弦值21已知椭圆 E：+1（ab0）的左右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），过 F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x 轴上的射影恰好为 F2（1）求椭圆 E 的方程；（2）如图，下顶点为 A，过点 B（0，2）作一条与 y 轴不重合的直线 该直线交椭圆 E 于 C，D 两点 直线 AD，AC 分别交 x 轴于点 H，G求证：ABG 与AOH 的

11、面积之积为定值，并求出该定值22已知函数 f（x）x1+a（x1）1lnx（aR ）（1）当 a0 时，求函数 f（x）的极小值；（2）当 a0 时，若 x1 是函数 f（x）的极大值点，求 a 的取值范围5山东省济南市历城二中 2020-2021 学年高三（下）第一次检测数学试卷参考答案数学试卷参考答案一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 8 小题）小题）. .1设集合 Ax|x21，Bx|2x0，则 AB（）A1，0）B（2，1C（1，0D2，1解：Ax|1x1，Bx|2x0，AB（2，1故选：B2已知 i 是虚数单位，则A1+2i解：等于（）C1+2i，D12iB12i故选：D3甲、

12、乙两人下棋，和棋的概率为50%甲不输的概率为 90%，则乙不输的概率为（）A60%B50%C40%D30%解：设 A甲获胜，B甲不输，C甲乙和棋，则甲乙互斥且 BA+C，P（B）P（A+C）P（A）+P（C），所以 P（A）P（B）P（C）90%50%40%则乙不输的概率为 140%60%故选：A4（）9的展开式中常数项为（）B672）9的展开式的通项为 Tr+1C84D672（2）r，A84解：（令 93r0，得 r3，所以常数项为（2）3故选：B5如图为战机在海面上空巡航已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为p760ehk（e 是

13、自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是 700mmHg，则我战机在 1000m 高空处的大气压强约是（结果保留整数）（）6672A645mmHgB646mmHgC647mmHgD648mmHg解：500m 高空处的大气压强是 700mmHg，700760e500k，即 e500k，）2645当 h1000m 时，有 p760e1000k760（e500k）2760（故选：A6如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，已知 AE（），AF，则A6【 分 析 】 可 设，解：设两式相加、相减得：，故选：BB4C， 然 后 可 得 出，从而根

14、据D， 然 后 即 可 得 出即可求出的值，则，7在公差为 1 的等差数列an中，已知 a1t，bn的取值范围是（）A（，若对任意的正整数 n，bnb9恒成立，则实数t，9）B（9，8）C（10，7） D（10，9）【分析】求出数列an的通项公式，代入 bn，可得点（n，bn）在函数 f（x）1的图象上，由 bnb9恒成立，得 b9为数列bn的最大项，得到关于 t 的不等式，求解得答案解：等差数列an的首项 a1t，公差 d1，则 ann+t1，则点（n，bn）在函数 f（x）1的图象上，由 bnb9恒成立，得 b9为数列bn的最大项，可知 9t10，得10t9实数 t 的取值范围是（10，9

15、）故选：D8已知 f（x）x|x|，对任意的 xR R，f（ax2）+4f（3x）0 恒成立，则实数 a 的最小值是（）ABCD【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为ax22x+60 恒成立，由二次函数的性质即可求解解：f（x）x|x|，定义域为 R R，且 f（x）x|x|x|x|f（x），所以 f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）x2为增函数，所以当 x0 时，f（x）为增函数，所以 f（x）x|x|是 R 上的增函数，且 f（kx）k2f（x），因为 f（ax2）+4f（3x）0，所以 f（ax2）4f（3x）4f（x3）f（2x6），所以 ax22x6，即 ax22x+

16、60 恒成立，所以 a0 且424a0，故 a，即 a 的最小值是故选：C二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. .9下列命题为真命题的是（）A若 ab，则 2ab8B若 ab0，则C若 a0，b0，则1D若 ab，则 ac2bc2【分析】根据不等式的性质可以直接判断解：对于 A，因为 ab，所以 ab0，对

17、于 B，当 a1，b时，故 B 不正确；，所以，故 C 正确；，故 A 正确；对于 C，因为 a0，b0，所以 a+b对于 D，当 c0 时，不成立，故选：AC10 将函数 f （x） 的图象向左平移个单位长度， 再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数 g（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象已知函数 g（x）的部分图象如图所示，则下列关于函数 f（x）的说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）在区间，上单调递减对称Cf（x）的图象关于直线 xDf（x）的图象关于点（，0）成中心对称【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可

18、得函数 g（x）的解析式，再根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论解：根据函数 g（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象，可得 A2，+，2）+，g（x）2sin（2x+）个单位长度，再根据五点法作图，2（由题意，把 g（x）2sin（2x+得到 f（x）2sin（3x+）的图象的横坐标变为原来的，向右平移）3sin（3x+，故 A 不正确；9）的图象显然，f（x）的最小正周期为当 x，3x+，故 f（x）在区间，上单调递减，故 B 正确；对称，故C 正确、D 不正确，由于当 x故选：BC时，f（x）3，为最大值，故f（x）的

19、图象关于直线x11已知双曲线 C：y21（a0），若圆（x2）2+y21 与双曲线 C 的渐近线相切，则（）A双曲线 C 的实轴长为 6B双曲线 C 的离心率 eC点 P 为双曲线 C 上任意一点，若点 P 到 C 的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则 d1d2D直线 yk1x+m 与 C 交于 A，B 两点，点 D 为弦 AB 的中点，若 OD（O 为坐标原点）的斜率为 k2，则 k1k2ay0，由点到直线的距离可得圆心到渐近线的距离为半径，【分析】由题意知 C 的渐近线方程为 x1，解得 a，进而可得双曲线实轴长为 2a，即可判断 A 是否正确；由 c2a2+b2，解得 c，计算离心率

20、e，即可判断 B 是否正确；设 P（x0，y0），由点到直线的距离可得点 P 到渐近线的距离 d1，d2，再计算 d1d2，即可判断 C 是否正确；设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得y121，y221，两式相减，得 2k10，即xDyD2k10，进而可判断 D 是否正确ay0，解：由题意知 C 的渐近线方程为 x所以1，解得 a，故 A 错误，所以双曲线实轴长为 2a2所以半焦距 c2，所以 e，故 B 正确，设 P（x0，y0），所以 d1，d2，10所以 d1d2，故 C 正确，对于选项 D：设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以y121，y221，两式相减，得（y1+y2

21、）（y1y2）0，所以（y1+y2）0，（y1+y2）k10，所以2k10，所以xDyD2k10，所以2k10，所以k22k10，所以 k1k2故 D 正确，故选：BCD12九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵； 阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ABAC，C1CBC2，则下列说法正确的是（）A四棱锥 BA1ACC1为阳马B三棱锥 C1ABC 为鳖臑C当三棱锥 C1ABC 的体积最大时，ACD四棱锥 BA1ACC1的体积为

22、V1，三棱锥 C1ABC 的体积为 V2，则 V13V2【分析】根据阳马与鳖臑的定义，几何体的性质可以直接判断解：堑堵ABCA1B1C1为直三棱柱，其中侧棱A1A平面 ABC，A1ACC1为矩形，ABAC，则四棱锥BA1ACC1为阳马；三棱锥 C1ABC 中，C1C平面 ABC，BA平面 ACC1，则三棱锥C1ABC 的四个面均为直角三角形，11所以三棱锥 C1ABC 为鳖臑；三棱锥 C1ABC 的体积最大时，由于高C1C2，则ABC 的面积最大，而BC2，所以AB2+AC24，所以 ABAC当且仅当 ABAC积最大：V1V2故选：ABC三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，

23、每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。把答案填在答卷的相应位置）分。把答案填在答卷的相应位置）13若 sin（x），则 sin（2x+）sin2（x）+cos2（x12sin2（x），代入即可求，时，取等号，即当ACAB，则 V12V2，时，ABC 面积取得最大值，三棱锥C1ABC 的体【分析】由 sin（2x+解解：若 sin（x则 sin（2x+），）+cos2（x12sin2（x）sin2（x故答案为：14已知F 为抛物线 C：y2x 的焦点，点A，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若BFO 的面积是（O 为坐标原点），且12，则直线 AB 的斜率是【分析】

24、设直线 AB 的方程为：xty+m，点 A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，运用韦达定理和三角形的面积，计算可得所求值解：设直线 AB 的方程为：xty+m，点 A（x1，y1），B（x2，y2），xty+m 代入 y2x，可得 y2tym0，根据韦达定理有 y1y2m，12，x1x2+y1y212，从而（y1y2）2+y1y2120，点 A，B 位于 x 轴的两侧，y1y24，故 m4不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y10，又 F（，0），BFO 的面积是，可得（y2），12即有 y11，y24，x11，x216，直线 AB 的斜率是：故答案为：15经纬度是经度与纬度的合称

25、，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统， 能够标示地球上的任何一个位置， 经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角纬度是个线面角，某一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角城市A 位置东经 120，北纬48，城市B 位置为东经 120，北纬18，若地球的半径为R，则过A，B 两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧的长是【分析】由题意可求劣弧所对的圆心角AOB 的值，进而根据弧长公式即可求解解：设球心为 O，由题意和劣弧所对的圆心角A

26、OB481830，即AOB所以过 A，B 两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧故答案为：的长 L，16若函数 f（x）ex2x 图象在点（x0，f（x0）处的切线方程为 ykx+b，则 kb 的最小值为2x02，根据函数的单调性求出kb 的最【分析】求出函数的导数，表示出切线方程，求出kb小值即可解：由题意切点为：（x0，f（x0），f（x）ex2，故 f（x0）2，故 f（x）ex2x 图象在点（x0，f（x0）处的切线斜率为：k故所求切线方程为 y（即 y（则 k2）x2，b2）（xx0）+x0+x0+，则 kbx02，2x0，2，对于函数 yxex2，yex（x+1），当 x1 时，y

27、0，当 x1 时，y0，故函数 yxex2 在 x1 处取得极小值，亦即最小值，13则 kb 的最小值是2，故答案为：2四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17在sin2A+sin2Csin2BsinAsinC，sin（B+）cosB+，ccosA+acosC2bcosB 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinA2sinC，b2，且_求ABC 的面积【分析】若选择条件，由正弦

28、定理化简已知等式，利用余弦定理可得 cosB 的值，结合 0B，可得 B，进而根据正弦定理可求 c，a 的值，利用三角形的面积公式即可求解；），结合 0B，可得 B若选择条件，利用三角函数恒等变换化简已知等式可得 sin（B，进而根据正弦定理可求c，a 的值，利用三角形的面积公式即可求解；若选择条件，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 sinB0，解得 cosB，结合 0B，可得 B解：若选择条件，由于 sin2A+sin2Csin2BsinAsinC，由正弦定理可得 a2+c2b2ac，由余弦定理可得 cosB由 0B，可得 B，进而根据正弦定理可求 c，a 的值，利用三角

29、形的面积公式即可求解由 sinA2sinC，及正弦定理，可得 a2c，将 a2c，和 b2 代入 a2+c2b2ac，解得 c2，所以 c所以 SacsinB若选择条件，由于 sin（B+可得）cosB+，sinBcosB，可得 sin（B），a2c，sinB+cosBcosB+，即，由 0B，可得 B由余弦定理可得 a2+c2b2ac，14由 sinA2sinC，及正弦定理，可得 a2c，将 a2c，和 b2 代入 a2+c2b2ac，解得 c2，所以 c所以 SacsinB若选择条件，由于 ccosA+acosC2bcosB，由正弦定理可得 sinCcosA+sinAcosC2sinBco

30、sB，可得 sin（A+C）2sinBcosB，由于 A+CB，可得 sinB2sinBcosB，由于 sinB0，解得 cosB，由 0B，可得 B，a2c，由余弦定理可得 a2+c2b2ac，由 sinA2sinC，及正弦定理，可得 a2c，将 a2c，和 b2 代入 a2+c2b2ac，解得 c2，所以 c所以 SacsinB，a2c，18已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan（n1）2n+1+2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若2，则在数列bn中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由【

31、分析】（1）直接利用数列的递推关系式和已知条件建立等量关系，进一步求出数列的通项公式；（2）直接利用尝试法进行判断解：（1）由题意，得当 n2 时，两式相减，得即，当 n1 时，a12，也满足上式，所以数列an的通项公式（2），15法一：b11，即，即，显然不适合；构成公差为，适合，的等差数列；适合，构成公差为的等差数列；当 n4 时，假设 bn，bn+1，bn+k（k2）成等差数列，则 2bn+1bn+bn+k，即，而当 n4 时，所以 bn+k不是数列bn中的项，所以当 n4 时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列综上，b2，b3和 b3，b4适合条件法二：b11，显然

32、不适合；当 n2 时，设 bn，bn+1，bn+k（k2）成等差数列，则2bn+1bn+bn+k，即，解得，构成公差为构成公差为的等差数列；的等差数列；当 n2 时，k4，则当 n3 时，k3，则当 n4 时，则 k N*，所以 bn+k不是数列bn中的项，所以当 n4 时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列综上，b2，b3和 b3，b4适合条件19电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只需负担网费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地） 与世界上任何

33、一个角落的网络用户联系 我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象， 中国人的邮箱名称里含有数字的比较多， 而外国人邮箱名称里含有数字的比较少为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取 40 个邮箱名称，其中中国人的 20个，外国人的 20 个，在 20 个中国人的邮箱名称中有 15 个含数字，在 20 个外国人的邮箱名称中有 5个含数字162 列联表：（1）根据以上数据填写 2邮箱名称里有数字邮箱名称里无数字总计中国人外国人总计40（2）能否有 99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？（3）用样本估计总体，将频率视为概率在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6 个邮“6

34、 个外国人邮箱名称里恰有3 个含数箱名称， 记“6 个中国人邮箱名称里恰有3 个含数字”的概率为 P1，字”的概率为 P2，试比较 P1与 P2的大小附：临界值参考表与参考公式P（K2K0）K0（K20.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828，其中 na+b+c+d）【分析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）由表中数据计算 K2，对照临界值表得出结论（3）设“6 个中国人邮箱名称里恰有 3 个含数字”的人数为随机变量 ，“6 个外国人邮箱名称里恰有 3个含数字”的人数为随机变量 ，由题意知，B（6，

35、），B（6，），分别计算 P1、P2的值即可2 列联表如下：解：（1）根据题意填写 2邮箱名称里有数字邮箱名称里无数字总计（2）由表中数据，计算 K2中国人15520外国人5152010.0006.635，总计202040对照临界值表知，能有 99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”（3） 用样本估计总体， 将频率视为概率 根据列联表中， 中国人邮箱名称里含有数字的概率为外国人邮箱名称里含有数字的概率为，17，设“6 个中国人邮箱名称里恰有3 个含数字”的人数为随机变量，“6 个外国人邮箱名称里恰有3 个含数字”的人数为随机变量 ，根据题意知，B（6，），B（6，）；所以计算 P1P2

36、；，所以 P1P220PAAD，AB2， PAAD3在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，点E 在线段 PC 上（端点除外），平面 ABE 交 PD 于点 F（1）求证：四边形 ABEF 为直角梯形；（2）若 AF，求直线 PC 与平面 ABEF 所成角的正弦值【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明 CDEF，再利用线面垂直的判定定理和性质定理证明 ABAF，即可证明；（2）利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理，结合直线与平面所成角的定义先找到线面角，然后再直角三角形中利用边角关系求解即可【解答】（1）证明：因为 ABCD，AB平面 AB

37、EF，CD 平面 ABEF，所以 CD平面 ABEF，又 CD平面 PCD，平面 ABEF平面 PCDEF，所以 CDEF，又 EFCDAB，所以四边形 ABEF 为梯形，因为 ABAD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 ABCD，所以 AB平面 PAD，又 AF平面 PAD，所以 ABAF，所以四边形 ABEF 为直角梯形；18（2）解：因为 PAAD，PAAD3，所以 PD因为，所以 PD2AF，所以 F 为 PD 的中点，所以 AFPD，由（1）可知，AB平面 PAD，又 PD 平面 PAD，所以 ABPD，又 AF ABA，所以 PD平面 ABEF，

38、所以直线 PC 与平面 ABEF 所成的角就是PEF，又因为 EFCD，所以PEFPCD，又 ABCD，所以 CDPD，所以，故直线 PC 与平面 ABEF 所成角的正弦值为21已知椭圆 E：+1（ab0）的左右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），过 F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x 轴上的射影恰好为 F2（1）求椭圆 E 的方程；（2）如图，下顶点为 A，过点 B（0，2）作一条与 y 轴不重合的直线 该直线交椭圆 E 于 C，D 两点 直线 AD，AC 分别交 x 轴于点 H，G求证：ABG 与AOH 的面积之积为定值，并求出该定值【分析】（1）写出直线方程，取 x1 求得 y

39、 值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于a，b 的方程组，求解 a，b 的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线 BC 的斜率存在，设直线 BC：ykx+2，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得 D，C 横纵坐标的和与积，分别写出 AD，AC 的方程，求得 H 与 G 的坐标，再写出两三角形面积19的乘积，结合根与系数的关系可得ABG 与AOH 的面积之积为定值解：（1）过 F1且斜率为令 x1，得 y，的直线的方程为 y，由题意可得，解得 a22，b21求椭圆 E 的方程为；证明：（2）由题意知，直线BC 的斜率存在，设直线 BC：ykx+2，D（x1，y1），C（x2，y2），联立，

40、得（1+2k2）x2+8kx+60，由16k2240，得 k2，y1+y2k（x1+x2）+4，直线 AD 的方程为 y，令 y0，解得 x，则 H（，0），同理可得 G（，0），22已知函数 f（x）x1+a（x1）1lnx（aR ）（1）当 a0 时，求函数 f（x）的极小值；20（2）当 a0 时，若 x1 是函数 f（x）的极大值点，求 a 的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；（2）通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据函数的极大值点是x1，求出 a 的范围即可解：（1）函数 f（x）的定义域是（0，+），f（x

41、）a+1+alnx设 g（x）a+1+alnx，则 g（x）+，当 a0 时，g（x）0，g（x）在（0，+）递增，且 g（1）0，当 0 x1 时，g（x）0，即 f（x）0，当 x1 时，g（x）0，即 f（x）0，故 f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，故 x1 是 f（x）的极小值点，且 f（x）极小值f（1）0；（2）当 a0 时，由（1）知 g（x），（i）当0 即 a1 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）递减，又 g（1）0，当 0 x1 时，g（x）0，即 f（x）0，当 x1 时，g（x）0，即 f（x）0，故 f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故 x

42、1 是 f（x）的极大值点，满足题意；（ii）当当 00 时，令 g（x）0 得 x，+），0 即1a时，取 x（，+）上递减，得 g（x）0，则 g（x）在（当0，故 f（x）在（x1 时，g（x）g（1）0，即 f（x）0，当 x1 时，g（x）g（1）0，即 f（x），1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故 x1 是 f（x）的极大值点，满足题意，当1 即 a时，g（x），当 0 x1 时，g（x）0，当 x1 时，g（x）0，故 g（x）在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，故 f（x）g（x）g（1）0，21故 f（x）在（0，+）上单调递减，此时，f（x）无极大值，当递增，当 1x足题意，综上：所求实数 a 的取值范围是（，）时，g（x）g（1）0，即 f（x）0，这与“f（x）在 x1 处取极大值”矛盾，不满1 即 0a时，取 x（1，），得 g（x）0，则 g（x）在（1，）上22