2020-2021山东省实验中学第三次诊断考试数学试题.pdf

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1、山东省实验中学2021届高三第三次诊断性考试数学试题2020.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1 .复数（上=1 + 1A. -3-4i B. -3 + 4iC. 3-4iD. 3 + 4i2.若集合A = x| W2x + 1W3

2、, 8 =卜|二 W。，则AC8 =XA. x|-Kx0C. x0 xW23.命题“xR，使得右，的否定形式是（）A. VxGR, 3nGN ,使得VxC. S.vER, 3HGN使得D- 3XGR,42B. x0 xWlD.B. VxGR, VnGN使得使得4,定义在R上的奇函数7U）满足凡x+2）=ru）,且在。1上是减函数，则有数学试题第1页（共12页）5 .在ZkABC中，AB=2, 8c=3, NABC=60。，AO为8。边上的高，。为AO的中点，若AO = A AB + pBC9则见 + =A. 1号B.D. |6 .已知数列%,a“=，Jsin；乃，则数列q的前100项和为A.

3、5000 B. -5000C. 5050D. -50507 .设双曲线的 个焦点为产,虚轴的 个端点为6,如果直线用与该双曲线的 条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为A历A 、/NRD./TJ Jcg+1C.- U-22n+1-28 .已知函数/(x) = lnx-Y和g(x) = x?二-?的图象上存在关于原点对称的点，则实x数，的取值范围是A. (-1-1112 B, 0,l-ln2) C.(1.bl2,1 + hl2 D. l + ln2,”)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得3分

4、。9 . AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大 于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图 中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述正确的是A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的AQI指数值的中位数是90D.从4日到9日，空气质量越来越好数学试题第2页(共12页)10 .设函数/（x） = 2sin（0 x+。）刃0,。彳的图象关于直线x=一对称，它2/r的周2 /3期为江，则下列说法正确的是A.X）的图象过点（0,1）；,、7T 27rB.在

5、 上单调递减: 12 3D.将/（V）的图象向右平移图个单位长度得到函数y = 2sin2x的图象.11.如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱正确的是TTA.棱锥的高与底边长的比为走锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18.B.则该正四棱锥的侧而积最小时，以下结论侧棱与底而所成的角为一24C.棱锥的高与底面边长的比为婢D.侧棱与底面所成的角为?12.设%P?，勺为平面。内的个点，在平面。内的所有点中，若点P到点巴，P?，.，?的距离之和最小，则称点P为点4多.，匕的一个“中位点”.例如，线 段A8上的任意点都是端点的中位点.则下列结论正确的是A.若三个点AB

6、,C共线，C在线段A8上，则。是A,3,。的中位点:B.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点：C.若四个点共线，则它们的中位点存在且唯：D.梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯 中位点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知直线x y + a = 0与圆O： / +），2=2相交于A 8两点（O为坐标原点），且数学试题第3页（共12页）AAQ3为等腰直角三角形，则实数的值为：14 .已知。为坐标原点，/为抛物线C: V=4的焦点，P为。上一点，若I尸尸1=4,则APOE的面积为.15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，（准备在一抛物线形

7、地块上的ABCQGFG七点处各种植一棵树苗，如 图所示，其中A、B、。分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称G轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是 _ .（用数字作答）16 .f（x） =ax -3x +1,对于总有/（x）K）成立，则=. 四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （10分）设数列明的前项和为S“，q =1 ,.给出以下三个条件：数列2为等比数列，数列S+q 也为等比数列；点（丛,为小）在直线y = x + l上; 2 q + 2/-1yJ2+ + 2a

8、” =在这三个条件中任选一个，补充在下而的问题中，并解答.（1）求数列”的通项公式：（2）设，= - ! - ,求数列2的前项和7；log2 aziOg2限数学试题第4页（共12页）18.(12分)如图，分别为A4BC中角A,8,C的对边，。为8c边上的点, 7T2BD = 3DC NABC =,cosXADC = , c = 8.37(1)求。的值;(2)求AAOC的外接圆的半径R.19.(12分)如图，在多而体48cz） 尸中，四边形ABCD是边长为工的菱形，NZKZ） = 60，AC 3与班）交于点O，平面尸8c，平而ABCD,EF/AB, FB=FC, EF25/3（1）求证：QE_L

9、平而A3CD:（2）若AF3C为等边三角形，点。为4的 中点，求二面角0-3C A的余弦值.20.(12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元：重量超过1依 的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按1kg计算）需 再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：包裹重量（单位：kg）包裹件数(0.143(L230(2,315(3,48(4,54公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下:揽件数天数0J00)6100,200)200300)300,400)400.500630126以记录的60天的揽件数

10、的频率作为各揽件数发生的概率.数学试题第5页（共12页）1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在100.400）的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值：。0,I V1恒成立,求实数小的取值范围.b-a22.（12分）已知椭圆C：二+二=1（。0）的左右焦点分别为E，&，左顶点为A,且满足a- b-户2，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3.22（1）求椭圆的标准方程：（2）若尸是椭圆上的任意一点，求夕月 /认的取值范围；/2 ;四、解答题14.2y/3 ;15.36；16.417.解：(1)若选，则2,2 + d2 + q + 成等比-2分- 4分-5分-2分9 = 2% = 2-若

11、选，“2 = S +1, % = S0_ +1( 2),两式相减化简得a+i =2an (n 2)验证生=2aAa. = 2 j若选，q+；% +击41 1ri+l * - - 4=吴为（22）,+产+萍峭-2分-4分两式相减化简得30=2（ 22）验证/ =M-5分4= 2-以下选相同.由（1）知=2II1； 1 1。1 1则 % = - =-一7分n(n + 2) 2(n + 2 )则雹=Z?|+b2 +, + /? 111111324351 1 1=1- 4-1 - - H- .n n+2)数学试题第7页（共12页）Ikl-J- 2 2 +lH+2）.32+ 3一1-2（刀+ 1）（刀+

12、 2）10分18 .解（1） VcosZADC = , /. sinZADC = sinzLADB = ,- 1分77sinZBAD = sin （ZADC -ZABC）=包X旦地72 7 214在AA3O中，由正弦定理得8。=c-sinZBAD _ -5分sinZADB/ 2BD = 3DC :. DC =（2）在AABC中，b = a +c-laccosZABC = 7.- 9分在AAOC中,12R，*2sinZADC 24一-12分19 . （1）证明：如图，取3c中点G ,连接AG,OG,因为FB = FC,所以尸G_L8C，-1分又因为平而必C_L平而ABCZ），平面CC平面ABC7

13、9 = 3C,尸Gu平面F8C,所以/G_L平而A3CZ）, - 3分O, G分别为%），8c中点，所以OG/AB, OG =2A8,因为2, EF/AB.32所以四边形呼GO为平行四边形，所以OE/FG,所以QE _L平而ABCD,-6分（2）如图，以AC所在直线为x轴，80所在直线为y轴，。七所在直线为z轴建立空间坐标系， -7分数学试题第8页（共12页）显然二面角Q-8C-A为锐二面角，设该二面角为8，向量元=（0, 0, I）是平面A3c的法向量， -8分设平面。8C的法向量炉=*,y, 1）,由题意可知/G = O = 8Fsin600 = 2，所以C(2, 0, 0), 3(0,芋

14、，0), E(0, 0, 2), 0(1, 0, 1)W，1),而=(3, 0, 1),认。0 =0,所以 TC I” 炉Icos0 = -Inllvl3所以8心=（1 ,20.解：样本中包裹件数在100,400）内的天数为48,频率为葛=:可估计概率为春-2分未来3天中，包裹件数在100/400）间的天数X服从二项分布，即XB0。）,故所求概率为P= C1d）2.上曲- 4分（2）样本中快递费用频数分布如下表：包裹重量（单位：kg）(2,3(0闵(L2也5二快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584数学试题第9页（共12页）故样本中每件快递收取的费用的平均值为x= (10

15、 x43+15 x 30+ 20 x 15+ 25 x 8+30 x 4) = 15(元)，LUU故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元；-8分(3)根据题意及(2),揽件数每增加1,可使前台工资和公司利润增加15350, 450,其= 5(元)，每天揽件数为随机变量，若不裁员，该公司每天时即揽件数Yj可能取值为50, 150, 250,分布列为YiP500.11500.12500.53500.24500.1则E(Y0 =50 X 0,1+150 X 0.1 + 250 X 0.5+ 350 X0.2+450 X 0,1 = 260,故公司平均每日利润的期望值为260 x 5 3

16、x 100 = 1000(元)：-10分若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，实际揽件数为丫2可能取值为50, 150, 250,300,其分布列为丫250P0.11500.12500.53000.3Eg = 50 X 0,1+150 X 0.1+ 250 X 0,5+ 300 X 0,3= 235,故公司平均每日利润的期望值为235x 5-2 x 100 = 975(TL).因9750).X所以当X(O,1)时，r(x)0，在(1,”)上单调递增； -2分所以当X = 1时，/(X)取得极小值/(l) = lnl + -!- = l.-3分无极大值 -4分(2) g(x) = /(x)-

17、g=JX X J令g(x) = 0, Wm = -x + x(x 0).3(XO)，设夕(工)=一3,+x(x0),则。(1)=一炉 +1 = -(x-l)(x+l).所以当x (0,1)时，吠(X) 0,。(工)在(0,1)上单调递增：当xe(l,+s)时，(x)0,。(工)在(1,+。)上单调递减：-6分12所以。(力的最大值为。(1) = + 1 =二，又。(0) = 0, 0(3)= -6v0,可知：当0v?v三时，函数g(”有2个零点.-8分3(3)原命题等价于/(0)一力 0)x则等价于(X)在(,x)上单调递减，3=二-1 0在(0,y)恒成立10分 X eV所以 ?之一X2+工

18、=-X- +(XO)恒成立，所以7之一.k2/ 44即机的取值范围是. -12分，丫 -11422.解：由已知一，解得。=2,c = l,2(a-c) =2ca c 3数学试题第11页(共12页)椭圆方程为二+二=1。-3分43(2)设P(xo, yo),又A( 2.0), Fi(1,0).3x（）+5.由于P（xo, yo）在椭圆上，-2VO0得4k2+3加.设M(xi, yi),Ng ,3+4标“凶=7干市=丽 冰可得1 AHMH WNH I可得AM AN则X+x2 =- 8km4m 1228分(% + 2,y)(x2 + 2,y2) = 0,即xx2 + 2($ +x2) + 4 +(kxx + m)kx2 + tn) = 0(1 + %2)412 + 水m + 2)广2- 一跳川 + m2 + 4 = 0化简得：.4k-216hn+7/n =0. 3+4K3+4Ki7:k=yn或k=v均适合.i7当&=方时，直线过A,舍去.故#=耍.当k=m时，直线y=kx-jk过定点(一宗)- -12分数学试题第12页（共12页）