山东淄博实验中学数列多选题试题含答案.pdf

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1、山东淄博实验中学数列多选题试题含答案山东淄博实验中学数列多选题试题含答案一、数列多选题一、数列多选题1设an是无穷数列，若存在正整数k(k 2)，使得对任意nN N，均有ank an，则称an是“间隔递增数列”，k 是an的“间隔数”，下列说法正确的是（）A公比大于 1 的等比数列一定是“间隔递增数列”B若an 2n1，则an是“间隔递增数列”nC若an nrrN N,r 2，则an是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为 rn2D已知an n tn 2021，若an是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为 3，则5 t 4【答案】BCD【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数k(k 2)，

2、使得ankan 0，即可判断正误.【详解】选项 A 中，设等比数列an的公比是qq 1，则ankan a1qnk1a1qn1 a1qn1qk1，其中qk1，即qn1qk1 0，若a1 0，则ankan 0，即ank an，不符合定义，故 A 错误；选项 B 中，ankan2nk1nk2n1n 2k 1n1k1，当 n 是奇数时，ankan 2k 11，则存在kk1时，ankan 0成立，即对任k意nN N，均有ank an，符合定义；当 n 是偶数时，ankan 2k 11，则存在k 2时，ankan 0成立，即对任意nN N，均有ank an，符合定义.综上，存在k 2时，对任意nN N，均

3、有ank an，符合定义，故 B 正确；选项 C 中，n2knrrr krrankannk k1 k n k nknnknnknnknk22，令f (n) n knr，开口向上，对称轴 0，故f (n) n knr在nN N时单2调递增，令最小值f (1)1 k r 0，得k r1，又k N N，k 2，rN N ,r 2，故存在k r时，ankan 0成立，即对任意nN N，均有ank an，符合定义，“间隔数”的最小值为 r，故 C 正确；选项 D 中，因为an n tn 2021，是“间隔递增数列”，则2ankannktnk2021 n2tn2021 2knk2tk 0，即2k 2nt

4、0，对任意nN N成立，设g(n) k 2nt，显然在nN N上g(n)递增，故要使g(n) k 2nt 0，只需g(1) k 2t 0成立，即2t k.又“间隔数”的最小值为 3，故存在k 3，使2t k成立，且存在k 2，使2t k成立，故2t 3且2t 2，故5 t 4，故 D 正确.故选：BCD.【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数k(k 2)，使ankan 0对于任意的nN N恒成立，逐项突破难点即可.2已知数列an中，a11，an1等式11 1an，nN*.若对于任意的t1,2，不nnan 2t2a1t a2a2恒成立，则实数a可能为（）nB

5、2C0D2A4【答案】AB【分析】由题意可得an1an1a11，利用裂项相相消法求和求出n 2 2，只需n1nnn1nn2t2a1ta2a2 2对于任意的t1,2恒成立，转化为2t a1t a 0对于任意的t1,2恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】an1则aa1111n1an，n1n，n1nn(n1)nn1nnanan1aaaa11111，n1n2，211，nn1n1nn1n2n2n1212aa11上述式子累加可得：na11，n 2 2，nnnn2t2a1t a2a2 2对于任意的t1,2恒成立，整理得2t a1t a 0对于任意的t1,2恒成立， 52t 5t 4 0对 A，当a

6、4时，不等式，解集,4，包含1,2，故 A 正确；2对 B，当a 2时，不等式2t 3t 2 0，解集,2，包含1,2，故 B 正确；2对 C，当a 0时，不等式2t 1t 0，解集,0，不包含1,2，故 C 错误；23 1对 D，当a 2时，不等式2t 1t 2 0，解集2,，不包含1,2，故 D 错误，21故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3已知数列an满足a11，anan1 2n1，nN*，Sn是数列和，则下列结论中正确的是（）AS2n12n1CS2n 1 的前 n 项an1anBS2n1

7、Sn212311Sn22n2【答案】CD【分析】DS2n Sn根据数列an满足a11，anan1 2n1，得到an1 an2 2n3，两式相减得：an2an 2，然后利用等差数列的定义求得数列an的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列an满足a11，anan1 2n1，nN*，所以an1 an2 2n3，两式相减得：an2an 2，所以奇数项为 1，3，5，7，.的等差数列；偶数项为 2，4，6，8，10，.的等差数列；的通项公式是an n，所以数列anA. 令n 2时，S31B. 令n 1时，S21C. 当n 1时，S21111113，而221，故错误；236221311，而S1，故错误；

8、2222133113，而，成立，当n 2时，222222111111S2nSn1.n，所以，因为2n 2n1，所以2352n12n12111111311.1.nn，故正确；352n1482221111.D. 因为S2nSn，令n1n2n32nfn1111.，因为n1n2n32n11111 0，所以fn得到递增，2n12n2n12n12n21，故正确；2fn1 f (n) 所以fn f1故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.4记数列an的前 n 项和为Sn，nN N*，下列四个命题中不正确的有

9、（）A若q 0，且对于nN N ,an1 anan2，则数列an为等比数列*2nB若Sn Aq B（非零常数 q，A，B 满足q 1，AB 0），则数列an为等比数列C若数列an为等比数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n,仍为等比数列D设数列an是等比数列，若a1 a2 a3，则an为递增数列【答案】AC【分析】*2若an 0，满足对于nN N ,an1 anan2，但数列an不是等比数列，可判断 A；利用an与Sn的关系，可求得数列an的通项公式，可判断 B；若数列an为等比数列，当公比q 1，且 n 为偶数时，此时Sn,S2nSn,S3nS2n,均为 0，可判断 C；设数列an2是等比数

10、列，且公比为 q，若a1 a2 a3，即a1 a1q a1q，分类讨论a1 0与a1 0两种情况，可判断 D；【详解】*2对于 A，若an 0，满足对于nN N ,an1 anan2，但数列an不是等比数列，故A 错误；对于 B，当n 2时，an SnSn1 Aq B Aqnn1 B Aqn1(q1)且q 1；当n 1时，AB 0，则a1 S1 Aq B Aq1符合上式，故数列an是首项为Aq1公比为 q 的等比数列，故 B 正确；对于 C，若数列an为等比数列，当公比q 1，且 n 为偶数时，此时Sn,S2nSn,S3nS2n,均为 0，不为等比数列，故C 错误；2对于 D，设数列an是等比

11、数列，且公比为 q，若a1 a2 a3，即a1 a1q a1q，若a1 0，可得1 q q2，即q 1，则an为递增数列；若a1 0，可得1 q q2，即0 q 1，则an为递增数列；故 D 正确；故选：AC【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为q 1的等比数列an的前 n 项和为Sn，则Sn,S2nSn,S3nS2n,仍成等比数列，其公比为qn；同理等差数列和的性质：公差为d的等差数列an的前 n 项和为Sn，数列Sm,S2mSm,S3mS2m,题.构成等差数列，公差为md，考查学生的分析能力，属于中档*5设数列an的前n项和为Sn(n N )，关于数

12、列an，下列四个命题中正确的是（）A若an1 an(nN*)，则an既是等差数列又是等比数列2B若Sn An Bn(A，B为常数，nN*)，则an是等差数列C若Sn11，则an是等比数列*D若an是等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n(nN )也成等差数列n【答案】BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项 A:an1 an(nN*),an1an 0得an是等差数列，当an 0时不是等比数列，故错;选项 B:Sn An2 Bn,an an1 2A,得an是等差数列，故对;n选项 C:Sn11,Sn Sn1 an 2(1)n1(n 2),当n 1时也成立，an

13、2(1)n1是等比数列，故对;*选项 D:an是等差数列，由等差数列性质得Sn，S2nSn，S3nS2n(nN )是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键.6首项为正数，公差不为0 的等差数列an，其前n项和为Sn，则下列 4 个命题中正确的有（）A若S10 0，则a5 0，a6 0；B若S4 S12，则使Sn 0的最大的 n 为 15；C若S15 0，S16 0，则Sn中S7最大；D若S8 S9，则S7 S8.【答案】ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于 A：因为正数，公差不为0，且S1

14、0 0，所以公差d 0，所以S1010(a1a10) 0，即a1a10 0，2根据等差数列的性质可得a5a6 a1a10 0，又d 0，所以a5 0，a6 0，故 A 正确；对于 B：因为S4 S12，则S12S4 0，所以a5a6 a11 a12 4(a8 a9) 0，又a1 0，所以a8 0,a9 0，所以S1515(a1a15)152a816(a1a16)16(a8a9)15a8 0，S16 0，222215(a1a15)152a815a8 0，则a8 0，22所以使Sn 0的最大的 n 为 15，故 B 正确；对于 C：因为S15S1616(a1a16)16(a8a9) 0，则a8 a

15、9 0，即a9 0，22所以则Sn中S8最大，故 C 错误；对于 D：因为S8 S9，则a9 S9 S8 0，又a1 0，所以a8 S8S7 0，即S8 S7，故 D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断 d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.7已知数列an，下列结论正确的有（）A若a12，an1an n1，则a20211.1，an13an2，B若a1则a71457C若Sn=3 +n1，则数列an是等比数列21，an1D若a1【答案】AB【分析】2an2nN*，则a152an15直接利用叠加法可判断选项A

16、，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项 C 求出数列的前 3 项从而可判断.【详解】选项 A. 由an1 ann1，即an1an n1则a20a20a19a19a18a18a17a2a1a1 201918故 A 正确.22 211选项 B. 由an1 3an 2，得an113an1，所以数列an1是以a11 2为首项，3 为公比的等比数列.n1n16则an1 23，即an 231，所以a7 23 11457，故 B 正确.选项 C. 由Sn=3 +n117，可得当n 1时，a1322211 3 6，221 1 918，22当n 2时，得a2 S2S19当n3时，

17、得a3 S3S2272显然a2 a1a3，所以数列an不是等比数列，故 C 错误.选项 D. 由an11112an，可得2 anan1an2 1 1所以数列是以 1 为首项，为公差的等差数列.2an11n11161n1 8，即a151，故 D 错误.所以，则an22a1528故选：AB【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得a20a20a19a19a18a18a17a2a1a1，利用构造新数列111an113an1，解决问题，属于中档题.an1an28设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d.已知a312，S12 0，a7

18、0则（）Aa60CSn0时，n的最小值为 13【答案】ACD【分析】由已知得S12得出B数列 1 是递增数列anSnD数列中最小项为第 7 项an12a1+a12212a6+a72 0，又a7 0，所以a60，可判断 A；由已知24 d 3，且an12+n3d，得出n1,6时，an0，n7时，7an 0，又111，可得出在nan12+n3dannN上单调递增，可判断 B；由1,6nN上单调递增，1在ann7，2可判断 D；【详解】S1313a1+a13132a713a7 0，可判断 C ；判断an，Sn的符号，an的单调性2由已知得a3 a1+2d 12,a1122d，S1212a1+a122

19、12a6+a72 0，又a7 0，所以a60，故 A 正确；a7 a1+6d 12+4d 024 d 3，又由a6 a1+5d 12+3d0，解得7a +a 2a +11d 24+7d0167an a3+n3d 12+n3d，11当n1,6时，an0，n7时，an 0，又，所以n1,6时，an12+n3d110，n7时， 0，anan1所以在nan1,6nN1上单调递增，在nan7，nN上单调递增，所 1 以数列不是递增数列，故B 不正确；an由于S1313a1+a132132a713a7 0，而S12 0，所以Sn0时，n的最小值为213，故 C 选项正确；当n 1,6时，an0，n7时，a

20、n 0，当n 1,12时，Sn0，n13时， Sn0，所以当n7,12时，an 0，Sn0，列，Sn为正数且为递减数列，所以数列【点睛】Sn 0，n712，时，an为递增数anSn中最小项为第 7 项，故 D 正确；an本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.二、平面向量多选题二、平面向量多选题9在平行四边形ABCD中，AB 2，AD 1，DE 2EC，AE交BD于 F 且AEBD 2，则下列说法正确的有（）122AAE AC ADBDF DB335CAB,AD 【答案】BCD【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项

21、.【详解】3DFBFC 2725对于选项 A：AE AD DE AD项 A 不正确；对于选项 B：易证DEF选项 B 正确；2212DC ADAC AD ADAC，故选3333BFA，所以DFDE222，所以DF FB DB，故BFAB335对于选项 C：AEBD 2，即AD 2ABAD AB 2，所以3221212AD AB ADAB 2，所以1AB AD4 2，解得：ABAD 1，3333cos AB, AD AB ADAB AD11，因为AB,AD 0,，所以212AB,AD 3，故选项 C 正确；对于选项 D：FBFC 33DB FD DC AB AD55 2BD AB53AB AD5

22、23AD AB ABAB AD552 3ABAD55229693627 AB 3AB AD AD 4，故选项 D 正确.252525252525故选：BCD【点睛】关键点点睛：选项 B 的关键点是能得出DEFBFA，即可得DFDE2，选项 DBFAB3的关键点是由于AB和AD的模长和夹角已知，故将FB和FC用AB和AD表示，即可求出数量积.10已知a,b是单位向量，且ab (1,1)，则( )A| a b| 2Ca与a b的夹角为【答案】BC【分析】Ba与b垂直4D|ab|1ab (1,1)两边平方求出| a b |2；利用单位向量模长为 1，求出ab 0；|a b|平方可求模长；用向量夹角的

23、余弦值公式可求a与a b的夹角.【详解】由ab (1,1)两边平方，得|a|2|b|22ab 12(1)2 2，则| a b |2，所以 A 选项错误；因为a,b是单位向量，所以112ab 2，得ab 0，所以 B 选项正确；则|ab|2 a2b22ab 2，所以|ab|2，所以 D 选项错误；a(ab)a2ab12，cosa,ab 2|a|ab|1 22所以，a与a b的夹角为.所以 C 选项正确；4故选：BC.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:22(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式a x +y.(2)若向量a， b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式a a aa或22|ab|2(ab)2a解22a?bb，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求2判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0 即可解两个非零向量之间的夹角：根据公式cos 向量夹角的余弦值.x1x2+y1y2aba bx12+y12? x22y22求解出这两个