山东淄博实验中学立体几何多选题试题含答案.pdf

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1、山东淄博实验中学立体几何多选题试题含答案山东淄博实验中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题一、立体几何多选题1已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，M 为DD1的中点，N 为正方形 ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A若MN 2，则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为B若 N 到直线BB1与直线 DC 的距离相等，则 N 的轨迹为抛物线，则 N 的轨迹为双曲线3D若 MN 与平面 ABCD 所成的角为，则 N 的轨迹为椭圆3C若D1N与 AB 所成的角为【答案】BC【分析】对于 A，连接 MN，ND，DP，得到直角MDN，且 P 为斜边 MN 的中点，所以

2、PD 1，进而得到 P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于 B，可知NB BB1，即NB是点 N 到直线BB1的距离，在平面 ABCD 中，点 N 到定点 B 的距离与到定直线DC的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于 C，建立空间直角坐标系，设N(x, y,0)，利用空间向量求夹角知cos3D1N ABD1N AB2y2x2 y241，化简可知 N 的轨迹2为双曲线；对于 D，MN 与平面 ABCD 所成的角为MND 3，ND 3，可知 N 的轨3迹是以 D 为圆心，【详解】3为半径的圆周；3对于 A，如图所示，设 P 为 MN 的中点，连接 MN，ND，DP，由正方体性

3、质知MDN为直角三角形，且 P 为 MN 的中点，MN 2，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN不管怎么变化，始终有PD 1，即 P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以 D 为球心，1 为半径的球的112，其面积S 41 ，故 A 错误；882对于 B，由正方体性质知，BB1平面 ABCD 由线面垂直的性质定理知NB BB1，即NB是点 N 到直线BB1的距离，在平面 ABCD 中，点 N 到定点 B 的距离与到定直线 DC 的距离相等，所以点 N 的轨迹是以点 B 为焦点，直线 DC 为准线的抛物线，故 B 正确；对于 C，如图以 D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，

4、N(x, y,0)，D1(0,0,2)，A(0,2,0)，B(2,2,0)，则D1N (x, y,2)，AB (0,2,0)，利用空间向量求夹角知cos3D1N ABD1N AB2y2x2 y24122，化简整理得：3y x 4，即2y2x21，所以 N 的轨迹为双曲线，故C 正确；443对于 D，由正方体性质知，MN 与平面 ABCD 所成的角为MND，即MND 角MDN中，ND 故选：BC【点睛】3，在直33，即 N 的轨迹是以 D 为圆心，为半径的圆周，故 D 错误；33关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与

5、划归能力与运算求解能力，属于难题.2如图，正方体ABCD A1B1C1D1中的正四面体A1 BDC1的棱长为 2，则下列说法正确的是（）A异面直线A1B与AD1所成的角是BBD1平面AC11D3C平面ACB1截正四面体A1 BDC1所得截面面积为3D正四面体A1 BDC1的高等于正方体ABCD A1B1C1D1体对角线长的【答案】ABD【分析】选项 A，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C，由图得平面ACB1截正四面体23A1 BDC1所得截面面积为ACB1面积的四分之一；选项 D，分别求出正方体的体对角线长和正

6、四面体A1 BDC1的高，然后判断数量关系即可得解.【详解】A：正方体ABCD A1B1C1D1中，易知AD1/BC1，异面直线A1B与AD1所成的角即直线A1B与BC1所成的角，即A1BC1，A1BC1为等边三角形，A1BC13，正确；B：连接B1D1，B1B 平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，即AC11 B1B，又AC B1D1，B1BB1D1 B1，有A1C1平面BDD1B1，BD1平面BDD1B1，所以11BD1 AC1 A1D，AC11，同理可证：BD11 A1D A1，所以BD1平面AC11D，正确；C：易知平面ACB1截正四面体A1 BDC1所得截面面积为SAC

7、B143，错误；4D：易得正方体ABCD A1B1C1D1的体对角线长为22 2222226，棱长为 222 6的正四面体A1 BDC1的高为2 2212，故正四面体A1 BDC1的高等33于正方体ABCD A1B1C1D1体对角线长的故选：ABD.【点睛】2，正确.3关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明BD1平面AC11D，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断 C、D 的正误.3如图所示，正三角形 ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，其中 AB8，把 ADE沿着 DE 翻折至 ADE 位置，使得二面角

8、A-DE-B 为 60，则下列选项中正确的是（）A点 A到平面 BCED 的距离为 3B直线 AD 与直线 CE 所成的角的余弦值为CADBDD四棱锥 A-BCED 的外接球半径为【答案】ABD【分析】作 AMDE，交 DE 于 M,延长 AM 交 BC 于 N,连接 AM,AN.利用线面垂直的判定定理判定CD平面 AMN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到A到平面面 BCED 的高 AH,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得AH 的值，从而判定 A;根据异面直线所成角的定义找到 ADN 就是直线 AD 与 CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定 C;先

9、证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥 A-BCED 的外接球的球心为 O,则 ON平面 BCED,且 OA=OC,经过计算求解可得半径从而判定 D.【详解】如图所示，作 AMDE，交 DE 于 M,延长 AM 交 BC 于 N,连接 AM,AN.则 AMDE,MNDE, ,AMMN=M, CD平面 AMN,又 CD 平面 ABDC, 平面 AMN平面 ABDC,在平面 AMN 中作 AHMN,则 AH平面 BCED, 二面角 A-DE-B 为 60， AEF=60， 正三角形 ABC 中，AB=8, AN=4 3, AM=23, AH=AMsin60=3，故 A

10、正确；582 373连接 DN,易得 DNEC,DN=EC=4, ADN 就是直线 AD 与 CE 所成的角，DN=DA=4,AN=AM=23,4242125cos ADN=,故 B 正确；2448AD=DB=4,AB=AN2BN2 1216 2 7,AD2 DB2 AB2, AD 与 BD 不垂直，故 C 错误易得 NB=NC=ND=NG=4， N 为底面梯形 BCED 的外接圆的圆心，设四棱锥 A-BCED 的外接球的球心为 O,则 ON平面 BCED,且 OA=OC,若 O 在平面 BCED 上方，入图所示：设 ON=x,外接球的半径为 R,过 O 作 AH 的垂线，垂足为 P,2 R2

11、,解得x ,舍去；3故 O 在平面 BCED 下方，如图所示：则 HP=x,易得4 x 3 x222 32设 ON=x,外接球的半径为 R,过 O 作 AH 的垂线，垂足为 P,则 HP=x,易得42 x23 xR 16故选:ABD.22 32 R2, 解得x 2,344372 37,R ,故 D 正确.993【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.4已知正方

12、体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 O 为A1D1的中点，若以 O 为球心，6为半径的球面与正方体ABCD A1B1C1D1的棱有四个交点 E，F，G，H，则下列结论正确的是（）AA1D1/平面EFGHBA1C 平面EFGHCA1B1与平面EFGH所成的角的大小为 45D平面EFGH将正方体ABCD A1B1C1D1分成两部分的体积的比为1:7【答案】ACD【分析】如图，计算可得E,F,G,H分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断 A、B 的正确与否，计算出直线AB与平面EFGH所成的角为45后可得 C 正确，而几何体BHECGF为三棱柱，利用公式可求其体积，

13、从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA，则OAAA121 5，故棱A1A, A1D1,D1D, AD与球面没有交点.同理，棱A1B1,B1C1,C1D1与球面没有交点.因为棱A1D1与棱BC之间的距离为2 2 因为正方体的棱长为 2，而2 6，故棱BC与球面没有交点.6，球面与正方体ABCD A1B1C1D1的棱有四个交点 E，F，G，H，所以棱AB,CD,C1C,B1B与球面各有一个交点，如图各记为E,F,G,H.因为OAE为直角三角形，故AE OE2OA265 1，故E为棱AB的中点.同理F,G,H分别为棱CD,C1C,B1B的中点.由正方形ABCD、E,F为所在棱的中点可得EF/

14、BC，同理GH/BC，故EF/GH，故E,F,G,H共面.由正方体ABCD A1B1C1D1可得A1D1/BC，故A1D1/EF因为A1D1平面EFGH，EF 平面EFGH，故A1D1/平面EFGH，故 A 正确.A1BC 90，因为在直角三角BA1C中，A1B 2 2，BC 2，A1C与BC不垂直，故A1C与GH不垂直，故A1C 平面EFGH不成立，故 B 错误.由正方体ABCD A1B1C1D1可得BC 平面AA1B1B，而A1B 平面AA1B1B，所以BC A1B，所以EF A1B在正方形AA1B1B中，因为E,H分别为AB,BB1的中点，故EH A1B，因为EFEH E，故A1B 平面

15、EFGH，所以BEH为直线AB与平面EFGH所成的角，而BEH 45，故直线AB与平面EFGH所成的角为45，因为AB/A1B1，故A1B1与平面EFGH所成的角的大小为 45.故 C 正确.因为E,F,G,H分别为所在棱的中点，故几何体BHECGF为三棱柱，其体积为1112 1，而正方体的体积为 8，2故平面EFGH将正方体ABCD A1B1C1D1分成两部分的体积的比为1:7，故 D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.5如图，矩形ABCD中，AB 2AD 2，E为边AB的中点.将ADE

16、沿直线DE翻折成A1DE（点A1不落在底面BCDE内），若M在线段A1C上（点M与A1，C不重合），则在ADE翻转过程中，以下命题正确的是（）A存在某个位置，使DE A1CB存在点M，使得BM 平面A1DC成立C存在点M，使得MB/平面A1DE成立D四棱锥A1 BCDE体积最大值为【答案】CD【分析】利用反证法可得 A、B 错误，取M为A1C的中点，取A1D的中点为I，连接MI,IE，可证明MB/平面A1DE，当平面A1DE 平面BCDE时，四棱锥A1 BCDE体积最大值，利用公式可求得此时体积为【详解】242.4如图（1），取DE的中点为F，连接A1F,CF，则CDF 45，DF 21225

17、，故CF2 422，22222故DC2 DF2CF2即CFD 2若CA1 DE，因为A1D A1E,DF FE，故A1F DE，而A1F A1C A1，故DE 平面A1FC，因为CF 平面A1FC，故DE CF，矛盾，故 A 错若BM 平面A1DC，因为DC平面A1DC，故BM DC，因为DC CB，BM CB B，故CD平面A1CB，平面A1CB，故CD A1C，但A1D CD，矛盾，故 B 错因为AC1当平面A1DE 平面BCDE时，四棱锥A1 BCDE体积最大值，由前述证明可知A1F DE，而平面A1DE平面BCDE DE，A1F 平面A1DE，故A1F 平面BCDE，因为A1DE为等腰

18、直角三角形，A1D A1E 1，故A1F 又四边形BCDE的面积为21故此时体积为2，21311，221322，故 D 正确3224对于 C，如图（2），取M为A1C的中点，取A1D的中点为I，连接MI,IE，11CD，而BE/CD,BE CD，22故IM /BE,IM BE即四边形IEBM为平行四边形，则IM /CD,IM 故IE/BM，因为IE 平面A1DE，BM 平面A1DE，故MB/平面A1DE，故 C 正确故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.6如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底

19、面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（）A棱的高与底边长的比为22B侧棱与底面所成的角为D侧棱与底面所成的角为4C棱锥的高与底面边长的比为2【答案】AB【分析】3设四棱锥S ABCD的高为h，底面边长为a，由V 41254a h 18得h 2，然后可得侧3a1082面积为a ，运用导数可求出当a 3 2时侧面积取得最小值，此时h3，然后2a求出棱锥的高与底面边长的比和SAO即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD的高为h，底面边长为a可得V 1254a h 18，即h 23a1a2542a2108224所以其侧

20、面积为4a h 2aa 2424a4a1082210823令fa a 2，则f a 4a 3aa421082令f a 4a 0得a 3 23a3当a3当a 0,3 2时f a0，fa单调递减2,时f a0，fa单调递增所以当a 3 2时fa取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时h3所以棱锥的高与底面边长的比为2，故 A 正确，C 错误2侧棱与底面所成的角为SAO，由h3，a 3 2可得AO 3所以SAO 故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.4，故 B 正确，D 错误7如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成AB1

21、M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A存在某个位置，使得CN ABB翻折过程中，CN的长是定值C若AB BM，则AM B1DD若AB BM 1，当三棱锥B1 AMD的体积最大时，三棱锥B1 AMD的外接球的表面积是4【答案】BD【分析】对于选项 A，取AD中点E，取AB1中点K，连结KN，BK，通过假设CN AB，推出AB 平面BCNK，得到AB BK，则AK AB2 BK2 AB，即可判断；对于选项 B，在判断 A 的图基础上，连结EC交MD于点F，连结NF，易得NEC MAB1，由余弦定理，求得CN为定值即可；对于选项 C，取AM中点O，B1O，D

22、O，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断；对于选项 D，易知当平面AB1M与平面AMD垂直时，三棱锥B1 AMD的体积最大，说明此时AD中点E为外接球球心即可.【详解】如图 1，取AD中点E，取AB1中点K，连结EC交MD于点F，连结NF，KN，BK,则易知NE/AB1，NF/B1M，EF/AM，KN/AD，NE 1AB1，EC AM2由翻折可知，MAB1 MAB，AB1 AB，对于选项 A，易得KN/BC，则K、N、C、B四点共面，由题可知AB BC，若CN AB，可得AB 平面BCNK，故AB BK，则AK AB2 BK2 AB，不可能，故 A 错误；对于选项 B，易得NEC MAB1，

23、在NEC中，由余弦定理得CN CE2 NE22NECEcosNEC，ABABAB1整理得CN AM 2 AM BC2 AB2，42AM222故CN为定值，故 B 正确；如图 2，取AD中点E，取AM中点O，连结B1E，OE，B1O，DO，对于选项 C，由AB BM得B1O AM，若AM B1D，易得AM 平面B1OD，故有AM OD，从而AD MD，显然不可能，故 C 错误；对于选项 D，由题易知当平面AB1M与平面AMD垂直时，三棱锥 B1AMD 的体积最大，此时B1O 平面AMD，则B1O OE，由AB BM 1，易求得BO12，22222，故，因此B1E OB1OE DM 2221EB1

24、 EA ED EM，E为三棱锥B1 AMD的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4，故 D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.228如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（）A直线 BD1平面 A1C1DB三棱锥 PA1C1D 的体积为定值C异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是45，90D直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【分析】在 A 中，推导出 A1C1BD1，DC1BD1，从而直线 BD1平面 A1C1D；在 B 中，

25、由 B1C 平面 A1C1D，得到 P 到平面 A1C1D 的距离为定值，再由 A1C1D 的面积是定值，从而三棱锥PA1C1D 的体积为定值；在 C 中，异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是60，90；在 D中，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为【详解】解：在 A 中， A1C1B1D1，A1C1BB1，B1D1BB1B1， A1C1平面 BB1D1， A1C1BD1，同理，DC1BD1， A1C1DC1C1， 直线 BD1平面 A1C1D，故 A 正确

26、；在 B 中， A1D B1C，A1D 平面 A1C1D，B1C 平面 A1C1D， B1C 平面 A1C1D， 点 P 在线段 B1C 上运动， P 到平面 A1C1D 的距离为定值，又 A1C1D 的面积是定值， 三棱锥 PA1C1D 的体积为定值，故 B 正确；在 C 中，异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是60，90，故 C 错误；在 D 中，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 1，P（a，1，a），则 D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），DA1（1，0，1），DC1（0，1，1），C1P（a，0，a1），设平面 A1C1D 的法向量n x, y,z，6363则nDA1 x z 0，取 x1，得nnDC1 y z 01,1,1， 直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值为：11|C1Pn|121，2232(a ) a (a1) 3|C1P|n|22 当 a16时，直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为，故 D 正确23故选：ABD【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.