山东省实验中学等差数列单元测试题含答案.pdf

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1、一、等差数列选择题一、等差数列选择题1张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485 年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布 4 尺，20 日共织布 232 尺，则该女子织布每日增加（）尺A47B1629C815D452已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2 2an1an，a5 4a3，则S7（）A7B12C14D213等差数列an中，已知a1a4a7 39，则a4（）A13B14C15D16n4定义p1 p2 pn为n个正数p1, p2, pn的“均倒数”，若已知数列an的前1（）b9b10

2、Dn项的“均倒数”为A11an1，又bn，则b1b2b2b322nB8171021C11239195已知等差数列an的前n项和为Sn，且a110，S5 S6，下列四个命题：公差d的最大值为2；S7 0；记Sn的最大值为M，则M的最大值为 30；a2019 a2020.其真命题的个数是（）A4 个B3 个C2 个D1 个6已知数列an的前n项和Sn满足Sn（）A1nn1，则数列的前 10 项的和为a a2nn11011111289B910CD7等差数列an的前n项和为Sn，若a1 2，S315，则a8（）A11B12C23D248已知等差数列an的前n项和为Sn，若AS9S6，则12（）S3S6

3、C177B83143D1039已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S2=8，a3a8 2a5 2，则 a1等于（）A1B2C3D410记Sn为等差数列an的前n项和若a5 a6 20，S11132，则an的公差为（）A2B43C4D433311已知数列an中，a11，a2 2，对nN*都有2an1 an2an，则a10等于（）A10B310C64D412已知an是公差为 2 的等差数列，前 5 项和S5 25，若a2m15，则m （）A4B6C7D813在等差数列an中，3a3a52a8a9a13 24，则此数列前 13 项的和是（）A13B26C52D5614设等差数列an的前n和为

4、Sn，若am a1 am1m 1,mNASm 0且Sm1 0CSm 0且Sm1 015在数列an中，a11，且an1ABSm 0且Sm1 0DSm 0且Sm1 0*，则必有（）an，则其通项公式为an（）1nanB21n2n12n n11n n22n n2C2D216设等差数列an的前n项和为Sn，若a7 a1 a8，则必定有（）AS70，且S8 0CS70，且S8 017已知数列xn满足 x11，x2A(BS7 0，且S8 0DS7 0，且S8 01122(n2)，则 xn等于（），且xn1xn1xn3C2n1)3B(2n)32n1Dn1218设等差数列an的前n项和为Sn，若a7 a916

5、，则S15（）A60B120C160D24019在等差数列an中，a5 a2016 4，S，是数列an的前 n 项和，则 S2020=（）A2019B4040C2020D403820已知等差数列an的前n项和为Sn，a3a15 a67，则S23（）A121B161C141D151二、多选题二、多选题21已知数列an的前 n 项和为SnSn 0，且满足an4Sn1Sn 0(n 2)，a1则下列说法错误的是（）A数列an的前 n 项和为Sn 4nC数列an为递增数列B数列an的通项公式为an1，414n(n1) 1 D数列为递增数列Sn22已知等差数列an的公差d 0，前n项和为Sn，若S6 S1

6、2，则下列结论中正确的有（）Aa1:d 17:2C当d 0时，a6 a14 022BS18 0D当d 0时，a6 a1423(多选)在数列an中，若anan1 p(n 2,nN , p为常数)，则称an为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A若an是等差数列，则an是等方差数列B1是等方差数列nC2 是等方差数列.nD若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列24题目文件丢失！an1n225已知数列an满足an 0，(nN)，数列an的前n项和为anann1Sn，则（）Aa11CS2019a2020 201926已知数列an满足a1 A2BBa1a21DS2019a

7、2020 20191a1，n1，则下列各数是an的项的有（）1a2nC2332D327设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5 S6，S6 S7 S8，则下列结论正确的是（）Ad 0CS9 S528数列an满足an1Ba7 0DS6与S7均为Sn的最大值an,a11，则下列说法正确的是（）2an1A数列 1 是等差数列anB数列 1 2的前 n 项和Sn nanC数列an的通项公式为an 2n1D数列an为递减数列29设等差数列an的前n项和为Sn，若S3 9，a4 7，则（）2ASn n2BSn 2n 3nCan 2n1Dan 3n530已知等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*），

8、公差 d0，S6=90，a7是 a3与 a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）Aa1=22C当 n=10 或 n=11 时，Sn取得最大值Bd=2D当 Sn0 时，n 的最大值为 21【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题一、等差数列选择题1D【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d尺，由题意知S20 204解得d 452019d 232，2故该女子织布每天增加故选：D2C【分析】4尺5判断出an是等差数列，然后结合等差数列的性质求得S7.【详解】an2 2an1an，an2an1 an1an，数列an为等差数列.

9、a5 4a3，a3 a5 4，S7故选：C3A【分析】7(a1a7)7(a3a5)14.22利用等差数列的性质可得a1a7 2a4，代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得a1a7 2a4，所以a1a4a7 3a4 39，解得：a413，故选：A4D【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前 n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.【详解】设数列an的前 n 项和为Sn，由题意可得：当n 1时，a1 S1 2，当n 2时，an SnSn1 4n2，且a1 412 2，据此可得an 4n2，故bnn12，则：Sn 2n，Sn2n11111an 2n1，b

10、nbn12n12n122n12n121b9b10 11 1719据此有：11b1b2b2b31 111123351189.21919故选：D5B【分析】设公差为d，利用等差数列的前n项和公式，S5 S6，得d 2，由前n项和公式，得S7 28，同时可得Sn的最大值，d 2，n 5或n 6时取得，结合递减数列判断D【详解】设公差为d，由已知a110，S5 S6，得51010d 61015d，所以d 2，A正确；所以S7 71021d 70221 28，B 错误；an a1(n1)d 10(n1)d 0，解得n 101，an1 a1nd 10nd 0，d解得n 所以10，d1010 n 1，当d

11、2时，5 n6，dd当n 5时，有最大值，此时M 51010(2) 30，当n 6时，有最大值，此时M 61015(2) 30，C 正确又该数列为递减数列，所以a2019 a2020，D 正确故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n项和，掌握等差数列的前n和公式与性质是解题关an 0nS键等差数列前项和n的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由求得a 0n16C【分析】111nn1b 首先根据Sn得到an n，设n，再利用裂项求和即可得a ann12nn1到答案.【详解】当n 1时，a1 S11，当n 2时，an SnSn1nn1nn1 n.22检验a11 S1，所以an n.设bn

12、1111，前n项和为Tn，anan1nn1nn1110111 11 T 11.则1011112231011故选：C7C【分析】由题设求得等差数列an的公差d，即可求得结果.【详解】S315 3a2，a2 5，a1 2，公差d a2a1 3，a8 a17d 273 23，故选：C.8D【分析】由等差数列前n项和性质得S3，S6S3，S9 S6，S12 S9构成等差数列，结合已知条件得S6 3S3和S1210S3计算得结果.【详解】已知等差数列an的前项和为Sn，S3，S6S3，S9 S6，S12 S9构成等差数列，所以2S6S3 S3S9S6，且又S96，化简解得S6 3S3.S3S1210.S

13、632S9S6S6S3S12S9，S1210S3，从而故选：D【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n项和性质得S3，S6S3，S9 S6，S12 S9构成等差数列，（2）2S6S3 S3S9S6，且S96，化简解得S6 3S3，S3（3）2S9S6S6S3S12S9，化简解得S1210S3.9C【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出a1【详解】设等差数列an的公差为d，则a3a8 a5a6 2a5 2，解得d a6a5 2，S2 a1a2 2a1d 2a12 8，解得a1 3故选：C10C【分析】由等差数列前n项和公式以及等差数列的性质可求得a6，再由等差数列的公式即可求得公

14、差.【详解】解：S11a1 a111111a26132，a612，又a5 a6 20，a5 8，d a6a5 4.故选：C11D【分析】33利用等差中项法可知，数列an为等差数列，根据a11，a2 2可求得数列an的公 差，可求得a10的值，进而可求得a10的值.【详解】对nN*都有2an1 an2an，由等差中项法可知，数列an为等差数列，333由于a11，a2 2，则数列an的公差为d a2a1 7，3333 3 所以，a10 a19d 197 64，因此，a10故选：D.12A【分析】334.由S5 25求出a1，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m的值【详解】解：由题意得5a1542

15、 25，解得a11，2所以an a1(n1)d 1 2(n1) 2n1，因为a2m15，所以22m115，解得m 4，故选：A13B【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.【详解】由等差数列的性质，可得a3a5 2a4，a8a9a13 a7a10a13 3a10，因为3a3a52a8a9a13 24，可得32a423a10 24，即a4 a10 4，故数列的前 13 项之和S13故选：B.14D【分析】由等差数列前 n 项和公式即可得解.【详解】由题意，a1am 0,a1am1 0，13a1a1313a4a10134 26.222所以Sm故选：D.15D【分析】m(a

16、1am)(m1)(a1am1) 0，Sm1 0.22an111n2n2 n，再由累加法计算出先由an1得出，进而求出an.1nanan1anan2【详解】解：an1an，1nanan11nan an，化简得：an1nanan1 an，两边同时除以anan1并整理得：11 n，an1an11111111 2 n1(n 2,nz)， 31即，a3a2anan1a4a3a2a1将上述n 1个式子相加得：11111111+123n1，a2a1a3a2a4a3anan111n(n1)即，ana1211n(n1)n(n1)n2n2=1(n 2,nz)，ana1222又11也满足上式，a11n2n2(nz)

17、，an22(nz).n2n2故选：D.【点睛】an易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现n 1，要注意检验首项是否符合.16A【分析】根据已知条件，结合等差数列前n项和公式，即可容易判断.【详解】依题意，有a1a70，a1a80则S7a1a77 022S8a1a88 4a1a8 0故选：A.17C【分析】 1 1 由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案xnxn【详解】由已知可得数列113 1 11,d 是等差数列，且，故公差xx2x212n则11n121n1，故xnxn22n 1故选：C18B【分析】利用等差数列的性质，由a7 a916，得到a88，然后由S1515a

18、8求解.【详解】因为a7a916，所以由等差数列的性质得a7 a9 2a816，解得a88，所以S15故选：B19B【分析】由等差数列的性质可得a5a2016 a1a2020 4，则15a1a1515a8158 1202a1a20202020 1010a5a2016可得答案.2【详解】S2020等差数列an中,a5a2016 a1a2020 4S2020a1a20202020 1010a5a2016 41010 40402故选：B20B【分析】由条件可得a12 7，然后S23 23a12，算出即可.【详解】因为a3a15 a67，所以a15 a6a37，所以a15 3d 7，所以a153d 7

19、，即a12 7所以S23 23a12161故选：B二、多选题二、多选题21ABC【分析】（0 n 2）数列an的前n项和为S，且满足an4Sn1Sn（，a1nSn 0）SnSn1 4Sn1Sn 0，化为：Sn，n 2时，an SnSn1【详解】1，可得：4111 4，利用等差数列的通项公式可得，SnSn1Sn111 ，进而求出an4n4n14nn11，4（0 n 2）数列an的前n项和为S，且满足an4Sn1Sn（，a1nSn 0）SnSn1 4Sn1Sn 0，化为：11 4，SnSn1数列 1 是等差数列，公差为 4，Sn1 44n1 4n，可得Sn1，Sn4nn 2时，an SnSn111

20、1 ，4n4n14nn11(n 1)4an，1(n 2)4nn1对选项逐一进行分析可得，A，B，C 三个选项错误，D 选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题22ABC【分析】11 4，进而求得其它性SnSn1因为an是等差数列，由S6 S12可得a9 a10 0，利用通项转化为a1和d即可判断选项 A；利用前n项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质a6a14 a9a10 d d即可判断选项 C；由d 0可得a6a14 d 0且a6 0，a14 0即可判断选项 D，进而得出正确选项.【详解】

21、因为an是等差数列，前n项和为Sn，由S6 S12得：S12S6 a7a8a9a10a11a12 0，即3a9a100，即a9 a10 0，对于选项 A：由a9 a10 0得2a117d 0，可得a1:d 17:2，故选项 A 正确；对于选项 B：S1818a1a18218a9a102 0，故选项 B正确；对于选项 C：a6a14 a9a11 a9 a10 d d，若d 0，则a6a14 d 0，故选项 C正确；对于选项 D：当d 0时，a6a14 d 0，则a6 a14，因为d 0，所以a6 0，a14 0，所以a6 a14，故选项 D 不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是

22、由S6 S12得出a9 a10 0，熟记等差数列的前n项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.23BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】2222对于 A，若an是等差数列，如an n，则anan1 n (n1) 2n1不是常数，故a不是等方差数列，故 A 错误；n对于 B，数列1中，an2n2n2n1 2an 0是常数，(1)n是等方1(1) (1)差数列，故 B 正确；对于 C，数列2 中，an2n2nan1 2 2 2n12n34n1不是常数， 2不是等方差 数列，故 C 错误；对于 D，2an是等差数列，anan1 d，则设an dnm

23、，an是等方差数22列，anan1anan1d dnmdnd mad 2d n(2md)d是常数，22故2d2 0，故d 0，所以(2md)d 0，anan1 0是常数，故 D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.24无25BC【分析】根据递推公式，得到an根据求和公式，得到Sn【详解】nn11a ，令n 1，得到1，可判断 A 错，B 正确；a2an1ann，求出S2019a2020 2019，可得 C 正确，D 错.an1an1nnn1an2n1nn1a a 由可知，即n，2nana

24、nn1an1anan1anan当n 1时，则a11，即得到a1a21，故选项 B 正确；a1无法计算，故 A 错；a2Sn a1a2 10 21 ana2a1a3a2 nn1n0n，aaaaann11n1n1所以Snan1 n，则S2019a2020 2019，故选项 C 正确，选项 D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如an1 an fn的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如an1 fn的数列，求通项时，常用累乘法求解；an（3）构造法，形如an1 pan q（p 0且p 1，q 0，nN N+ +）的数列，求通项时，常需要构

25、造成等比数列求解；SnSn1,n 2aS（4）已知n与n的关系求通项时，一般可根据an求解.a ,n 1126BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3 的周期数列，从而可求解结论【详解】因为数列an满足a1 a2111( )223；1a1，n1，1 a2na31 3；1a2a411 a1；1a32数列an是周期为 3 的数列，且前 3 项为故选：BD【点睛】12，3；23本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题27BD【分析】设等差数列an的公差为d，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列an的公差为d，依次分析选项

26、：an是等差数列，若S6 S7，则S7S6 a7 0，故 B 正确；又由S5 S6得S6 S5 a6 0，则有d a7a6 0，故 A 错误；而 C 选项，S9 S5，即a6a7a8a9 0，可得2a7a80，又由a7 0且d 0，则a8 0，必有a7 a8 0，显然 C 选项是错误的.S5 S6，S6 S7 S8，S6与S7均为Sn的最大值，故 D 正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n项和的性质，需熟记公式，属于基础题.28ABD【分析】首项根据an1an11 1 2，从而得到是以首项为1，公差为,a11得到an1an2an1an2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选

27、项 A，因为an1an，a11，2an12an11111 2 2所以，即an1ananan1an 1 所以是以首项为1，公差为2的等差数列，故 A 正确.an1对选项 B，由 A 知：an1 2 n 12n 1 1 n12n1数列的前 n 项和Sn n2，故 B 正确.2an1 2n1，所以an1，故 C 错误.对选项 C，因为an2n1对选项 D，因为an故选：ABD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前 n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.29AC【分析】利用等差数列an的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出a11，d 2，由此能求出an与Sn【详解】等差数列an的前

28、n项和为SnS3 9，a4 7，1，所以数列an为递减数列，故 D 正确.2n132d 9S3 3a1，2a4 a13d 7解得a11，d 2，an1(n1)2 2n1Sn12n1n n22故选：AC【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题30BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合 n 为正整数，可判断 C；由 Sn0 解不等式可判断 D【详解】由公差d 0,S6 90，可得6a115d 90，即2a15d 30，2由 a7是 a3与 a9的等比中项，可得a7 a3a9，即a16da12da18d，化简得2a1 10d，由解得a1 20,d 2，故 A 错，B 对；121441由Sn 20nnn12 21nn2 n224n N*，可得n 10或11时，Sn取最大值110，C 对；由 Sn0，解得0 n 21，可得n的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题2