排列组合问题的解题策略.ppt
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1、2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学12022年8月27日星期六襄樊一中高二数学22、合理分类和准确分步、合理分类和准确分步5、定序问题、定序问题6、分房问题、分房问题7、环排、环排、10、先选后排问题、先选后排问题9 9、平均分组问题、平均分组问题11、构造模型策略、构造模型策略8、实验法(枚举法)、实验法(枚举法)13、其它特殊方法、其它特殊方法排列组合应用题解法综述排列组合应用题解法综述(目录)(目录)2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学3排列组合应用题解法综述2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学4基基本本原原理理组合组合排列排列排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式
2、组合数性质组合数性质应应用用问问题题 知识结构网络图:知识结构网络图:2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学5 名称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同相同点点不同不同点点两个原理的区别与联系:两个原理的区别与联系:做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接(直接(分类分类)完成)完成间接(间接(分步骤分步骤)完成)完成做一件事,完成它可以有做一件事,完成它可以有n类办法,类办法,第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法,种不同的方法,第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法,第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法,种不同
3、的方法, 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事,完成它可以有做一件事,完成它可以有n个步骤,个步骤,做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法,种不同的方法,做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法,做第做第n步中有步中有mn种不同的方法,种不同的方法, 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学61. 1.排列和组合的区别和联系:排列和组合的区别和联系:名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性
4、质 ,mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素,素,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素,素,把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmnnAnA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学7:1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所
5、要做的事,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是还是 组合组合(无序无序)问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题,往往类与步交解决排列组合综合性问题,往往类与步交 叉,因此必须掌握一些常用的解题策略叉,因此必须掌握一些常用的解题策略2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学8判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合设集合A=a
6、,b,c,d,e,则集合,则集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价?有多少种不同的火车票价?组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会,见面后每两人之间要人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次握手相互问候,共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点
7、中选出2个安排游览个安排游览,有有多少种不同的方法多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景点个风景点的游览顺序的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学9总的原则总的原则合理合理分类和分类和准确准确分步分步 解排列(或)组合问题,应按元素的性质进行解排列(或)组合问题,应按元素的性质进行分类,事情的发生的连续过程分步,做到分类标准分类,事情的发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。明确,分步层次清楚,不重不漏。解解 分析:先安
8、排甲,按照要求对其进行分类,分两类:分析:先安排甲,按照要求对其进行分类,分两类:根据分步及分类计数原理,不同的站法共有根据分步及分类计数原理,不同的站法共有例例1 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相,个老师排成一排照相, 2个个老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法?尾,共有多少种不同的排法?1)若甲在排尾上,则剩下的)若甲在排尾上,则剩下的5人可自由安排,有人可自由安排,有 种方法种方法.55A2) 若甲在第若甲在第2、3、6、7位,则位,则排尾的排法有排尾的排法有 种,种,1位的排法位的排法有有 种种, 第第2、3、6
9、、7位的排法有位的排法有 种种,根据分步计数,根据分步计数原理,不同的站法有原理,不同的站法有 种。种。14A14A44A441414AAA再安排老师,有再安排老师,有2种方法。种方法。.(1008)(244141455种)AAAA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学10把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础例例2 如图,某电子器件是由三个电如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路阻组成的回路,其中有其中有6个焊接个焊接点点A,B,C,D,E,F,如果某,如果某个焊接点脱落,整个电路就会不通。现发现电个焊接点脱落,整个电路就会不通。现发现电路不通了路不通了, 那么焊接点脱
10、落的可能性共有(那么焊接点脱落的可能性共有( ) A.63种种 B.64种种 C.6种种 D.36种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知:由乘法原理可知:2 22 22 22 22 22-1=632-1=632022年8月27日星期六襄樊一中高二数学11(1)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数?且能被五整除的五位数?练练 习习 1分类:个位数字为分类:个位数字为5或或0:个位数为个位数为0:45A个位数为个位数为5:216341445 AAA3414AA 2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学12(
11、2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数?的五位数?分类:分类:引申引申1:31250是由是由0,1,2,3,4,5组成的无重组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数?复数字的五位数中从小到大第几个数?3251231234134512 AAAAAA2753254515 AA27512212233445 AAAA方法一:(排除法)方法一:(排除法)方法二:(直接法)方法二:(直接法)引申引申2:由:由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的组成的无重复数字的五位数中大于五位数中大于31250,小于,小于50124的数共有多少个?的数共
12、有多少个?(2004 全国全国12) 在由数字在由数字1,2,3,4,5组成的所有组成的所有没有重复的没有重复的5位数中,大于位数中,大于23145且小于且小于43512的的数共有(数共有( )个)个582022年8月27日星期六襄樊一中高二数学13合理分类与分步策略例例3.3.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能唱人能唱歌歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的人伴舞的节目节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解: 1010演员中有演员中有5 5人只会唱歌,人只会唱歌,2 2人只会跳舞人只会跳舞 3
13、 3人为全能演员。人为全能演员。 以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种,由分类计数种,由分类计数原理共有原理共有_种。种。2233CC112534CCC2255CC2233C C112534C C C2255C C+ + +2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学14解含有约束条件的排列
14、组合问题,可按元素解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。始终。2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学15有不同的数学书有不同的数学书7本,语文书本,语文书5本,本,英语书英语书4本,由其中取出不是同一本,由其中取出不是同一学科的书学科的书2本,共有多少种不同的本,共有多少种不同的取法?取法?(75 + 74 + 54 = 83)2022年8月27日星期六襄樊一
15、中高二数学16(4)()(2005福建福建理)从理)从6人中选人中选4人分别到巴黎、伦人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( ) A300种种B240种种 C144种种 D96种种B(直接法)分三种情况:(直接法)分三种情况:情况一情况一,不选甲、乙两个去游览不选甲、乙两个去游览:则有则有 种选择方案种选择方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游览:有甲、乙中有一人
16、去游览:有 种选择方案种选择方案;情况三情况三:甲、乙两人都去游览甲、乙两人都去游览,有有 种选择方案种选择方案,综上不同的选择方案共有综上不同的选择方案共有 + + =240 11332343C C C A22132433C C C A44A11332343C C C A22132433C C C A44A(间接法)个)(240353546AAA1345A A2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学171.从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出4人参加某个座人参加某个座 谈会,若这谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有不同的选法共有_
17、练习题2. 3成人成人2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1号船最多乘号船最多乘3人人, 2 号船最多乘号船最多乘2人人,3号船只能乘号船只能乘1人人,他们任选他们任选 2只船或只船或3只船只船,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, 这这5人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学182022年8月27日星期六襄樊一中高二数学19例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免
18、不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得由分步计数原理得=28813C14C34A2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学20“特殊元素、特殊位置优先安排法特殊元素、特殊位置优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。素,再考虑其它元素。 例例2 用用0,1,2,3,4这五个数,组成没这五个数,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有(有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) A.
19、24 B.30 C.40 D.60 分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数,分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数, 又因为又因为0不能排首位,故不能排首位,故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素,应优元素,应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类;排在末尾和不排在末尾分为两类;1) 0排在末尾时,有排在末尾时,有 个;个;2) 0不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排十位有十位有 个;个;由分类计数原理,共有偶数由分类计数原理,共有偶数 30 个个.2A4111233A A AB解题技巧解题技巧2022
20、年8月27日星期六襄樊一中高二数学21学生要从六门课中选学两门:学生要从六门课中选学两门: (1)有两门课时间冲突,不能)有两门课时间冲突,不能同时学,有几种选法?同时学,有几种选法? (2)有两门特别的课,至少选)有两门特别的课,至少选学其中的一门,有几种选法?学其中的一门,有几种选法?2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学2214141224CCC解法一:14126C解法二: (1)有两门课时间冲突)有两门课时间冲突,不能不能同时学,有几种选法?同时学,有几种选法?2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学239221412CCC解法一:解法一:92426CC解法二:解法二: (2)有
21、两门特别的课,至少)有两门特别的课,至少选学其中的一门,有几种选法?选学其中的一门,有几种选法?2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学24特殊元素(或位置)优先安排特殊元素(或位置)优先安排例例 将将5 5列车停在列车停在5 5条不同的轨道上,其中条不同的轨道上,其中a a列车列车不停在第一轨道上,不停在第一轨道上,b b列车不停在第二轨道上,列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有(那么不同的停放方法有( )(A A)120120种种 (B B)9696种种 (C C)7878种种 (D D)7272种种解:解:4113433378AAAA782334455AAA2022年8月27日星
22、期六襄樊一中高二数学251.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?问有多少不同的种法?25451440A A练习题2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学26 (1)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数?无重复数字的五位数?1455600AA(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重可组成多少个无重复数字的五位奇数?复数字的五位奇数?113344288AAA练练 习习2022年8月27日星期六襄樊一
23、中高二数学27(3)(2005 北京北京文文)五个工程队承建某项工程的五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中项,其中甲工程队不能承建甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方号子项目,则不同的承建方案共有(案共有( )种。)种。(4)(2005 全国全国II 理理)在由数字在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被所组成的没有重复数字的四位数中,不能被整除的数共有整除的数共有_个个 解:不能被解:不能被5整除的有两种情况:情况整除的有两种情况:情况1、首位为、首位为5有有 种,情况种,情况2、首位不是、首位不是
24、5的有的有 种,故在由数字种,故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,所组成的没有重复数字的四位数中,不能被整除的数共有不能被整除的数共有 + =192(个个) 1244AA112434AAA1244AA112434AAA1444A A1922022年8月27日星期六襄樊一中高二数学282022年8月27日星期六襄樊一中高二数学29例例. 7. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法55A22A2
25、2A=480解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素,同时丙丁也看成一个一个复合元素,同时丙丁也看成一个 复合元素,再与其它元素进行排列,复合元素,再与其它元素进行排列, 同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。 . .2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学30解解 因为女生要排在一起因为女生要排在一起, ,所以可以将所以可以将3 3个女生看成个女生看成是一个人是一个人, ,与与5 5个男生作全排列个男生作全排列, ,有有 种排法种排法, ,其中女生其中女生内部也有内部也有 种排法种排法, ,根据乘法原理根据乘法原理, ,共有共
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