大学课件概率论 第七章参数估计2.pptx

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1、估计量优劣性的评价,标准:无偏性、有效性、相合性、充分性与完备性*,无偏性,无偏估计量：设 是 的估计量，如果 则称 是 的无偏估计量。,即无系统偏差,例: 设总体的数学期望EX=和方差VarX=2都存在， 证明：样本均值 修正样本方差 分别是EX、VarX的无偏估计，,证明：之前已经计算了样本均值和修正样本方差的期望,这也是为何用修正样本方差，而非样本方差的原因,有 效 性,设 是 的无偏估计量，当样本容量n固定时，使 达到最小的 称为 的有效估计.,由于方差是度量随机变量落在它的均值E的邻域内的集中或分散程度的。所以一个好的估计量，不仅应该是待估参数的无偏估计，而且应该有尽可能小的方差。,

2、例如 及 （其中 ）都是EX的无偏 估计，但 比 有效。,首先,算术平均平方平均,其次,一致最小方差无偏估计量,要求无偏 最有效,定义：设总体XFX(,).若T0(X1, Xn)为g()的无偏估计量，且对g()的任意无偏估计量T(X1, Xn)，都有,则称T0(X1, Xn)为g()的一致最小无偏估计量,注意：没有普遍可行的构造办法,我们不仅希望一个估计是无偏的，且具有较小的方差，有时还希望当样本容量无限增大时，即观察次数无限增多时，估计能在某种意义下越来越接近被估计的参数的真实值，这就是所谓一致性的要求。,相合性,定义,注意：,依概率收敛到真值,可以证明：,证明（1）,（2）,根据切比雪夫不

3、等式,（3）证明很难，这里不介绍了,补充例题,例：,试讨论这两个估计量的无偏性，有效性和相合性。,有矩估计量和极大似然估计量,无偏性,利用顺序统计量的性质可得X(n)的密度函数为：,需要了解X(n)的密度函数,直接计算有：,不是无偏估计量，只是渐近无偏估计量.,有效性,这个例子中的极大似然估计更有效,最后看两个估计量的相合性:,之前证明过：样本均值是总体期望的相合估计量.,故矩法估计量是相合估计量.,极大似然估计量在一般情况下也有相合性，证明很复杂，我们这里就不给出了.,相合性,参数的区间估计,点估计：如果构造一个统计量,来作为参数的估计量，则称为参数的点估计。,回忆：,点估计总是有误差的，但

4、没有给出偏差的程度，,引例 设某厂生产的灯泡使用寿命XN（，100），现 随机抽取5只，用样本均值估计其平均寿命。测三组数据：,但范围有多大呢？,取样本1，得到估计值1473.4,是一个真实存在的确定的数，只是我们不知道确切的值,取样本2，得到估计值1400,取样本3，得到估计值1480,区间估计的思想,用 来作为参数可能取值范围的估计，同时给出 参数落在随机区间 中的概率，称为区间估计。,构造两个统计量,考虑U统计量：,已经知道：,方差已知，但是是一个未知参数，使用起来不方便。,如何处理样本均值这一统计量？,查表得,有90%的把握成立,注意：对于某个给定的观测值，上述不等式不是一定成立，但是

5、有100组数据的话，其中应当有90个估计是成立的，即成立的可能为90%。,先找正数，使得,(-)=1- (),置信水平、置信区间,设总体的分布中含有一个参数，对给定的（很小）， 如果由样本（X1，X2，Xn）确定两个统计量 1（ X1，X2，Xn ）， 2（ X1，X2，Xn ）， 使得P(1 2)=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。,1置信下限 2置信上限,上例：,注意： 1- 只是一种记法，但是这种记法会简化计算,定义,区间估计的一般定义,几点说明,2、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包

6、含总体参 数的真值。,3、不同的置信水平，参数的置信区间不同。,4、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1- 大）。不降低可靠性的同时要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。,1、估计和估计g() 并没有本质区别。,分位数,设 X f (n)（f 为某种分布，n 为有关的自由 度），01，则称满足,的数 f(n) 为分布 f (n) 的 分位数（或分位点）,查课本后面的表可得 2分布， t 分布， F 分布的分位数。,注意,若X

7、 2(n) 分布，当n趋于无穷时， 近似的服从 N(0,1)，故当自由度较大时，近似的有,对于 F(m,n) 分布和 (01),有,对于 t(n) 分布，当 n 趋于无穷时，分布趋于 N(0,1)，故当自由度较大时，用标准正态分布的分位数 u 代替 t(n) 的分位数。,单个正态总体参数的区间估计,正态总体方差已知，对均值的区间估计,如果总体XN（，2），其中2已知， 未知， 则取U-统计量 ，对做区间估计。,对给定的置信水平1-，由,将观测值 代入，则可得具体的区间。,确定临界值（X的双侧分位数）得的置信区间为,例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天

8、的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信 区间：=0.05；=0.01。,解: （1）由矩法估计得EX的点估计值为,续解 （2）由题设知XN（，0.06）,构造U-统计量，得EX的置信区间为,当=0.05时，,而,所以，EX的置信区间为 14.754，15.146,当=0.01时，,所以，EX的置信区间为 14.692，15.208,置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。,例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布N(，

9、2)，且标准差=12元，今要对该地旅游者的平均消费额EX加以区间估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2元，问至少要调查多少人？,解 由题意知：消费额XN(，122)，设要调查n人。,由,即,得,查表得,而,解得,至少要调查139人,例2 续：估计误差小于1元，问至少要调查多少人？,解得,至少要调查554人,在方法不变的前提下，要想提高精度，只能增加样本的容量,正态总体方差未知，对均值的区间估计,如果总体XN（，2），其中，均未知,试取U-统计量,仍然服从标准正态分布,若将其作为区间估计的分布，得置信度1-的置信区间,未知，置信上限下限中都含有未知参数，不是统计量,如何来处理？,用某

10、种统计量来替换未知量2,构造T-统计量,当置信水平为1-时，有,查t-分布表确定,从而得的置信水平为1-的置信区间为,由于T分布也是对称的,在例1中若滚珠直径的方差2未知，用同样的数据求的置信概率为0.95的置信区间。,解：回忆公式,例3,根据题设有：,续解,查表有：,将所求的数值代入公式，得,的置信概率为0.95的置信区间为14.714, 15.186,比较例1和例2的结果会发现，由同一组样本观察值，按同样的置信概率，对计算出的置信区间因为2的是否已知会不一样。,当2已知，我们掌握的信息多一些，在其他条件相同的情况下，对的估计精度要高一些，即表现为的置信区间长度要小些。当2未知，对的估计精度

11、要低一些，即表现为的置信区间长度在大一些。,2为已知时， 14.754，15.146,2为未知时， 14.714, 15.186,例4 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。,解 由题设可知：口杯的重量XN（，2）,由于方差未知，故考虑分布,由抽取的9个样本，可得,例4续 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取4个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5。试

12、用95%的置信度估计全部口杯的平均重量，比较与例4的区别。,由,得,查表得,全部口杯的平均重量的置信区间为 21.26，21.54,正态总体均值已知，对方差的区间估计,总体XN（，2），其中已知，2未知,先从点估计入手,估计方差一般使用样本方差，但是注意到已知，考虑,故S2是2的无偏估计量,构造2-统计量,查2- 分布表，确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,但是S2的分布依赖于参数2，由,例5已知某种果树产量服从（218，2），随机 抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236。试以95%的置信水平估计产量的方差。,解 :,计算,查表,果树

13、方差的置信区间为,如果总体XN（，2），其中 已知，2未知，是否 可取U-统计量 ，或者U2对做区间估计？,则 ,只有单向的控制,提示：,思考：,1、,2、 估计精度太低,人为刻意造出的估计量效果往往没有有点估计背景的估计量好,正态总体均值未知，对方差的区间估计,如果总体XN（，2），其中 ，2均未知,构造2-统计量,中包含两个未知参数，不能用来估计2,自然想到，用样本方差 替换分子,当置信水平为1-时，由,查2- 分布表，确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,例6 设某灯泡的寿命XN（，2）， ，2未知，现 从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0， 11.2，

14、12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为 90%的2的区间估计。,解: 修正样本方差及均值分别为,2的置信区间为 0.4195，5.5977,由,得,查表得,比较已知和未知时方差的估计,设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则,(1),思考：当已知时，能否用,作为统计量估计 2,例已知某种果树产量服从（218，2），随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236，试以95%的置信水平估计产量的方差。,解:,计算 ,查表,果树方差的置信区间为,估计精度大大降低,关键,找到一个仅含待估计参数 ，不含其它未知参数的样本函数（抽样分布

15、函数）,如何找这样的函数？,从相应的参数的点估计量出发,区间估计的步骤分析,对进行区间估计,若统计量R是的点估计量，确定R的分布函数，其中可能包含参数。 将R中的参数约化，得统计量S，不含任何未知参数 利用统计量S的分布得到参数的区间估计T1,T2,2、考虑U统计量：,1、点估计中用 估计：,以总体XN（，2），其中2已知， 未知，对做区间估计为例说明。,3、得到区间估计：,大家不需要掌握区间估计估计量的构造过程，只需要记住所需的统计量及其分布即可,（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量,（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量,总体服从正态分布的对均值的区间估计,区间估计小结,

16、（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量,（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量,总体服从正态分布的对方差的区间估计,期望与方差的区间估计的区别：,正态分布和t分布对称，只需找一个分位数 卡方(2)分布不对称，要找双侧分位数,点估计和区间估计的关系,点估计是区间估计的基础，区间估计的统计量一般从点估计中引出； 区间估计除了使用统计量本身以外，还需要计算统计量相应的分布函数，计算量更大； 区间估计比点估计更精确，包含信息量更大。,第七章知识小结,（1）矩估计 思想：用样本k阶原点矩估计总体k阶原点矩，样本 k阶中心矩估计总体k阶中心矩.,（2）最大似然估计,第七章知识小结,（2）最大似然估计,第七章知识小结,（3）无偏估计,（4）相合估计,第七章知识小结,（5）参数的区间估计,