大学高数下册试题及答案 第7章.doc

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1、院 系 班级 姓 名 作业编号 第七章 多元函数微分学作业1 多元函数1填空题（1）已知函数，则；（2）的定义域是；（3）的定义域是；（4）函数的连续范围是 全平面 ；（5）函数在处间断.2求下列极限（1）；解：（2）.解：由于， 故3讨论极限是否存在.解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在4证明在点分别对于每个自变量或 都连续，但作为二元函数在点却不连续.解：由于从而可知在点分别对于每个自变量或 都连续，但沿着曲线,有因而异，从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.作业2 偏导数1填空题（1）设，则；（2）（3）设，则；（3）设，则 0 ；（4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是.2设，

2、证明 .证:因为所以3. 设，求，.解：，从而4设， 证明 . 解：因为所以5设函数.（1）试求的偏导函数；解：当，当，（2）考察偏导函数在点处是否连续.，故在点处连续，不存在，从而在点处不连续作业3 全微分及其应用1填空题（1）在点处偏导数存在是在该点可微的 必要 条件；（2）函数在点处，当时有全增量，全微分；（3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；（4）在点处的；（5）,则；（6）,则；（7）,则 .2证明：在点处连续，与存在，但在 处不可微.证：由于从而但是不存在，从而在处不可微.3设函数试证：（1）函数在点处是可微的；证：因为 又所以函数在点处是可微的（

3、2）函数在点处不连续.证：当不存在，故在点处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1填空题（1）设，则；（2）设，则；（3）设，则；（4）设，则.2求下列函数的偏导数（1）设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：（2）设，其中均可微，求和.解：因为从而所以3验证下列各式（1）设，其中可微，则；证：因为所以（2）设，其中可微，则.证：因为所以4设其中函数具有二阶连续偏导数，求.解：因为所以4设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：.证：因为从而左边作业5 隐函数求导法1填空题（1）已知，则；（2）已知，则；（3）已知，则；（4）已知，则；（5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则.2设其中具有二阶连续偏导数，

4、求解：3求由方程组所确定的及的导数及.解：由已知4设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：.证：因为，5设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求.解：因为特征方程为作业6 方向导数与梯度1填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ；（3）函数在点的梯度为；（4）函数在点处沿方向的方向导数是 ，且函数在该点的梯度是；（5）函数在点处沿方向的方向导数是；（6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是.2求在点及点处的梯度间的夹角.解：夹角余弦为3求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那

5、个方向的值不变？解：，在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变4设轴正向到得转角为，求函数在点处沿着方向的方向导数.解：，由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数：作业7 偏导数的几何应用1填空题（1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点 的坐标是；（2）曲面在点处的切平面方程是；（3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向内侧的单位法向量为；（4）曲面在点处的法线方程是 ；（5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或2求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程.解：切点为，从而切线为，法平面为3求两个圆柱面的交

6、线在点处的切线和法平面的方程.解：，切线为，法平面为4求曲面在点处的切平面及法线的方程.解：切平面为，法线为5求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数.解：指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为6证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数.证：设切点为，则切平面为令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。作业8 多元函数的极值1填空题（1）函数的极值是 0 ；（2）函数的极值点是；（3）函数的极值点是；（4）函数的极值是；（5）函数的极值是.2证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点.证：因为 由得驻点坐标为又故只有当为偶数时才大于

7、零，从而才有极值。而这时因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。3求函数在条件下的极值.解：令则从而4求函数在圆域上的最大值与最小值.解：先求圆内部的驻点得驻点，再求圆周上的有约束极值，令则若则必有矛盾，若则必有或由于从而要求的最大值为4，最小值为5在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体.解：设在第一卦限内的顶点坐标为，则令，则由，可得，其长宽均为，高为6求椭圆的长半轴和短半轴.解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下或的最值取由从而，当时，由约束条件当时，由约束条件于是椭圆的长半轴为和短半轴为.第七章多元函数微分学测试试卷1单项选择题（每小题3分）（1） 二重

8、极限值为 （ D ）（A）0； （B）1； （C）； （D）不存在.（2）二元函数在点处的两个偏导数和都存在，则（ D ） (A)在该点可微； (B) 在该点连续可微；(C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D) 以上结论都不对.（3）函数在处（ A ）(A) 不取极值； (B) 取极小值； (C) 取极大值； (D)是否取极值依赖于.（4）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ B ）（A）只有1条； （B）只有2条； （C）至少有3条； （D）不存在.（5）设，其中，下面运算中（ B ），(A)、都不正确； (B) 正确，不正确； (C) 不正确，正确； (D) 、都正确.2填空题（每小题

9、3分）（1）已知理想气体状态方程，则；（2）设，则；（3）函数在点的梯度为；（4）已知，其中为可微函数，则；（5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线的方程为3设，其中均为二阶可微函数，求.解：因为所以4设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数.解：从而5已知，其中均为可微函数，求.解：对函数取全微分得，从而6设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数.解：指向下侧在此即抛物面的外侧，从而7在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标.解：设切点为，则切平面为在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。令则与约束条件结合推得由于在第一卦限，从而切点为8设（1）求，；（2），是否在原点连续？在原点是否可微？说明理由.解：（1）当，当在此为分段点，用定义求偏导数（2），在原点因为二重极限不存在从而不连续，但9已知为常数，且，求证：.解：令，则问题化为在约束条件下的最大值为1令，则，结合约束条件由于该实际问题的最大值一定存在，又可能点唯一，因此最大值为从而21