01届 年普通高等学校春季招生考试数学试题及答案.doc

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1、2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷至2页.第卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 集合M=1，2，3，4，5的子集个数是( )(A) 32(B) 31(C) 16(D) 15(2) 函数f (x ) = ax(a 0且a 1)对于任意的实数x，y都有( )(A) f (xy) = f (x) f (y)(B) f (xy) = f (x) + f (y)(C) f

2、 (x + y) = f (x) f (y)(D) f (x + y) = f (x) + f (y)(3) ( )(A) 0(B) 2(C) (D) (4) 函数的反函数是( )(A) y = x21 (1x0)(B) y = x21 (0x1)(C) y = 1x2 (x0)(D) y = 1x2 (0x1)(5) 极坐标系中，圆的圆心的坐标是( )(A) (B) (C) (D) (6) 设动点P在直线x = 1上，O为坐标原点. 以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰RtOPQ，则动点Q的轨迹是( )(A) 圆(B) 两条平行直线(C) 抛物线(D) 双曲线(7) 已知f (x6) = l

3、og2x，那么f (8)等于( )(A) (B) 8(C) 18(D) (8) 若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P(cosBsinA，sinBcosA)在( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(9) 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )(A) 30(B) 45(C) 60(D) 90(10) 若实数a，b满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是( )(A) 18(B) 6(C) (D) (11) 右图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， BM与ED平行 CN与BE是异面直线 CN与BM成60角 DM

4、与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是( )(A) (B) (C) (D) (12) 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足 (n=1，2，12)按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )(A) 5月、6月(B) 6月、7月(C) 7月、8月(D) 8月、9月第卷二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13) 已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_(14) 椭圆x2 + 4y2 = 4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_(15) 已知(

5、、均为锐角)，那么coscoscos的最大值等于_(16) 已知m、n是直线，、是平面，给出下列命题： 若，= m，nm，则n或n； 若，= m，= n，则mn； 若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线； 若= m，nm；且，则n且n.其中正确的命题的序号是_ (注：把你认为正确的命题的序号都填上)三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)设函数，求f ( x )的单调区间，并证明f ( x )在其单调区间上的单调性.(18) (本小题满分12分)已知z7=1(zC且z1).()证明 1 + z + z2 + z3 + z

6、4 + z5 + z6 = 0；()设z的辐角为，求cos+cos2+cos4的值.(19) (本小题满分12分)已知VC是ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在ABC的高CD上.AB = a，VC与AB之间的距离为h，点MVC.()证明MDC是二面角MABC的平面角；()当MDC = CVN时，证明VC平面AMB；()若MDC =CVN =()，求四面体MABC的体积.(20)(本小题满分12分)在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，bn，使这n+2个数成等差数列.记An = a1 a2 a

7、3an，Bn = b1 + b2 + b3 + + bn.()求数列An和Bn的通项；()当n7时，比较An和Bn的大小，并证明你的结论.(21)(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x 0).过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，| AB | 2p.()求a的取值范围；()若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷

8、）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A （2）C （3）D

9、 （4）C （5）A （6）B（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.(13) (14) (15) (16) 三解答题（17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力.满分12分.解：函数的定义域为（，b）（b，+）.f ( x )在（，b）内是减函数，f ( x )在（b，+）内也是减函数. 4分证明f ( x )在（b，+）内是减函数.取x1，x2（b，+），且x1 0，x2x10，（x1+b）(x2+b) 0， f (x1)f (x2) 0，即f (x)在（b，+）内是减函数.

10、 9分同理可证f (x)在（，b）内是减函数. 12分（18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力，满分12分.解：（）由 z（1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6）= z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6+ z7=1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6，得 （z1）（1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6）= 0. 4分因为 z1，z10，所以 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6= 0. 6分（）因为z7= 1.可知 | z | = 1，所以

11、，而z7= 1，所以zz6 = 1，同理，由（）知 z + z2 + z4 + z3 + z5 + z6= 1，即 ，所以的实部为， 8分而z的辐角为时，复数的实部为，所以. 12分（19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力.满分12分.（）证明：由已知，CDAB，VN平面ABC，NCD，平面ABC，VNAB.AB平面VNC. 2分又 V、M、N、D都在VNC所在的平面内，所以，DM与VN必相交，且ABDM，ABCD，MDC为二面角MABC的平面角. 4分（）证明：由已知，MDC = CVN，在VNC与DMC中，NCV = MCD，又

12、VNC = 90， DMC =VNC = 90， 故有DMVC，又ABVC， 6分 VC平面AMB. 8分（）解：由（）、（），MDAB，MDVC，且DAB，MVC， MD = h.又 MDC =.在RtMDC中，CM = htg. 10分V四面体MABC = V三棱锥CABM. 12分（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法.满分12分.解：（） 1，a1，a2，a3，an，2成等比数列， a1an = a2 an1 = a3 an2 = = ak ank+1 = = 12 = 2 ， ， . 4分 1，b1，b2，b3，bn，2成等差数列，

13、 b1 + b2 = 1 + 2 = 3， .所以，数列An的通项，数列Bn的通项. 6分（） ， ，要比较An和Bn的大小，只需比较与的大小，也即比较当n 7时，2n与的大小.当n = 7时，2n = 128，得知，经验证n = 8，n = 9时，均有命题成立.猜想当n 7时有. 用数学归纳法证明. 9分（）当n = 7时，已验证，命题成立.（）假设n = k（k 7）时，命题成立，即，那么 ，又当k 7时，有k2 2k + 1， .这就是说，当n = k + 1时，命题成立.根据（）、（），可知命题对于n 7都成立.故当n 7时，An Bn. 12分（21）本小题主要考查建立函数关系、不等

14、式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：（）由题意得y = 1.2(1+0.75x)1(1 + x) 1000( 1+0.6x )（0 x 1）4分整理得 y = 60x2 + 20x + 200（0 x 1）. 6分（）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即 9分解不等式得.答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 x 0.33. 12分（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力.满分14分.解：（）直线l的方程为y = x a将 y = x a代入y2 = 2px，得 x22 (a + p) x + a2 = 0. 2分设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），则 4分又 y1 = x1a，y2 = x2a， 6分 0 0, .解得 . 8分（）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x3，y3），则由中点坐标公式，得， . 10分 | QM |2 = (a + pa)2+ ( p0 )2 = 2p2，又MNQ为等腰直角三角形， |QN |=|QM|= ，即NAB面积最大值为. 14分