82题突破高中数学导数.pdf

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1、第 1 页 共 87 页 By 北辰陨天 82 题突破高中数学导数 1已知函数( )ln ,f xxax其中 a 为常数，且1a . （）当1a 时，求( )f x在 2 e,e （e=2.718 28）上的值域； （）若( )e 1f x 对任意 2 e,e x恒成立,求实数 a 的取值范围. 2. 已知函数., 1 ln)(Ra x xaxf （I）若曲线)(xfy 在点)1 (, 1 (f处的切线与直线02yx垂直，求 a 的值； （II）求函数)(xf的单调区间； （III）当 a=1，且2x时，证明：. 52) 1(xxf 3. 已知 322 ( )69f xxaxa x（aR） （

2、）求函数( )f x的单调递减区间； （）当0a 时，若对0,3x 有( )4f x 恒成立，求实数a的取值范围 4已知函数).,() 1( 3 1 )( 223 Rbabxaaxxxf （I）若 x=1 为)(xf的极值点，求 a 的值； （II）若)(xfy 的图象在点（1，) 1 (f）处的切线方程为03 yx， （i）求)(xf在区间-2，4上的最大值； （ii）求函数)()2()( )(R memxmxfxG x 的单调区间 5已知函数.ln)( x a xxf （I）当 a0 时，若存在 x 使得( )ln(2 )f xa成立，求a的取值范围. 19.某种商品的成本为 5 元/ 件

3、，开始按 8 元/件销售，销售量为 50 件，为了获得最大利润，商家先后 采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨 1 元每天销售量就减少 10 件；而降 价后，日销售量 Q（件）与实际销售价 x（元）满足关系： 2 39(229107)xx (57)x 1986 5 x x (78)x （1）求总利润（利润销售额成本）y（元）与销售价 x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大. 20.已知函数 2 1 ( ) x g x xc 的图像关于原点成中心对称 ，设函数 2 1 ( ) ( )ln xcx f x g xx (1)求( )f x的单调区

4、间; (2)已知 xm ex对任意(1,)x恒成立求实数m的取值范围(其中e是自然对数的底数) 21.设函数xbxxfln) 1()( 2 ，其中b为常数 （）当 2 1 b 时，判断函数( )f x在定义域上的单调性； （）若函数( )f x的有极值点，求b的取值范围及( )f x的极值点； （）若1b ,试利用（II）求证：n3 时，恒有 2 11 ln1lnnn nn 。 22.已知函数 2 2 1 ( )ln(1), ( ). 1 f xxg xa x （1） 求( )g x在( 2, ( 2)Pg处的切线方程; l （2） 若( )f x的一个极值点到直线l的距离为 1，求a的值；

5、（3） 求方程( )( )f xg x的根的个数. O x y M N P Q 第 5 页 共 87 页 By 北辰陨天 23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能 开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线 2 ( )1(0)f xaxa 的一部分, 栏栅与矩形区域的边界交于点 M、N，交曲线于点 P，设( ,( )P t f t （1）将OMN（O 为坐标原点）的面积S表示成t的函数( )S t； （2）若在 1 2 t 处，( )S t取得最小值，求此时a的值及( )S t的最小值. 24已知定义域为R的函数 1

6、2 ( ) 2 x x b f x a 是奇函数 (1) 求, a b的值； (2)若对任意的tR, 不等式 22 (2 )(2)0f ttftk恒成立, 求k的取值范围. 25已知函数( )f x对任意实数x均有( )(2)f xkf x，其中常数k为负数，且( )f x在区间0,2上 有表达式( )(2)f xx x. （1）求( 1)f ，(2.5)f的值； （2）写出( )f x在3,3上的表达式，并讨论函数( )f x在3,3上的单调性； （3）求出( )f x在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. 26已知函数 3 ( )()f xx xa（0 x，aR） 求函数)

7、(xf的单调区间； 求函数)(xf在1,8上的最大值和最小值 27已知函数 xf为定义在 R 上的奇函数，且当0 x时， xxxxf 2 2 cos2cossin， 求0 x时 xf的表达式； 若关于x的方程 oaxf有解，求实数a的范围。 28已知函数 Nxxfy),(，满足：对任意, a bN，都有)()()(bafbbfaaf)(abf； 对任意nN *都有 ( )3f f nn （）试证明：( )f x为N上的单调增函数； （）求(1)(6)(28)fff； 第 6 页 共 87 页 By 北辰陨天 （）令(3 ), n n afnN，试证明： 12 1111 . 424 n n na

8、aa 29已知函数axxxaxxf 23 ) 1ln()( （）若 3 2 x为)(xfy 的极值点，求实数a的值； （）若)(xfy 在), 1 上为增函数，求实数a的取值范围； （）若1a时，方程 x b xxf 3 )1 ()1 (有实根，求实数b的取值范围 30已知函数Rxxfy),(满足)() 1(xafxf，a是不为0的实常数。 （1）若当10 x时，)1 ()(xxxf，求函数1 , 0),(xxfy的值域； （2）在（1）的条件下，求函数Nnnnxxfy,1,),(的解析式； （3）若当10 x时， x xf3)(，试研究函数yf(x)在区间, 0上是否可能是单调函数？ 若可能

9、，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由。 31已知函数 32 f xxaxbxc 在,0上是减函数，在0,1上是增函数，函数 f x在R 上有三个零点，且 1 是其中一个零点 （1）求b的值； （2）求 2f的取值范围； （3）试探究直线1yx与函数 yf x的图像交点个数的情况，并说明理由 32定义在R上的函babxaxxxf,()( 23 为常数）在 x=1 处取得极值，且)(xf 的图像在 1,1Pf数处的切线平行与直线8yx. （1）求函数 f x的解析式及极值； （2）设0k ，求不等式 f xkx的解集； （3）对任意 112 ,sincos. 27 Rff 求证： 33已知函数

10、)()1ln()(Rxxexf x 有下列性质： “若 ),(, 0 baxbax则存在，使得)( )()( 0 xf ab afbf ”成立。 （1）利用这个性质证明 0 x唯一； 第 7 页 共 87 页 By 北辰陨天 （2）设 A、B、C 是函数)(xf图象上三个不同的点，试判断ABC 的形状，并说明理由。 34已知函数. 1ln)(),()(xxgRaaxxf （1）若函数xxf x xgxh2)( 2 1)()(存在单调递减区间，求 a 的取值范围； （2）当 a0 时，试讨论这两个函数图象的交点个数 35 设函数f(x)的定义域D关于原点对称， 0D， 且存在常数a0， 使f(a

11、)=1， 又 12 12 12 ( )() () 1( ) () f xf x f xx f xf x ， （1）写出 f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件； （2）判断并证明函数 f(x)的奇偶性； （3）若存在正常数 T， 使得等式 f(x)=f(x+T)或者 f(x)=f(x-T)对于 xD 都成立， 则都称 f(x)是周期函数， T 为周期；试问 f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期 T；若不是，则说明理由。 36. 设 对 于 任 意 的 实 数, x y， 函 数( )f x，( )g x满 足 1 (1)( ) 3 f xf x ， 且 (0)3f , ()

12、( )2g xyg xy ，(5)13g， * nN （）求数列 ( )f n和 ( )g n的通项公式； （）设 ( ) 2 n n cgf n ，求数列 n c的前项和 n S ; （）设( )3 n F nSn，存在整数m和M,使得对任意正整数n不等式( )mF nM恒成立,求 Mm 的最小值. 37对于定义在区间 D 上的函数( )f x，若存在闭区间 , a bD和常数c，使得对任意 1 , xa b，都 有 1 ( )f xc，且对任意 2 xD，当 2 , xa b时， 2 ()f xc恒成立，则称函数( )f x为区间 D 上的“平 底型”函数. （）判断函数 1( ) | 1

13、|2|f xxx和 2( ) |2|fxxx 是否为 R 上的“平底型”函数？ 并 说明理由； （）设( )f x是（）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式| |( )tktkkf x 对 一切tR 恒成立，求实数x的取值范围； （）若函数 2 ( )2g xmxxxn是区间 2,)上的“平底型”函数，求m和n的值. . 38设函数 f(x)的定义域为 R，若|f(x)|x|对任意的实数 x 均成立，则称函数 f(x)为函数。 第 8 页 共 87 页 By 北辰陨天 （1）试判断函数)( 1 xf=xxsin )( 2 xf= 1 x x e e 中哪些是函数，并说明理由； （2）求

14、证：若 a1，则函数 f(x)=ln(x 2+a)-lna 是 函数。 39集合 A 是由具备下列性质的函数)(xf组成的： (1) 函数)(xf的定义域是0,)； (2) 函数)(xf的值域是 2,4)； (3) 函数)(xf在0,)上是增函数试分别探究下列两小题： （）判断函数 1( ) 2(0)f xxx，及 2 1 ( )46 ( ) (0) 2 x fxx 是否属于集合 A？并简要说明理由 （）对于（I）中你认为属于集合 A 的函数)(xf，不等式) 1(2)2()(xfxfxf，是否对于任 意的0 x总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论 40 已知( )f x是定义在0

15、,的函数， 满足( )2 (1)f xf x 设,1 n In n，nN 当0,1x 时， 2 ( )f xxx分别求当 1 xI、 2 xI、,1 n xIn n时，( )f x的表达式 1( ) f x、 2( ) fx、 ( ) n fx 41. 已知函数axx a xf( 3 )( 3 R，0a）. （I）求)(xf的单调区间； （II）曲线)( ,()( 33 afaxfy在点）处的切线恒过 y 轴上一个定点，求此定点坐标； （III）若 3 , 0 1 a xa，曲线)(,()( 11 xfxxfy在点处的切线与 x 轴的交点为（0 , 2 x） ，试比 较 21 xx 与的大小，

16、并加以证明. 42. 已知函数 f(x)= 2 1 ln, , 2 2 ax xaR x x ()当 1 2, ) 4 a 时, 求( )f x的最大值; () 设 2 ( ) ( )ln g xf xxx, k是( )g x图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得1k 恒 成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由. 43.已知函数 f（） x x1ln1 (1)求函数的定义域; (2)确定函数 f（）在定义域上的单调性,并证明你的结论； (3)若当时，f（） 1x k 恒成立, 求正整数 k 的最大值。 44. 已知函数( )logaf xx和( )2log (22),(0,

17、1,) a g xxtaatR 的图象在2x 处的切线 第 9 页 共 87 页 By 北辰陨天 互相平行. () 求t的值； （）设)()()(xfxgxF，当1,4x时，( )2F x 恒成立，求a的取值范围. 45. 已知函数b x x xaxf 1 2 ) 1ln()(的图象与直线02 yx相切于点), 0(c。 （1）求a的值； （2）求函数)(xf的单调区间和极小值。 46. 已知函数 3 ( )2f xxax与 2 ( )g xbxcx的图象都过点 P(2，0)，且在点 P 处有公共切线 (1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程； (2)设 ( ) ( )

18、ln(1) 8 mg x F xx x ，其中0m ，求 F(x)的单调区间 47. 已知函数xxf)(，)1ln()(xxg，. 1 )( x x xh （1）证明：当0 x时，恒有);()(xgxf （2）当0 x时，不等式)0()( k xk kx xg恒成立，求实数 k 的取值范围; 48. 已知函数f(x)=x 3bx2cxd有两个极值点x 1=1, x2=2,且直线y=6x1与曲线y=f(x)相切于P点. (1)求 b 和 c 郝进制作 (2)求函数 y=f(x)的解析式; (3)在 d 为整数时, 求过 P 点和 y=f(x)相切于一异于 P 点的直线方程. 49. 已知函数 f

19、(x)=x33ax(aR) (I)当 a=l 时，求 f(x)的极小值； ()若直线菇 x+y+m=0 对任意的 mR 都不是曲线 y=f(x)的切线，求 a 的取值范围； ()设 g(x)=|f(x)|，xl，1，求 g(x)的最大值 F(a)的解析式 50. 已知函数| 1yx， 2 22yxxt， 11 () 2 t yx x (0)x 的最小值恰好是方程 32 0 xaxbxc的三个根，其中01t （）求证： 2 23ab； （）设 1 ( ,)x M， 2 (,)xN是函数 32 ( )f xxaxbxc的两个极值点 若 12 2 | 3 xx，求函数( )f x的解析式；求|MN的

20、取值范围 51.已知函数 f(x)= 3 1 x3+ 2 1 ax2+ax-2(aR), (1)若函数 f(x)在区间(-，+)上为单调增函数，求实数 a 的取值范围； (2)设 A(x1,f(x1)、 B(x2,f(x2)是函数 f(x)的两个极值点， 若直线 AB 的斜率不小于- 6 5 求实数 a 的取值范围. 52. 已 知 函 数),(32)( 23 Rcbacxbxaxxf的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 且 当1x时 ， 3 2 )(取极小值xf （1）求 a，b，c 的值； 第 10 页 共 87 页 By 北辰陨天 （2）当11，x时，图象上是否存在两点，使得在这两点处

21、的切线互相垂直？证明你的结论 53. 对于 x 的三次函数 f（x）= x3 +（m24m + 2）x + m36m2 + 9m1 （）若 f（x）有极值，求 m 的取值范围； （）当 m 在（1）的取值范围内变化时，求 f（x）的极大值和极小值之和 g（m） ，并求 g（m） 的最大值和最小值 54. 已知函数. 36)2( 2 3 )( 23 xxaaxxf （I）当 a 2 时，求 f(x)的极小值； （II）讨论方程 f(x) = 0 的根的个数. 55. 设函数) 1)()(1()(aaxxxxf （1）求导数)( xf，并证明)(xf有两个不同的极值点； （2）若对于（1）中的 2

22、1 xx 、不等式0)()( 21 xfxf 成立，求a的取值范围。 56. 已知Rt ，函数. 2 1 )( 3 txxxf （）当 t=1 时，求函数)(xfy 在区间0，2的最值； （）若)(xf在区间2，2上是单调函数，求 t 的取值范围； （） ）是否存在常数 t，使得任意6| )(|2 , 2xfx都有恒成立，若存在，请求出 t，若不存在 请说明理由. 57. 设x1、)0()()( 223 212 axabxaxxfxxx是函数 的两个极值点. （1）若2, 1 21 xx，求函数f(x)的解析式； （2）若bxx求,22| 21 的最大值； （3）若)()()(, 1221 x

23、xaxfxgaxxxx函数且，求证： .)23( 12 1 | )(| 2 aaxg 58. 已 知 函 数1163)( 23 axxaxxf，1263)( 2 xxxg， 和 直 线9: kxym， 又 0) 1( f （）求a的值； （）是否存在k的值，使直线m既是曲线)(xfy 的切线，又是)(xgy 的切线；如果存在，求出 k的值；如果不存在,说明理由 （）如果对于所有2x的x,都有)(9)(xgkxxf成立，求k的取值范围 59. 设函数 32 ( )f xxaxbx(0)x 的图象与直线4y 相切于(1,4)M （）求 32 ( )f xxaxbx在区间(0,4上的最大值与最小值；

24、 第 11 页 共 87 页 By 北辰陨天 （） 是否存在两个不等正数, s t()st， 当 , xs t时， 函数 32 ( )f xxaxbx的值域也是 , s t， 若存在，求出所有这样的正数, s t；若不存在，请说明理由； （）设存在两个不等正数, s t()st，当 , xs t时，函数 32 ( )f xxaxbx的值域是,ks kt， 求正数k的取值范围 60. 已知函数 f(x)x4ax3bx2c，在 y 轴上的截距为5，在区间0，1上单调递增，在1，2上单调 递减，又当 x0，x2 时取得极小值 （）求函数 f(x)的解析式； （）能否找到函数 f(x)垂直于 x 轴的

25、对称轴,并证明你的结论; （） 设使关于 x 的方程 f(x)2x25 恰有三个不同实根的实数 的取值范围为集合 A,且两个非零实根 为 x1、x2试问：是否存在实数 m，使得不等式 m2tm2|x1x2|对任意 t3，3, A 恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 61. 已知 f(x)=x3+bx2+cx+2. ()若 f(x)在 x=1 时，有极值-1，求 b、c 的值； ()当 b 为非零实数时，证明 f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0 平行的切线； ()记函数|f(x)|(-1x1)的最大值为 M，求证：M 2 3 . 62. 设函数( )|1|

26、1|f xxax，已知( 1)(1)ff ，且 11 ()( )ff aa （aR，且 a0） ， 函数 32 ( )g xaxbxcx（bR，c 为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两 点 A、B 与坐标原点 O 在同一直线上。 （1）试求 a、b 的值； （2）若0 x 时，函数( )g x的图象恒在函数( )f x图象的下方，求正整数c的值。 63. 已知函数 32 ( )38f xxbxcx和 32 ( )g xxbxcx（其中 3 0 2 b） ，( )( )5 ( )F xf xg x， (1)( )0fg m （1）求m的取值范围； （2）方程( )0F x 有

27、几个实根？为什么？ 64. 已知函数 f(x)= 32 (Rxbxcxd bcd， ，且都为常数)的导函数为 f(x)=3xx4 2 ， 且 f(1)=7，设 F(x)=f(x)-ax 2 (aR). ()当 a0） ，设曲线 C1在点 A、B 之间的曲线段与线 段 OA、OB 所围成图形的面积为 S，求 S 的值。 （2）当);,(),(,*,xyFyxFyxNyx证明时且 （3）令函数)1(log, 1 ()( 23 2 bxaxxFxg的图象为曲线 C2，若存在实数 b 使得曲线 C2在 第 13 页 共 87 页 By 北辰陨天 ) 14( 00 xx处有斜率为8 的切线，求实数 a

28、的取值范围。 71. （1）求证：当1a 时，不等式 2 (1) 2 x n ax e ex对于nR恒成立 . （2）对于在（0,1）中的任一个常数a，问是否存在 0 0 x 使得 0 0 2 0 0 1 2 x x ax e ex 成立？ 如果存在，求出符合条件的一个 0 x；否则说明理由。 72. 把函数2lnxy的图象按向量)2 , 1(a平移得到函数)(xf的图象。 （1）若0 x证明： 2 2 )( x x xf。 （2）若不等式32)( 2 1 222 bmmxfx对于 1 , 1x及 1 , 1b恒成立，求实数m的取值范围。 73. 已知函数| 1yx， 2 22yxxt， 11

29、 () 2 t yx x (0)x 的最小值恰好是方程 32 0 xaxbxc的三个根，其中01t （1）求证： 2 23ab； （2）设 1 (,)x M， 2 (,)xN是函数 32 ( )f xxaxbxc的两个极值点 若 12 2 | 3 xx，求函数( )f x的解析式； 求|MN的取值范围 74. 已知函数 bx ax xf 2 )(，在1x处取得极值为 2。 （）求函数)(xf的解析式； （）若函数)(xf在区间（m，2m1）上为增函数，求实数 m 的取值范围； （）若 P（x0，y0）为 bx ax xf 2 )(图象上的任意一点，直线l与 bx ax xf 2 )(的图象相切

30、于点 P， 求直线l的斜率的取值范围. 75. 已知：在函数xmxxf 3 )(的图象上，以), 1 (nN为切点的切线的倾斜角为 4 （）求m，n的值； （） 是否存在最小的正整数k， 使得不等式1993)( kxf对于3, 1x恒成立？如果存在， 请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由； （）求证：) 2 1 (2| )(cos)(sin| t tfxfxf（Rx，0t） 76. 设 M 是由满足下列条件的函数)(xf构成的集合： “方程)(xf0 x有实数根； 函数)(xf的导数)(x f 满足1)(0 xf.” （I）判断函数 4 sin 2 )( xx xf是否是集合 M 中的

31、元素，并说明理由； 第 14 页 共 87 页 By 北辰陨天 （II）集合 M 中的元素)(xf具有下面的性质：若)(xf的定义域为 D，则对于任意 m，nD，都存在 0 xm，n，使得等式)()()()( 0 xfmnmfnf成立” ， 试用这一性质证明：方程0)( xxf只有一个实数根； （III）设 1 x是方程0)( xxf的实数根，求证：对于)(xf定义域中任意的 2| )()(| ,1|, 1|, 23131232 xfxfxxxxxx时且当. 77. 若函数 22 ( )()() x f xxaxb exR 在1x 处取得极值. （I）求a与b的关系式（用a表示b） ，并求(

32、)f x的单调区间； （II）是否存在实数m，使得对任意(0,1)a及 12 ,0,2x x 总有 12 |()()|f xf x 21 (2)1mam e恒成立，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由 78. 已知二次函数 2 ( )f xaxbxc，直线 1: 2lx ，直线 2 2: 8lytt （其中02t ，t为 常数） ；.若直线l1、l2与函数 f x的图象以及 2 l、y轴与函数 f x的图象所围成的封闭图形如图阴 影所示. （）求a、b、c的值； （）求阴影面积S关于t的函数 S t的解析式； （）若,ln6)(mxxg问是否存在实数m，使得 yf x的图象与 yg x的

33、图象有且只有两 个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 79. 已知函数 2 3 )( a x xf图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 5 102 ，f(x)的导数为)( xf，函数 3 )( )()( x xbf xfxg。 （1）若函数 g(x)在 x=1 有极值，求 g(x)的解析式； （2）若函数 g(x)在-1,1是增函数，且)(4 2 xgmbb在-1,1上都成立，求实数 m 的取值 范围。 80. 设关于x的方程01 2 mxx有两个实根、，且。定义函数 . 1 2 )( 2 x mx xf （I）求)(f的值； （II）判断),()(在区间xf上单调性，并加

34、以证明； 第 15 页 共 87 页 By 北辰陨天 （III）若,为正实数，试比较)(),(),( fff 的大小； 证明. | )()(| ff 81. 设直线 )(:),(:xFySxgyl曲线 . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件： 直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点； 对任意 xR 都有 )()(xFxg . 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” （1）已知函数 ( )2sinf xxx 求证： 2yx 为曲线 ( )f x 的“上夹线” （2）观察下图： 根据上图，试推测曲线 )0(sin:nxnmxyS 的“上夹线”的方程，并给出证明 82. 若存在实常数k

35、和b， 使得函数( )f x和( )g x对其定义域上的任意实数x分别满足：( )f xkxb和 ( )g xkxb， 则称直线: lykxb为( )f x和( )g x的 “隔离直线” 已知 2 ( )h xx，( )2 lnxex（其 中e为自然对数的底数） ()求( )( )( )F xh xx的极值； () 函数( )h x和( )x是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理 由 第 16 页 共 87 页 By 北辰陨天 答案及解析 1.解： （）当1a 时，( )ln ,f xxx 得 1 ( )1,fx x 2 分 令( )0fx，即 1 10 x ，解得1

36、x ，所以函数( )f x在(1,)上为增函数， 据此，函数( )f x在 2 e,e 上为增函数， 4 分 而(e)e 1f ， 22 (e )e2f，所以函数( )f x在 2 e,e 上的值域为 2 e 1,e2 6 分 （）由( )1, a fx x 令( )0fx，得10, a x 即,xa 当(0,)xa时，( )0fx，函数( )f x在(0,)a上单调递减； 当(,)xa 时，( )0fx，函数( )f x在(,)a上单调递增； 7 分 若1ea ，即e1a ，易得函数( )f x在 2 e,e 上为增函数， 此时， 2 max ( )(e )f xf，要使( )e 1f x

37、对 2 e,e x恒成立，只需 2 (e )e 1f 即可， 所以有 2 e2e 1a ，即 2 ee 1 2 a 而 22 ee 1(e3e 1) ( e)0 22 ，即 2 ee 1 e 2 ，所以此时无解. 8 分 若 2 eea ，即 2 eea ，易知函数( )f x在e,a上为减函数，在 2 ,e a上为增函数， 要使( )e 1f x 对 2 e,e x恒成立，只需 2 (e)e 1 (e )e 1 f f ，即 2 1 ee 1 2 a a ， 由 22 ee 1ee 1 ( 1)0 22 和 22 2 ee 1ee 1 ( e )0 22 得 2 2 ee 1 e 2 a .

38、 10 分 若 2 ea ，即 2 ea ，易得函数( )f x在 2 e,e 上为减函数， 此时， max ( )(e)f xf，要使( )e 1f x 对 2 e,e x恒成立，只需(e)e 1f 即可， 所以有ee 1a ，即1a ，又因为 2 ea ，所以 2 ea . 12 分 综合上述，实数 a 的取值范围是 2 ee 1 (, 2 . 13 分 2. 解： （I）函数0|)(xxxf的定义域为， 第 17 页 共 87 页 By 北辰陨天 . 1 )( 2 xx a xf2 分 又曲线)1 (, 1 ()(fxfy在点处的切线与直线02yx垂直， 所以. 21) 1 (af 即

39、a=1.4 分来源:学科网来源:学_科_网 Z_X_X_K （II）由于. 1 )( 2 x ax xf 当0a时，对于0)(), 0(xfx有在定义域上恒成立， 即), 0()(在xf上是增函数. 当)., 0( 1 , 0)(,0 a xxfa得由时 当)(, 0)(,) 1 , 0(xfxf a x时单调递增； 当)(, 0)(,), 1 (xfxf a x时单调递减.8 分 （III）当 a=1 时，)., 2, 1 1 ) 1ln() 1( x x xxf 令. 52 1 1 ) 1ln()( x x xxg . ) 1( )2)(12( 2 ) 1( 1 1 1 )( 22 x x

40、x xx xg10 分 当), 2()(, 0)(,2在时xgxxgx单调递减. 又. 0)(,)(, 0)2(xgxgg时所以 即. 052 1 1 ) 1ln( x x x 故当 a=1，且52) 1(,2xxfx时成立.13 分 3 解： （） 22 ( )31293()(3 )0fxxaxaxa xa （1）当3aa，即0a 时， 2 ( )30fxx，不成立 （2）当3aa，即0a 时，单调减区间为(3 , )a a （3）当3aa，即0a 时，单调减区间为( ,3 )aa-5 分 （） 22 ( )31293()(3 )fxxaxaxa xa， ( )f x在(0, )a上递增，在

41、( ,3 )aa上递减，在(3 ,)a 上递增 （1）当3a 时，函数( )f x在0,3上递增， 第 18 页 共 87 页 By 北辰陨天 所以函数( )f x在0,3上的最大值是(3)f， 若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有 (3)4, 3, f a 解得a （2）当13a时，有33aa，此时函数( )f x在0, a上递增，在 ,3a上递减，所以函 数( )f x在0,3上的最大值是( )f a， 若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有 ( )4, 13, f a a 解得1a （3）当1a 时，有33a，此时函数( )f x在 ,3 aa上递减，在3 ,3a上递增

42、， 所以函数( )f x在0,3上的最大值是( )f a或者是(3)f 由 2 ( )(3)(3) (43)f afaa， 3 0 4 a时，( )(3)f af， 若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有 (3)4, 3 0, 4 f a 解得 2 3 3 1, 94 a 3 1 4 a时，( )(3)f af， 若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有 ( )4, 3 1, 4 f a a 解得 3 ( ,1) 4 a 综上所述， 2 3 1,1 9 a -14 分 4解： （1）. 12)( 22 aaxxxf 1x是极值点 0) 1 ( f，即02 2 aa 0 x或2.3

43、 分 （2）)1 (, 1 (f在03 yx上. 2) 1 ( f （1，2）在)(xfy 上 baa1 3 1 2 2 又11211) 1 ( 2 aakf 第 19 页 共 87 页 By 北辰陨天 3 8 , 1012 2 baaa .2)(, 3 8 3 1 )( 222 xxxfxxxf （i）由0)( x f可知 x=0 和 x=2 是)(xf的极值点.来源:Zxxk.Com , 8)4(, 4)2(, 3 4 )2(, 3 8 )0(ffff )(xf在区间2，4上的最大值为 8.8 分 （ii） x emmxxxG )()( 2 )2()()2()( 22 xmxemmxxee

44、mxxG xxx 令0)( x G，得mxx2, 0 当 m=2 时，0)( x G，此时)(xG在),(单调递减 当2m时： x (，2， m) 2m （2m，0） 0 （0，+） G （x） 0 + 0 G（x） 减 增 减 当时 G（x）在（，2，m） ， （0，+）单调递减，在（2m，0）单调递增. 当2m时： x （，0） 0 （0，2m） 2m （2m+） G （x） 0 + 0 G（x） 减 增 减 此时 G（x）在（，0） ， （2m+）单调递减，在（0，2m）单调递增，综上所述：当 m=2 时，G（x）在（，+）单调递减； 2m 时，G（x）在（，2m） ， （0，+）单调递

45、减，在（2m，0）单调递增； 2m 时，G（x）在（，0） ， （2m，+）单调递减，在（0，2m）单调递增. 5解：函数 x a xxf ln)(的定义域为), 0( 1 分 22 1 )( x ax x a x xf 3 分 （1）. 0)( , 0 xfa 故函数在其定义域), 0( 上是单调递增的. 5 分 （II）在1，e上，发如下情况讨论： 第 20 页 共 87 页 By 北辰陨天 当 ae 时，显然函数, 1 )(exf在上单调递减， 其最小值为, 21)( e a ef 仍与最小值是 2 3 相矛盾； 12 分 综上所述，a 的值为. e 13 分 6 （I）解： 22 (

46、)2(1).fxmxaxb 3 分 （II）因为函数( )f x是 R 上的增函数， 所以( )0fx在 R 上恒成立， 则有 2222 44(1)0,1.abab 即 设 cos , (,01). sin ar r br 为参数 第 21 页 共 87 页 By 北辰陨天 则) 4 sin(2)sin(cos rrbaz 当, 1) 4 sin( 且 r=1 时，baz取得最小值2. （可用圆面的几何意义解得baz的最小值2）8 分 （）当0m时12)( 2 xmxmf是开口向上的抛物线，显然)(x f 在（2，+）上存在 子区间使得0)( x f，所以 m 的取值范围是（0，+）. 当 m=0 时，显然成立. 当0m时，12)( 2 xmxmf是开口向下的抛物线，要使)(x f 在（2，+）上存在子区 间使0)( x f，应满足 , 0) 1 ( , 2 1 0 m f m m 或 . 0)2( , 2 1 , 0 f m m 解得, 0 2 1 m或 2 1 4 3 m，所以 m 的取值范围是).0 , 4 3 ( 则 m 的取值范围是)., 4 3 (13 分 7解： （1）当2p 时， 函数 2 ( )22ln ,(1)222ln10f xxx f x 2 22 ( )2f x xx