（全国Ⅲ卷）2017-2020年高考理科数学全国卷3试卷试题真题及答案.pdf

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1、数学试卷第 1页（共 76页）数学试卷第 2页（共 76页） 绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 22 ( , )1Ax yxy，( , )Bx yyx，则AB中元素的个数() A.3B.2C.1D.0 2.设复数z满足1i z2i，则z () A. 1 2 B. 2 2 C.2D.2 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月 至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：

2、万人）的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是() A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月份 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4. 5 +y2yxx 的展开式中 33 yx的系数为() A.80B.40C.40D.80 5.已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 00ab，的一条渐近线方程为 5 2 yx,且与椭圆 22 1 123 xy 有公共焦点，则C的方程为() A. 22 1 810 xy B. 22 1 45 xy C. 22 1 54 x

3、y D. 22 1 43 xy 6.设函数 3 cos f xx，则下列结论错误的是() A. f x的一个周期为2 B. f x的图像关于直线 8 = 3 x对称 C.f x的一个零点为 6 x D. f x在( 2 ,)单调递减 7.执行下面的程序框图， 为使输出S的值小于 91， 则输入的正整数N的最小值为() A.5B.4C.3D.2 8.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为() A.B. 3 4 C. 2 D. 4 9.等差数列 n a的首项为 1，公差不为 0.若 236 a a a,成等比数列，则 n a前 6 项的和为 ()

4、A.24B.3C.3D.8 10.已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab 0ab的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，且以线段 12 A A为 直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为() 毕业学校_姓名_考生号_ _ 数学试卷第 3页（共 76页）数学试卷第 4页（共 76页） A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 11.已知函数 211 ( )2(ee) xx f xxxa有唯一零点，则a () A. 1 2 B. 1 3 C. 1 2 D.1 12.在矩形ABCD中，12ABAD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 AP= AB+ AD ，则的最大

5、值为() A.3B.22C.5D.2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若x，y满足约束条件 y0, 20, 0, x xy y 则z34xy的最小值为. 14.设等比数列 n a满足 1213 1,3aaaa ，则 4= a. 15.设函数 1,0, ( ) 2 ,0, x xx f x x 则满足 1 ( )()1 2 f xf x的x的取值范围是. 16.a b，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与 a b，都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； 当直线AB与a

6、成60角时，AB与b成60角； 直线AB与a所成角的最小值为45； 直线AB与a所成角的最大值为60. 其中正确的是.（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） ABC的 内 角A B C， ，的 对 边 分 别 为a b c， 已 知sin3cos0AA， =2 7a,2b . （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积. 18.（12 分） 某超市计划按月订购一种酸奶，

7、每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20， 需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温 数据，得下面的频数分布表： 最 高 气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40） 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这

8、种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天 的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19.（12 分） 如 图 ， 四 面 体ABCD中 ，ABC是 正 三 角 形 ，ACD是 直 角 三 角 形 ， .ABDCBD ABBD， （1）证明：平面ACD 平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两 数学试卷第 5页（共 76页）数学试卷第 6页（共 76页） 部分，求二面角DAEC的余弦值. 20.（12 分） 已知抛物线 C： 2 2yx，过点（2，0）

9、的直线l交C与,A B两点，圆M是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程. 21.（12 分） 已知函数1(n)l fxaxx. （1）若( )0f x ，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n， 2 111 1+1+1+ 222n m ，求m的最 小值. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 2+ , , xt ykt （t为参数），直线 2 l的参

10、数方 程为 2, , xm m y k （m为参数）.设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线 C. （1）写出C的普通方程； （ 2 ） 以 坐 标 原 点 为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设 3 l： cossi2=0n，M为 3 l与C的交点，求M的极径. 23.选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数12fxxx（）. （1）求不等式1fx （）的解集； （2）若不等式 2 fxxxm（）的解集非空，求m的取值范围. -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ _ 数学试卷第 7页（共 76页）数学试卷第

11、 8页（共 76页） 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学答案解析 1 【答案】B 【解析】 A 表示圆 22 1xy上的点的集合， B 表示直线yx上的点的集合， 直线yx 与圆 22 1xy有两个交点，所以AB中元素的个数为 2. 2.【答案】C 【解析】 2i 1 i2i zi 1 i 1 i1 i 1 i ，所以z2. 3.【答案】A 【解析】根据折线图可知，2014 年 8 月到 9 月、2014 年 10 月到 11 月等月接待游客量都 是减少，所以 A 错误. 4 【答案】C 【解析】当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含 23 x y的项，即 23 3

12、 5 2Cxy， 当第一个括号内取 y 时，第二个括号内要取含 32 x y的项，即 32 2 5 2Cxy，所 以 33 x y的系数为 2332 55 22108440CC. 5 【答案】B 【解析】 根据双曲线 C 的渐近线方程为 5 2 yx， 可知 5 2 b a ， 又椭圆 22 1 123 xy 的焦点坐标为 （3， 0） 和 （3， 0） ,所以 22 9ab， 根据可知 22 4,5ab, 所以选 B. 6 【答案】D 【解析】根据函数解析式可知函数 fx的最小正周期为2,所以函数的一个周期为 2，A 正确；当 8 ,3 33 xx，所以 cos1 3 x，所以 B 正确；

13、4 coscos 33 f xxx，当 6 x时， 43 32 x，所以 0f x，所以 C 正确；函数 cos 3 f xx在（ 2 ， 2 3 ）上单调递 减； （ 2 3 ，）上单调递增，故 D 不正确.所以选 D. 7 【答案】D 【解析】 0 100100102,100 91100 1090,13SMtSMt ， ；，,90 91，输出S，此时，3t 不满足tN，所以输入的正整数N的最小值为 2，故选 D. 8 【答案】B 【 解 析 】 设 圆 柱 的 底 面 半 径 为r， 则 2 22 13 =1= 24 r ， 所 以 ， 圆 柱 的 体 积 33 = 1= 44 V，故选

14、B. 9 【答案】A 【解析】设等差数列 n a的公差为d，因为 236 ,a a a成等比数列，所以 2 263 a aa，即 2 111 52adadad， 又 1 1a ， 所以 2 20dd， 又0,d 则2d ， 所以 61 59aad ，所以 n a的前 6 项的和 6 1 9 624 2 S ，故选 A. 10 【答案】A 以线段 12 A A为直径的圆的方程为 222 xya，由原点到直线20bxayab的距离 22 2 ab da ba ，得 22 3ab，所以 C 的离心率 2 2 6 1 3 b e a . 11 【答案】C 【解析】由 211 2 xx fxxxa ee

15、 ，得 2 2121211211 222 24422 xxxxxx fxxxa eexxxa eexxa ee ， 所以 2fxfx， 即1x 为 fx图像的对称轴.由题意 fx有唯一零点， 所以 fx的零点只能为1x ，即 21 11 1 112 10fa ee ，解得 1 2 a .故选 C. 12 【答案】A 【解析】以 A 为坐标原点，ABAD，所在直线分别为 x，y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，则 A（0，0） ，B（1，0） ，C（1，2） ，D（0，2） ，可得直线BD的方程为 数学试卷第 9页（共 76页）数学试卷第 10页（共 76页） 220 xy，点 C 到直线BD

16、的距离为 22 22 5 12 ，圆 C： 224 12 5 xy， 因为P在圆 C 上， 所以 P （ 2 5 1cos 5 ， 2 5 2sin 5 ） (1,0)AB ，(0,2)AD ，( ,2 )APABAD ，所以 2 5 1cos 5 2 5 2sin2 5 2 55 2cossin2 sin3 55 ，tan2， 选 A. 13 【答案】1 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线:340lxy，平 移直线l，当直线34zxy经过点A（1，1）时，z取得最小值，最小值为 341 . 14 【答案】8 【 解 析 】 设 等 比 数 列 n a的 公 比 为q

17、， 则 121(1 )1aaaq ， 2 131(1 )3aaaq ，两式相除，得 2 11 13 q q ，解得 1 2,1qa ，所以 3 41 8a a q . 15 【答案】 1 （-， + ） 4 【解析】当0 x ，( )=21 x f x恒成立，当 1 0 2 x ，即 1 2 x 时， 1 2 1 ()=21 2 x f x ， 当 1 0 2 x， 即 1 0 2 x 时， 111 ()= 222 f xx ， 则不等式 1 ( )() 1 2 f xf x恒 成立.当0 x 时， 113 ( )()121 222 f xf xxxx， 所以 1 0 4 x.综上所 述，x的

18、取值范围是（ 1 4 ，）. 16 【答案】 【解析】由题意知，, ,a b AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示 正方体的棱长为 1， 则1,2ACAB， 斜边AB以直线AC为旋转轴旋转， 则A 点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，l为半径的圆. 数学试卷第 11页（共 76页）数学试卷第 12页（共 76页） 以C为坐标原点， 以CD 的方向为x轴正方向，CB 方向为y轴正方向，CA 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系. 则D（1，0，0） ，A（0，0，1） ， 直线a的单位方向向量(0,1,0),1.aa B点起始坐标为（0，1，0） ， 直线b的单位方向向量

19、b(1,0,0),1.b 设B点在运动过程中的坐标B(cos ,sin ,0)， 其中为CB 与CD 的夹角，0,2 ). 那么AB在运动过程中的向量(cos ,sin , 1),2ABAB . 设直线AB与a所成的夹角为0,2 , (cos ,sin , 1) (0,1,0)22 cossin0, 22 a AB 故, 4 2 所以正确，错误. 设直线AB与b所成的夹角为，则0,2 , b cos AB b AB (cos ,sin , 1) (1,0,0) b AB 2 =cos. 2 当AB与a成60角时，= 3 ， 12 sin= 2cos= 2cos= 2=. 322 因为 22 s

20、in+cos=1, 所以 2 cos=. 2 所以 21 cos=cos=. 22 因为0,2 , 所以= 3 ，此时AB与b成60角. 所以正确，错误. 三、解答题 17.【答案】解： （1）由已知得tan3 A，所以 2 3 A=. 在ABC中，由余弦定理得 2 2 2844 cos 3 cc，即 2+2 24=0cc. 解得c6 ，（舍去） ，c=4 （2）由题设可得 = 2 C A D，所以 6 BADBACCAD. 故ABD面积与ACD面积的比值为 1 sin 26 1 1 2 AB AD AC AD 又ABC的面积为 1 42sin23 2 BAC，所以 ABD的面积为3. 【解析

21、】 （1） ）先求出角A,再根据余弦定理求出c即可； （2）根据ABD，ACD， ABC的面积之间的关系求解即可. 18.【答案】解： （ 1 ） 由 题 意 知 ，X所 有 的 可 能 取 值 为 200,300,500 ， 由 表 格 数 据 知 216 2000.2 90 P X ， 数学试卷第 13页（共 76页）数学试卷第 14页（共 76页） 36 3000.4 90 P X ， 2574 5000.4 90 P X . 因此X的分布列为 X200300500 P 0.20.40.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 200500n 当3

22、00500n时， 若最高气温不低于25，则642Ynnn； 若最高气温位于区间 20，,25 ，则6 3002300412002 ;Ynnn（） 若最高气温低于20，则6 200220048002 ;Ynnn（） 因此20.4120020.480020.26400.4 .EYnnnn（） 当200300n 时， 若最高气温不低于20，则642 ;Ynnn 若最高气温低于20，则6 200220048002 ;Ynnn（） 因此 20.40.480020.2160 1.2 .EYnnn 所以300n 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元. 【解析】 （1）根据表格提供的数据进行分类求解即

23、可； （2)根据分布列得到关于利润的 函数表达式，进而求解最值. 19.解： （1）由题设可得，,ABDCBD 从而ADDC. 又ACD是直角三角形，所以 0 =90ACD. 取AC的中点O，连接,DO BO则,.DOAC DOAO 又由于ABC是正三角形，故BOAC. 所以DOB为二面角DACB的平面角. 在Rt AOB中， 222 BOAOAB. 又ABBD，所以 222222 BODOBOAOABBD，故 0 DOB=90. 所以平面ACD 平面ABC. （2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA 的方向为x轴 正 方 向 ， OA 为 单 位 长 ， 建 立

24、 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系O xyz - ， 则 (1， 0， 0), (0，3， 0), ( 1， 0， 0), (0， 0， 1)ABCD . 由题设知， 四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的 1 2 ， 从而E到平面ABC的距 离为D到平面ABC的距离的 1 2 ，即E为DB的中点，得 3 1 0 22 E ，故 3 1 1， 0， 1 ，2， 0， 0 ，1， 22 ADACAE 设= x,y,zn是平面DAE的法向量，则 0 0 AD AE ， ， n n 即 0 31 0 22 xz xyz. ， 可取 3 11 3 =, n. 设m是平面AEC的法向

25、量，则 0， 0， AC AE m m 同理可得 013,m. 则 7 7 cos, n m n m n m . 所以二面角DAEC的余弦值为 7 7 . 数学试卷第 15页（共 76页）数学试卷第 16页（共 76页） 【解析】 （1）通过题目中的边角关系证明线线垂直，进而得二面角DACB的平面 角为DOB，最后利用勾股定理的逆定理得 90DOB，从而得证； （2）根据 （1）中得到的垂直关系，建立空间直角坐标系计算即可. 20.【答案】 解： （1）设 1122 2A x ,y,B x ,y,l : xmy. 由 2 2 2 xmy yx ， 可得 2 12 240 则4ymy,y y .

26、 又 22 12 12 = 22 yy x,x,故 2 12 12= =4 4 y y x x. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 12 12 4 = 1 4 yy xx ，所以OAOB. 故坐标原点O在圆M上. （2）由（1）可得 2 121212 +=2+=+4=24yym,xxm yym . 故圆心M的坐标为 2+2， mm，圆M的半径 2 22 2rmm. 由于圆M过点42P（， ），因此0AP BP ,故 1212 44220 xxyy， 即 12121212 4+2200 x xxxy yyy 由（1）可得 1212 =-4，=4y yx x， 所以 2 210mm ，解得 1 1

27、或 2 mm . 当1m时， 直线l的方程为20 xy， 圆心M的坐标为 （3， 1） ， 圆M的半径为10， 圆M的方程为 22 3110 xy. 当 1 2 m 时，直线l的方程为240 xy，圆心M的坐标为 91 ， - 42 ，圆M的半 径为 85 4 ，圆M的方程为 22 9185 + 4216 xy . 【解析】 （1）设出l的方程，通过联立方程，证明直线OA与OB的斜率之积为1即可； （2）根据（1）的结论及P点的坐标即可求解直线与圆的方程. 21.【答案】解： （1） fx的定义域为0， +. 若0a ，因为 11 =-+20 22 faln ，所以不满足题意； 若0a， 由

28、1 axa f x xx 知， 当 0 x,a 时， 0f x； 当， +xa时， 0f x ，所以 fx在0,a单调递减，在， +a 单调递增，故xa是 fx 在0， +x的唯一最小值点. 由于 10f，所以当且仅当1a 时， 0fx . 故1a . （2）由（1）知当1， +x时，10 xlnx . 令 1 =1+ 2n x得 11 1+ 22 nn ln ，从而 22 1111111 1+1+1+ +=1-1 2222222 nnn lnlnln 故 2 111 1+1+1+ 222 n e 而 23 111 1+1+1+2 222 ，所以m的最小值为 3. 【解析】 （1）通过求函数的

29、导数，对函数的单调性进行研究，求解函数最小值点即可； 数学试卷第 17页（共 76页）数学试卷第 18页（共 76页） （2)将问题转化为“和”式不等式，根据数列求和公式求解即可. 22.【答案】 （1）消去参数t得 1 l的普通方程 1 2l : yk x；消去参数m得 2 l的普通方 程 2 1 2l : yx k . 设,P x y（）,由题设得 2 1 2 yk x yx k ，消去 k 得 22 40 xyy. 所以C的普通方程为 22 40 xyy. （2）C的极坐标方程为 222 cossin4 02 ,rqqqq. 联立 222 cossin4 cos+sin- 2=0 rqq

30、 rqq 得cossin=2 cos+sinqqqq. 故 1 tan 3 q，从而 22 91 cos=，sin= 1010 qq. 代入 222 cos-sin=4rqq得 2=5 r，所以交点M的极径为5. 【解析】 （1）先将两条直线的参数方程化为普通方程，联立，消去k即可得所求曲线C 的普通方程； （2）先将（1）中求得的曲线C的普通方程化为极坐标方程，再与 3 l的 极坐标方程联立，求出M的极径即可. 23.【答案】解： （1） 31 2112 32 ,x fxx,x ,x. ， ， 当 1x时， 1fx 无解； 当12x 时，由 1fx 得，211x ，解得12x 当2x时，由

31、1fx 解得2x. 所以 1fx 的解集为 1x x . （2）由 2 fxxxm得 2 12mxxxx，而 22 2 12+1+2 35 =+ 24 5 4 xxxxxxxx x , 且当 3 2 x 时， 2 5 12= 4 xxxx. 故m的取值范围为 5 - ， 4 . 【解析】 （1）直接分段讨论即可解决问题； （2）先分离出参数m，再将问题转化为最值问题，进而求解参数的取值范围. 数学试卷第 19页（共 76页）数学试卷第 20页（共 76页） 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 理科数学 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第卷(选择

32、题共 60 分) 一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 1 0Ax x , 0,1,2B ,则 AB () A.0B.1C.1,2D.0,1,2 2.( )(1i 2i) () A. 3i B. 3i C.3 i D.3 i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图 中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() ABCD 4.若 1 sin 3 ,则cos2 () A. 8 9 B.

33、 7 9 C. 7 9 D. 8 9 5. 25 2 ()x x 的展开式中 4 x 的系数为() A.10B.20C.40D.80 6.直线 2=0 xy 分别与 x轴,y 交于A,B两点,点 P 在圆 22 (2)=2xy 上,则 ABP 面积的取值范围是() A.2,6 B.4,8C. 2,3 2 D 2 2,3 2 7.函数 42 2yxx 的图象大致为() AB CD 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX , () 6(4)P XP X ,则 p () A.0.7B.0.6C.0.4

34、D.0.3 9. ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 ABC 的面积为 222 4 abc ,则 C () A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 21页（共 76页）数学试卷第 22页（共 76页） 10.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点, ABC 为等边三角形且其面 积为9 3,则三棱锥D ABC 体积的最大值为() A.12 3B.18 3C.24 3D.54 3 11.设 1 F , 2 F 是双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点,O是坐标原点.过 2 F 作C 的一条渐

35、近线的垂线,垂足为P.若 1 |6 |PFOP ,则C的离心率为() A. 5 B.2C. 3 D. 2 12.设 0.2 log0.3a , 2 log 0.3b ,则() A. 0abab B.ab ab0 C. 0abab D. 0abab 第卷(非选择题共 90 分) 二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 2)(1,a , )2(2,b , ),(1c .若 2()cab ,则 = . 14.曲线 )e(1 x yax 在点(0,1)处的切线的斜率为 2 ,则a . 15 函数 ( )cos(3) 6 f xx 在0,的零点个数为. 16.已知点

36、 1()1,M 和抛物线C： 4yx ,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B 两点.若 90AMB ,则k . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题：共 60 分. 17.(12 分) 等比数列 n a 中, 1 1a , 53 4aa . (1)求 n a 的通项公式； (2)记 n S 为 n a 的前n项和.若 63 m S ,求m. 18.(12 分) 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生 产方式.为比

37、较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生 产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超 过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 2 2 () (ab)(c d)(ac)(b d) n adbc K , 2 ()P Kk0.

38、0500.0100.001 k3.8416.63510.828 数学试卷第 23页（共 76页）数学试卷第 24页（共 76页） 19.(12 分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直,M 是 CD上 异于C,D的点. (1)证明：平面AMD 平面BMC； (2)当三棱锥M ABC 体积最大时,求面MAB与面MCD 所成二面角的正弦值. 20.(12 分) 已知斜率为k的直线l与椭圆C： 22 1 43 xy 交于A,B两点,线段AB的中点为 (1,)()Mm m0 . (1)证明： 1 2 k- ； (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且 0FPFAFB .

39、证明： FA , FP , , FB 成等差数列,并求该数列的公差. 21.(12 分) 已知函数 2 2( )()ln(1)2fxaxxxx . (1)若 0a ,证明：当 10 x 时, ( )0f x ；当 0 x 时, ( )0f x ； (2)若 =0 x 是 ( )f x 的极大值点,求a. (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第 一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, O 的参数方程为 cos , sin x y (为参数),过点(0, 2)且 倾斜角为的直线l与 O 交于A

40、,B两点. (1)求的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 23.选修 45：不等式选讲(10 分) 设函数 ( )211f xxx . (1)画出 ( ) yf x 的图象； (2)当 0),x , ( )bxfax ,求a b 的最小值. 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 25页（共 76页）数学试卷第 26页（共 76页） 理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】C 【解析】 =1Ax x , 0,1,2B , =1,2AB ,故选 C. 2.【答案】D 【解析】 2 1 i 2i)(2i2ii3

41、i)( ,故选 D. 3.【答案】A 【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯 视图可以为 A.故选 A. 4.【答案】B 【解析】由 1 sin 3 ,得 22 127 cos212sin12 ( ) =1= 399 .故选 B. 5.【答案】C 【解析】 25 2 ()x x 的展开式的通项 2 5110 3 155 ()(2)2 rrrrrr r TCxxCx ,令10 34r , 得 2r ,所以 4 x 的系数为 22 5 240C .故选 C. 6.【答案】A 【解析】由圆 22 (2)=2xy 可得圆心坐标(2,0),半径 2r , ABP

42、 的面积记为S,点 P到直线AB的距离记为d,则有 1 2 SABd .易知 2 2AB , max 22 202 23 2 11 d , min 22 202 22 11 d ,所以 26S ,故选 A. 7.【答案】D 【解析】 42 ( )2f xxx , 3 ( )42fxxx ,令 ( )0fx ,解得 2 2 x 或 2 2 x0 ,此时, ( )f x 递增；令 ( )0fx ,解得 2 2 x 0 或 2 2 x ,此时, ( )f x 递减.由此可得 ( )f x 的大致图象.故选 D. 8.【答案】B 【解析】由题知 1 ()0,XBp ,则 (1012.4)DXpp ,解

43、得 0.4p 或0.6.又 () 6(4)P XP X ,即 44666422 1010 (1)(1)(1)0.5C PpC Ppppp , 0.6p ,故选 B. 9.【答案】C 【解析】根据余弦定理得 222 2cosabcabC ,因为 222 4 ABC a S bc ,所以 c 4 2os ABC abC S ,又 1 sin 2 ABC SabC ,所以tan 1C ,因为 ()0,C ， 所以 4 C . 故选 C. 10.【答案】B 【解析】设 ABC 的边长为a,则 1 sin60 =9 3 2 ABC Sa a ,解得 6a (负值舍 去). ABC 的外接圆半径r满足 6

44、 2 sin60 r ,得 2 3r ,球心到平面ABC的距离 为 2 2 42 32 .所以点D到平面 ABC 的最大距离为2 46 ,所以三棱锥 DABC 体积的最大值为 1 9 3618 3 3 ,故选 B. 11.【答案】C 【解析】 点 2( ,0) F c 到渐近线 b yx a 的距离 2 2 0 (0) 1( ) bc a PFb b b a ,而 2 OFc ,所以 在 2 RtOPF 中,由勾股定理可得 22 OPcba ,所以 1 66PFOPa . 在 2 RtOPF 中, 2 2 2 cos PFb PF O OFc ,在 12 FF P 中, 222 222 212

45、1 2 212 46 cos 22 PFFFPFbca PF O PFFFbc 2 ,所以 222 222 46 346 4 bbca bca cbc , 则有 2222 3()46caca , 解得 3 c a (负值舍去),即 3e .故选 C. 数学试卷第 27页（共 76页）数学试卷第 28页（共 76页） 12.【答案】B 【解析】解法一： 0.20.2 log0.3log1=0a , 22 log 0.3log 1=0b , 0ab ,排除 C. 0.20.2 0log0.3log0.2=1 , 22 log 0.3log 0.5=1 ,即0 1a , 1b- , 0ab ,排 除

46、 D. 2 2 0.2 log 0.3lg0.2 log 0.2 log0.3lg2 b a , 222 3 log 0.3log 0.2log1 2 b b a , 1 b babab a ,排除 A.故选 B. 解法二：易知0 1a , 1b , 0ab , 0ab , 0.30.30.3 11 log0.2log2log0.4 1 ab , 即 1 ab ab ,a bab , 0abab .故选 B. 第卷 二、填空题 13.【答案】 1 2 【解析】由已知得2 (4,2)ab .又 ,()1c , 2()cab ,所以4 2=0 ,解得 1 2 . 14.【答案】 3 【解析】设 (e )1( x f xax ,则 ()( )1 exfxaxa ,所以曲线在点 (0,1) 处的切线的斜 率 (0)12kfa ,解得 3a . 15.【答