高中数学第四讲数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式同步检测含解析新人.doc

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1、4.2用数学归纳法证明不等式一、选择题1. 用数学归纳法证明不等式： （，），在证明这一步时，需要证明的不等式是（ ） A BCD答案：D解析：解答：当时，那不等式左边的式子中的都换成，得到分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据2. 用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（ ）A B. C. D.答案：D解析：解答：由题意，n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为由n=k变到n=k+1时，左边增加了2k-（2k-1+1）+1=2k-1项，即为故选D分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据数学归纳法证明的步骤分析计算即

2、可3. 用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左端的变化是（ ）A.增加项 B.增加和两项 C.增加和两项且减少一项 D.以上结论均错答案：C解析：解答：n=k时，左边=+.+，n=k时，左边=+=(+.+)-+故选C分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式“左边的各项，他们都是以 开始，以 项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论4. 用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）ABCD 答案：C解析：解答：因为用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立

3、，等式左边有，因此推证时，左边应，因此应该增加的项数是，选C分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可5. 用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证不等式（ ）A B C D答案：B解析：解答：数学归纳法中，一般情况下第一步验证时的情况。因为本题中要求，所以第一步验证的情况，而，所以此时验证不等式，故选B.分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可6. 用数学归纳法证明不等式成立，其的初始值至少应为 ( ) A7 B8 C9 D10答案：B解析：解答：因为，当时，左边=分析：本题主

4、要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式分析计算即可7. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_答案：解析：解答：不等式的左边增加的式子是，故填.分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可三、解答题14. 用数学归纳法证明等式1+2+3+（n+3）= 答案：证明：当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=左边=右边假设n=k时等式成立，即1+2+3+（k+3）=那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+（k+3）+（k+4）=+（k+4）=等式成立综上1+2+3+

5、（n+3）= 成立解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立15、用数学归纳法证明不等式答案：证明：当n=1时，左边=1，右边=2，n=1不等式成立假设当n=k（k2）时成立，即那么当n=k+1时，左边=4k2+4k4k2+4k+1，可得，即：这就是说n=k+1时不等式也成立综上可知不等式对所有的nN*解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当

6、n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立16. 若，观察下列不等式：请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.答案：解答：满足的不等式为 ,证明如下：当n=2时，猜想成立； 假设当n=k时，猜想成立，即， 那么n=k+1时则当n=k+1时猜想也成立，根据可得猜想对任意的n(n)都成立.解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式结合所给不等式分析计算证明即可17. 观察下列各不等式：（1）由上述不等式，归纳出一个及正整数有关的一般性结论；答案：解：（1）观察上述各不等式，得到及

7、正整数n有关的一般不等式为且. （2）用数学归纳法证明你得到的结论答案：以下用数学归纳法证明这个不等式 证明：当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.假设当n=k时，不等式成立，即 那么，当n=k+1时，有 .所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据和，可知不等式对任何且都成立.解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系及右侧分子及分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.18. 设，其中为正整数（1）求，的值；答案：解：分别把n=1、2、3代入求得（2）猜想满足不等式的正整数的范

8、围，并用数学归纳法证明你的猜想答案：猜想： 证明：当时，成立 假设当时猜想正确，即 由于 ，即成立由可知，对成立 解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决及正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3）由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写

9、.19. 设个正数满足（且）（1）当时，证明：；答案：证明：因为（且）均为正实数，左右=0，所以，原不等式成立（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明答案：归纳的不等式为：（且） 记，当（）时，由（1）知，不等式成立；假设当（且）时，不等式成立，即则当时，= =，因为，所以，所以当，不等式成立 综上所述，不等式（且）成立解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由于及积为，所以利用基本不等式进行证明：，三式相加得，即（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子及式子关系：其差为，问

10、题转化为证明，这可利用作差，因式分解得证.20. 已知经计算得（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；答案：解：由题意知，1分由此得到一般性结论：（或者猜测也行）（2）用数学归纳法证明你的猜想答案：证明：当时， 所以结论成立假设时，结论成立，即 那么，时， 所以当时，结论也成立综上所述，上述结论对都成立，所以猜想成立解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由归纳推理进行猜想；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明21. 已知数列的各项均为正整数，对于任意nN*，都有 成立，且（1）求，的值；答案：解：因为 ，当时，由，即有，解得因为为正整数，故 当时，由，解得，

11、所以（2）猜想数列的通项公式，并给出证明答案：解：由，猜想：下面用数学归纳法证明当，时，由（1）知均成立 假设成立，则， 由条件得，所以， 所以 因为，又，所以即时，也成立由，知，对任意，解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）先列出所满足条件，化简得，再根据数列的各项均为正整数这一限制条件求出，同理可得（2）猜想：，用数学归纳法证明的关键由k成立推出k+1成立，其推导思路同（1）：由条件得，所以，所以因为，所以22. 证明：答案：证明： 当，不等式显然成立 假设时不等式成立，即 当时，左边=不等式成立 由可知，对一切都有解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证

12、明不等式，解决问题的关键是根据23. 由下列不等式：，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明答案：解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为： 用数学归纳法证明如下：当时，猜想成立； 假设当时，猜想成立，即， 则当时，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可24. 设曲线在点处的切线斜率为,且.对一切实数,不等式恒成立(0).(1) 求的值；答案：解：由，所以 (2) 求函数的表达式；答案：解：，由，得 又恒成立，则由恒成立得， 同理由恒成立也可得

13、: 综上，所以(3) 求证:答案：证明：方法一：要证原不等式，即证因为所以=所以方法二：由当时，左边=1，右边=，左边右边，所以，不等式成立假设当时，不等式成立，即 当时，左边=由所以即当时，不等式也成立。综上得 解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件分析计算得到，然后运用数学归纳法证明所求结论即可25. 已知，考查；归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明答案：解答：归纳：，证明：当时，显然成立； 假设当时，不等式成立，即， 则时，由，不等式对任意正整数成立. 解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化26. 设满足数列是公差为，首项的等差数列； 数列是公比为首项的等比数列，求证：答案：解答：首先， ， ， 用归纳法证明 ，由于，即i=1成立，假设 成立，则。 所以，。归纳证明，首先 ，假设 成立，则。 故命题成立。解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件及等差数列，等比数列有关性质分析计算证明即可，有一定难度19 / 19