抛物线中的定值、定点问题(4页).doc

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1、-抛物线中的定值、定点问题-第 4 页抛物线中的定值、定点问题例1 过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线交于，两点，求证：.【规范解答】证法一：因直线过焦点，可设其方程为，代入得，即该方程的两根就是两个交点的纵坐标，由韦达定理：.证法二：因在抛物线上，故可设 又，故因三点共线，所以移项分解因式得：，其中故.证法三：如图1，过点分别作准线的垂线，垂足为要证明，只要证明；同理而（），故 所以.由直角三角形的性质得：【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）

2、；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为而非，为什么？首先，这样代入可消去直达目标，运算便捷；其次，本题中直线可能与轴平行而斜率不存在，但不可能与轴垂直，设省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于“寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB直线的预设并在联立方程中消去y后,观察之积得：变式1 条件同例1，则=定值。 以为直径

3、作圆，考察该圆与准线的位置关系得：变式2 条件同例1，则以为直径的圆与准线相切。 设直线的倾斜角为，计算弦长得:变式3 条件同例1，设直线的倾斜角为，则.（由此立刻得到：当时焦点弦最短，我们称这条弦为通径） 在变式2中,计算得:变式4 条件如变式3，则.提示：给出倾斜角为，意味着斜率（先验证时），设直线的方程为代入可得，由于过焦点，依据抛物线的定义可得焦点弦，代入后化简可得结论.同学们也可以尝试在图1中用几何方法证明.结合抛物线定义与韦达定理,研究AF、BF例数之和得：变式5 条件同例1，求证：为定值. 将结论视作条件，逆向变式得：变式6 一条直线与抛物线交于，两点，满足：(或)，则这条直线过此抛物线的焦点.我们可以把上面的变式归纳如下：方法点拨抛物线焦点弦的两端点的横（纵）坐标之积为定值是一个经典结论，若增设已知条件、改变设问方式、变换研究问题视角包括逆向考虑可得很多优美结论.小结论 通径公式： 变式7 一条直线与抛物线交于，两点，满足：，则这条直线过定点.变式8 一条直线与抛物线交于，两点，满足：，则这条直线过定点.