《计算方法》课程设计利用列主元高斯消去法求解正弦稳态电路问题(14页).doc

《《计算方法》课程设计利用列主元高斯消去法求解正弦稳态电路问题(14页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《计算方法》课程设计利用列主元高斯消去法求解正弦稳态电路问题(14页).doc（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-计算方法课程设计利用列主元高斯消去法求解正弦稳态电路问题-第 - 7 - 页计算方法课程设计题 目: 利用列主元高斯消去法求解正弦稳态电路问题学 院： 理学院 班 级： 数学15-1 学 生 姓 名： 邱顺生 学 生 学 号： 2015028218 指 导 教 师： 石端银 2017年 06 月 19 日课程设计任务书姓名邱顺生班级数学15-1学号2015028218设计题目用列主元高斯消去法求线性代数方程组的解理论要点列主元高斯消去法是在系数矩阵中按列选取元素绝对值的最大值作为主元素，然后交换所在行与主元素所在行的位置，再按顺序消去法进行消元。设计目标编写程序判断线性方程组是否有解，若是有

2、解则输出结果；否则，给出提示信息。研究方法步骤1 分析理论，确定方法2 查找资料，弄清原理3 编写程序，解决问题预期结果给出数据（n元线性方程组），选出列主元，通过MATLAB程序的执行求出方程组的解。计划与进步的安排1. 分析问题并理清思路，确定大致方向方法；（1天）2. 阅读及查找相关资料，撰写摘要、前言、算法原理；（2天）3. 写出MATLAB程序并结合实例通过该算法求解问题，并撰写论文的实际问题分析求解部分；（2天）4. 完成整体的课程设计报告以及最后的审核和排版、打印等。（1天）目录摘要I第1章前言11.1列主元高斯消去算法在计算方法课程中地位11.2本文主要研究思路与结构安排1第2

3、章列主元高斯消去算法基本原理及Matlab程序22.1列主元高斯消去算法的基本原理22.2列主元高斯消去算法的构造方法22.3列主元高斯消去算法的误差分析42.4 列主元高斯消去算法的Matlab程序5第3章利用列主元高斯消去算法解决正弦稳态电路问题63.1 问题来源63.2 数学模型63.3 方法选择83.4 解答过程8结论9参考文献10摘要众所周知，应用科学与工程中的许多计算问题最后都是转化为求线性代数方程组的解。求解线性代数方程的方法有很多的，其中高斯消去法是常用方法之一。在工程领域里，在进行系统分析和设计时，首先要建立系统的数学模型，不同的领域建立的数学模型不同，也就是数学方程式的形式

4、不同，自然求解方法（或算法）也不同。本文采用了高斯列主元消去法求解正弦稳态电路的问题，先仔细了解了高斯消元法，接着根据诸多文献著作重新整理出高斯列主元消去法的具体步骤并解决了一个线性方程组的实例，然后根据步骤流程图重写出MATLAB程序，紧接着从众多实际问题中选取了一个我们生活中常见的却不为人注意的稳态电路的问题，对电路进行了一个物理上面的分析，列出了一个线性方程组，继而修改之前的MATLAB程序解答出该问题。关键词：列主元高斯消去法，线性方程组，正弦稳态电路第1章 前言1.1 列主元高斯消去算法在计算方法课程中的重要地位计算方法是一门介绍科学与工程计算中各种数学问题求解方法的基础课程，具有突

5、出的多学科交叉特征，是所有从事与科学计算有关的科技人员都必须掌握的重要数学工具。目前，计算方法中介绍的各种方法，尤其是高斯列主元消去法与计算机技术相结合已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域，正是由于其广泛的应用性和背景领域。因此数值分析已成为数学、计算机、软件工程专业本科生以及物理、力学、地质、材料冶金等很多理工科专业研究生的必修课程。1.2本文主要研究思路与结构安排本文首先从高斯消去法入手进行整理分析，进而研究列主元高斯消去法，得到高斯列主元消去法的基本思想，通过思想进一步总结出解线性方程组的方法。对于求解一个n个变元的上三角形线性方程组来说，注意到计算量大

6、体等于非零元素的个数，所以计算量为，相对于化为上三角形的计算量而言由于低一个数量级，因而可以忽略不计所以用高斯消去法求解n个变元的线性方程组的方法中，列主元高斯消去法无疑是最为适合而且计算量也是最小的，不过在计算机的速度越来越快的今天，高斯消去法的这种优势地位会逐步下降。 第2章 列主元高斯消去算法的基本原理及Matlab程序2.1 列主元高斯消去算法的基本原理如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。然而，现实中大多数线性方程组都

7、不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。在这里，着重说明一下列主元的选取方法，通过有选择的互换方程组中两个方程的位置而把中绝对值最大的元素移到主对角线上来，从而改进高斯消去法的性能。2.2 高斯列主元消去算法的构造方法高斯列主元消去法的算法步骤如下：设有n元线性方程组（2-1） =第一步：对方程组（2-1）确定，使得，选取作为第一个主元，然后交

8、换第1、第个方程。第二步：令用乘第一个方程加到第个方程上，得同解方程组：（2-2）其中第三步：对方程组（2-2）确定，使得，选取作为第二个主元，然后交换第2，第个方程。第四步：令，用乘第二个方程加到第个方程上得同解方程组（2-3）其中第五步：设已完成第步消元，得到同解方程组（2-4）反复进行上述过程，那么，经过步消元，最后便得到如下的与原方程组同解的上三角方程组：（2-5）由此可以看出，经过了步逐步消元后，矩阵已经化成上三角形式，此时由（2-4）的最后一个方程就可以求出，然后将代入倒数的第二个方程，求出，以此类推，可顺序解出最后，由第一个方程求出。从而可得方程组的解为：（2-6）总之，高斯列主

9、元消去法大概可分为四个步骤：找主元、换行、消元、回代，这四个步骤的每个循环顺序必须依次进行，这样才能得到正确的方程组的解。根据算法所编的程序流程图如下：开始输入aT交换a中ii，h两行T输出x结束图2-1高斯列主元消去算法流程图2.3列主元高斯消去算法的误差分析高斯列主元消去法很巧妙地克服了高斯顺序消去法和高斯全主元消去法所存在的严重问题，但是其在消元过程中仍然隐含着一些不足之处。当系数相除所产生的舍入误差累积代入了未知量的直接求解时，会导致线性方程组解的误差，即求解线性方程组的误差误差来源于除法。由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现的情况，这时消去将无法进行；即使主元素但很小时，用其做除数

10、，还是会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠。2.4列主元高斯消去算法的程序%dx.mfunction dx = x(k)clc;disp(MATLAB编的列主元高斯消去法程序) disp(黑龙江科技大学理学院数学15-1邱顺生)a = input(请输入系数增广矩阵a=)%输入系数增广阵m,n = size(a);%求系数阵的维数if rank(a(:1,1:m) = m;Disp(不符合高斯列主元消元法的条件)breakend%以下为消元过程for ii = 1:m-1;a0 = a;%保留原值h,g = find(a(:,ii) = max(abs(a(i

11、i:m,ii)|a(:,ii) = -max(abs(a(ii:m,ii);%求绝对值最大元素所在列的行数h = min(h);%取最小行a(ii,:) = a(h,:)%将h行换到ii行a(h,:) = a0(ii,:)%将原ii行换到现h行jj=1:m-ii; A(ii+jj),:) = -a(ii+jj),ii)/a(ii,ii)*a(ii,:)+a(ii+jj),:)%将最大元素所在行乘系数加到后每行A1 = a%列主消元后的最后矩阵%以下为回代过程b=a1(:,n);x = zeros(m,1);%创建0矩阵x(m) = b(m)/a1(m,m);%求出x(m)的值for k = m

12、-1:-1:1; J = k+1:m; D = sum(A1(k,j)*x(j);%求和 X(k) = (b(k)-d)/A1(k,k);%求其他x的值endx%显示方程解第3章 利用高斯列主元消去算法解决正弦稳态电路问题3.1问题来源正弦稳态电路的分析方法很多 ,对集总参数的电路来说 ,主要有等效分析法与系统分析法及图论分析法 ,在电源比较多 ,电路比较复杂及有些非平面电路的分析与设计时 ,特别当用计算机来进行辅助设计与分析时 ,系统分析法与图论分析法显现出了其较突出的优点。本文介绍系统分析法。系统分析法是以基尔霍夫电流定律 ( Kirchhoff s current law 简称 KCL)

13、 、基尔霍夫电压定律 ( Kirchhoff s voltage law简称 KVL)以及支路元件电压、电流约束关系 ( voltage- current relation简称 VCR)为理论基础 ,以所选的电路分析变量为方程变量 ,列写电路方程的一种电路分析方法;根据所选的电路变量的不同 ,系统分析法包括: 支路分析法 (分支路电流分析法与支路电压分析法 ) ,回路电流分析法 (当所选的独立回路为网孔时 ,也称网孔分析法 ) ,节点电压分析法 , 2b法。在电路理论中 ,正弦稳态电路的各个电压与电流的计算是采用相量 (对应与正弦量的复数 )形式来表示的 ,因此正弦稳态电路的系统方程就是数学中

14、的复系数代数方程 ,线性电路对应于线性方程 ,本题介绍线性电路。3.2 数学模型实例：图示电路中, R1 =R2=10, R3 =4, R4 =R5 =8, R6 =2,US 3 =20V , US6 =40V 。用支路电流法求解各支路电流。图3-2线性电阻电路图3.3 方法选择在分析线性电阻电路时,一般可采用支路电流法、回路电流法、结点电压法等方法来求电路中各支路中的电流及电压。其中用支路电流法较其他几种方法简单且易于理解,因为它直接源于基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律,每个支路的电流均作为变量出现在方程组中,因此通过解方程组即可直接求出各个支路的电流。但支路电流方程变量较多,求解方程组较

15、复杂。例如:一个b条支路, n个结点的电路,支路电流法以各支路电流为变量,且利用欧姆定律用电流表示电压,这样就得到了以b个支路电流为变量的b个基尔霍夫电压方程、基尔霍夫电流方程。对于这样一个方程组,往往变量较多且含有较多的零元, 因此可应用高斯列主元消去法求解方程组,这样可避免产生数值的不稳定和出现零主元。3.4 解答过程解:假设各支路电流方向如图所示,选三个网孔作为回路,回路绕行方向均为顺时针方向。列支路电流方程如下:据KCL得:(3-5)据KVL得：（3-6）上面的线性方程组可表示为下列矩阵形式：(3-7)则使用上述MATLAB程序解得各支路电流：（3-8） 其中负号表示实际电流方向与图中

16、假设的参考方向相反。至此, 通过高斯列主元消去法求得了本题中的线性方程组的解 ,即各个支路上的电流, 并可通过 i的符号判断支路电流的实际方向。结论通过此次课程设计，使我更加扎实的掌握了有关高斯消去法及列主元高斯消去法方面的知识，在设计过程中虽然遇到了一些问题，但经过一次又一次的思考，一遍又一遍的检查终于找出了原因所在，也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足。实践出真知，通过亲自动手制作，使我们掌握的知识不再是纸上谈兵。课程设计诚然是一门专业课，给我很多专业知识以及专业技能上的提升，同时又是一门讲道课，一门辩思课，给了我许多道，给了我很多思，给了我莫大的空间。同时，设计让我感触很深。使我

17、对抽象的理论有了具体的认识。通过这次课程设计，我熟悉了如何使用Matlab求解列主元高斯消去法问题，掌握了Matlab 程序的编写与测试，通过结合实际问题，求出问题的解，并做误差分析。我认为，在这学期的实验中，不仅培养了独立思考、动手操作的能力，在各种其它能力上也都有了提高。更重要的是，我们学会了很多学习的方法。而这是日后最实用的，真的是受益匪浅。这对于我们的将来也有很大的帮助。以后，不管有多苦，我想我们都能变苦为乐，找寻有趣的事情，发现其中珍贵的事情。回顾起此课程设计，至今我仍感慨颇多，从理论到实践，在这段日子里，可以说得是苦多于甜，但是可以学到很多很多的东西，同时巩固了以前所学过的知识。通

18、过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。在设计的过程中遇到问题，可以说得是困难重重，但可喜的是最终都得到了解决。此次设计也让我明白了思路即出路，有什么不懂不明白的地方要及时请教或上网查询，只要认真钻研，动脑思考，动手实践，就没有弄不懂的知识，收获颇丰。参考文献1 施妙根，顾丽珍.科学和工程计算基础M.北京：清华大学出版社，2002，111-114.2 邱关源.电路M.北京：高等教育出版社，2003，131-133.3 宋国乡，冯有前.数值分析M.西安：西安电子科技大学出版社，2002，304-309.4 陈宝林.最优化理论与算法M.北京：清华大学出版社，2005，58-60.5 胡尧，罗文俊.改进Gauss消去法求解线性方程组J.贵州大学报：自然科学版，2004,21(2)，127-131.课程设计评阅书课程设计报告评语：（评阅意见主要对设计任务的合理性、规范性和正确性以及设计报告书的完整性、规范性和通顺性等方面作出评价） 报告成绩： 答辩记录与评语： 答辩成绩： 课程设计总成绩： 教师签名： 年 月 日