高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.2 等差数列 2.2.1 探究导学课型 .ppt

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1、2.2等差数列 第1课时等差数列,1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念并能运用.,1.等差数列 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列. (2)公差：这个_叫做等差数列的公差，通常用字母_表示. (3)通项公式：an=_. 2.等差中项 若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a，b的等差中项， 并且A=_.,同一个常数,常数,d,a1+(n-1)d,1.已知等差数列an的通项公式为an=2n-1，则它的公差为 () A.2B.-2C.3D.-

2、3 【解析】选A.d=an-an-1=(2n-1)-2(n-1)-1=2.,2.已知a=1，b=3，则a，b的等差中项为() A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.,3.已知等差数列an的通项公式为an=3-2n，则a1+a2=. 【解析】因为an=3-2n，所以a1=3-2=1， a2=3-22=-1，故a1+a2=0. 答案：0,4.等差数列1，-1，-3，-5，-89的项数为. 【解析】因为a1=1，d=-1-1=-2，所以an=a1+(n-1)d=-2n+3. 由-2n+3=-89，得n=46. 答案：46,一、等差数列的概念 观察下列几个实例，探究以下问题 (1)2，4，6，8，1

3、0，12， (2)1，1，1，1，1，1， (3)1，3，5，7，9，11，,探究1：请观察(1)(3)中的数列，它们中的每个数列从第二项起每一项与前一项的差是否都相等？ 提示：观察这三个实例可以看出，(1)(3)中的差都是2，(2)中的差是0.因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都相等.,探究2：在探究1的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关系吗？ 提示：可表示为an+1-an=d(d为常数，nN*). 探究3：根据等差数列的定义，思考是否所有的常数列都是等差数列？ 提示：是，根据等差数列的特点知，所有的常数列都是等差数列.,【探究总结】理解等差数列定义时的三个注意点 (1)注意定

4、义中“从第2项起”这一前提条件.这一条件有两层意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.,(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个，其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前面一项的差是常数且是同一个常数.,二、等差数列的通项公式及等差中项 结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，探究下列问题：,探究1：利用数列的通项公式如何建立数 列任意两项之间的关系. 提示：在等差数列an中，若m，

5、nN*， 则an=am+(n-m)d. 推导如下：因为对任意的m，nN*，在等差数列中， 有am=a1+(m-1)d， an=a1+(n-1)d， 由-得an-am=(n-m)d， 所以an=am+(n-m)d.,探究2：若A= ，则a，A，b是否成等差数列？若一个数列 任意相邻的三项具有这种关系，结果怎样？ 提示：若A= ，则a+b=2A，A-a=b-A，则a，A，b成等差数 列，反之也成立. 若an+1= (an+an+2)，则an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差 中项，由n的任意性可得，数列an是等差数列.,【探究总结】1.对等差数列通项公式的三点说明 (1)利用通项公式可以求

6、出首项与公差. (2)可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项. (3)若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数. 2.等差中项的注意点 (1)等差中项A= a，A，b成等差数列. (2)用等差中项：an+1= (an+an+2)可以证明一个数列为等差数 列.,【拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式 (1)将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an= dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函 数(d0时)或常数函数(d=0时). (2)an=dn+(a1-d)的图象是一条射线上一些间距相等的点，其 中公差d是该射线所在直线的斜

7、率，从上面的变形公式可以知 道，d= (nm).,类型一等差数列的定义 1.给出下列数列，其中是等差数列的是. (1)0，-3，-6，-9，-12，. (2)1，-1，1，-1，1，-1，. (3)6，6，6，6，. (4)6，5，3，1，-1，-3，. 2.已知cn= 试判断数列cn是否为等差数列.,【解题指南】1.验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否等于同一个常数. 2.分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个常数.,【自主解答】1.(1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-3，所以是等差数列. (2)因为-1-1=-2，1-(-1)=2，不是同一个常数

8、，所以该数列不是等差数列. (3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以是等差数列.,(4)因为5-6=-1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是一个等差数列. 答案：(1)(3),2.因为c2-c1=-1-1=-2， cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2). 所以cn+1-cn(n1)不等于同一个常数，不符合等差数列的定义.所以cn不是等差数列.,【规律总结】利用等差数列定义判定数列的步骤 (1)求第二项与第一项的差(常数). (2)验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数. (3)根据

9、等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列.,【变式训练】给出下列数列，其中是等差数列的是. (1)1，2，4，6，8，. (2)0，0，0，0，. (3)3，6，9，12，. 【解析】(1)因为2-1=1，4-2=2，故该数列不是等差数列. (2)因为0-0=0-0=0，所以是等差数列. (3)因为6-3=9-6=12-9=3，所以是等差数列. 答案：(2)(3),类型二等差数列通项公式的应用 1.(2014重庆高考)在等差数列an中，a1=2，a3+a5=10，则a7=() A.5B.8C.10D.14 2.(2015大连高二检测)已知等差数列an中，a1a2a3an且a3，a6为方程x2-

10、10 x+16=0的两个实根. (1)求此数列an的通项公式. (2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由.,【解题指南】1.根据题设条件求出公差，进而可求出a7的值. 2.(1)由于数列an是等差数列，只要确定它的首项a1及公差d的值，将其代入通项公式中，即可得an. (2)268是否为该等差数列中的项，关键点是看an=268是否有正整数解.,【自主解答】1.选B.设公差为d，因为a1=2， 所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10， 解得d=1， 所以a7=a1+6d=2+6=8. 2.(1)因为 即 解得 故an=-2+2(n-1)=2n-4.,(2)2

11、68是此数列中的项.令an=2n-4=268得2n=272， 故n=136. 因此268是此数列中的136项.,【规律总结】求等差数列通项公式的四个步骤,【变式训练】已知等差数列an中，a10=29，a21=62，试判断91是否为此数列中的项. 【解析】设该等差数列的公差为d，则有a10=a1+9d=29，a21=a1+20d=62，解得a1=2，d=3. 所以an=2+(n-1)3=3n-1. 令an=3n-1=91，得n= N*. 所以91不是此数列中的项.,类型三等差中项的简单应用 1.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为() A.1B.2C.3D.4 2.已知a，b，c成等差数列，

12、那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列？,【解题指南】1.由根与系数的关系得两根之和，进而求其等差中项. 2.已知a，b，c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b，然后要证a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列，可考虑等差中项的定义、性质及条件a+c=2b.,【自主解答】1.选C.设方程x2-6x+1=0的两根为x1，x2， 则x1+x2=6.所以其等差中项为 2.因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b， 又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a) =a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b) =a2c+c2a-2ab

13、c=ac(a+c-2b)=0， 所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a)， 所以a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差数列.,【规律总结】 1.等差中项的两个注意点 (1)唯一性：任意两个常数存在唯一的等差中项. (2)任意性：等差数列中不连续的三项，如ak-s，ak，ak+s中， ak是ak-s与ak+s的等差中项，因为其下标k-s，k，k+s成等差数列. 提醒：等差数列中项的下标成等差数列，相应项也成等差数列.,2.证明或判断一个数列是等差数列的常用方法 (1)定义法：利用an-an-1=d(常数)(n2且nN*)等价于an是等差数列. (2)等差中项法：2an=an-1+an+1(n2且nN*)等价于an是等差数列.,【变式训练】已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是 5，则m和n的等差中项是() A.2B.3C.6D.9 【解析】选B.由题意得 所以m+n=6，所以m，n的 等差中项为3.,