高中数学优质课件精选——人教版必修五：3.1.1 不等关系与比较大小 精讲优练课型 .ppt

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1、第三章不等式 3.1不等关系与不等式 第1课时不等关系与比较大小,【知识提炼】 1.不等式的定义所含的两个要点 (1)不等符号_或_. (2)所表示的关系是_.,，,不等关系,2.比较两实数a，b大小的依据,ab,ab,a=b,它们的差a-b与0,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)不等关系与不等式有什么区别？ 提示：不等关系是量与量之间的关系，而不等式是表示不等关系的式子.,(2)当x=3时，x3成立吗？ 提示：当x=3时，x3成立.实际上，x3的含义是x3或x=3.当x3和x=3中有一个成立时，x3成立.,2.下列式子中不等式的个数为() (1)32.(2)a2+13.(3)3x2+x.

2、(4)a+bc. A.1B.2C.3D.4 【解析】选C.由不等式的定义知(1)(2)(4)中的式子是不等式，而(3)中的式子不是不等式.,3.下列说法正确的是() A.a不是负数，则a0 B.b是不大于0的数，则b-1 D.a+b是负数，则a+b0,【解析】选D.A错误.a不是负数，则a0； B错误.b是不大于0的数，则b0； C错误.m不小于-1，则m-1；D正确.,4.下列不等式中恒成立的是_. m-3m-55-m3-m 5m3m5+m5-m,【解析】m-3-m+5=20，故恒成立； 5-m-3+m=20，故恒成立； 5m-3m=2m，无法判断其符号，故不恒成立； 5+m-5+m=2m，

3、无法判断其符号，故不恒成立. 答案：,5.雷电的温度大约是28 000，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t，那么应满足的关系式为_. 【解析】由题意得4.5t28 000. 答案：4.5t28 000,【知识探究】 知识点1 不等关系与不等式 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：常见的表示不等关系的符号有哪些？ 问题2：不等关系的常见类型有哪些？,【总结提升】 1.不等关系与不等式的区别 (1)不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用文字：大于、小于、不等于、大于等于、小于等于或符号：、表示.,(2)不等式则是用不等符号来表示不等关系的式子，可用“ab”“ab”“ab”“

4、ab”或“ab”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的.,2.四类常见的不等关系 (1)常量与常量之间的不等关系，如100g砝码的质量大于50g砝码的质量. (2)变量与常量之间的不等关系，如某儿童的身高h m小于或等于1.3m.,(3)变量与变量之间的不等关系，如当xa时，销售收入f(x)大于销售成本g(x). (4)一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用35x与购置椅子的费用25y的和不超过3 200元.,知识点2 两数(式)比较大小 观察图形，回答下列问题：,问题1：“”和“”的含义分别是什么？ 问题2：比较两个实数大小的基本原理是什么？,【总结提升】 1.关于ab和ab的含义 (1

5、)不等式ab应读作：“a大于或等于b”，其含义是ab或a=b，等价于“a不小于b”，即若ab或a=b中有一个正确，则ab正确.,(2)不等式ab应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或a=b，等价于“a不大于b”，即若ab或a=b中有一个正确，则ab正确.,2.对实数比较大小的说明 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示(如图所示)，可以看出a，b之间具有以下性质：,(1)如果a-b是正数，那么ab，如图1. (2)如果a-b等于零，那么a=b，如图2.,(3)如果a-b是负数，那么ab，如图3.,反之也成立， 就

6、是a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab. 上面等价符号的左式反映的是实数的运算，右式反映的是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.,【题型探究】 类型一 用不等式(组)表示不等关系 【典例】1.如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(ab)的不等式表示为_.,2.商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件.若把提价后的商品的售价设为x元，怎样用不等式表示

7、每天的利润不低于300元？,【解题探究】 1.典例1中，哪个图的面积大？ 提示：图1的面积大.,2.典例2中，利润的计算公式是什么？售价和销售量之间有什么关系？蕴含的不等关系是什么？ 提示：利润=(售价-进价)销售量； 销售量=原销售量-减少量； 蕴含的不等关系是每天的利润大于等于300元.,【解析】1.图1所示的广告牌的面积为 ，图2 所示的广告牌的面积为ab，显然不等式表示为 (a2+b2)ab. 答案： ab,2.若提价后商品的售价为x元，则销售量减少 10件，因此，每天的利润为(x-8)100-10(x-10)元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x-8)100-10(x

8、-10)300.,【方法技巧】 1.将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示.,2.常见的文字语言与符号语言之间的转换,【变式训练】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.,【解题指南】有3个不等关系：总资金小于等于1 000万元；A型汽车数量大于等于5；B型汽车数量大于等于6.A型汽车和B型汽车的数量的取值范围都是正整数集.,【解

9、析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，,【补偿训练】某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t，运费960元，每辆农用车载重2.5t，运费360元，据此，安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出来.,【解析】设租用大卡车x辆，农用车y辆，,类型二 作差法比较两数(式)的大小 【典例】若实数a，b，c满足b+c=5a2-8a+11，b-c=a2-6a+9，试比较a，b，c的大小.,【解题探究】本题中为判断b与c的大小，需要对哪个已知代数式进行怎样的变形？为判断a与c的大小，需要先推出什么关系？用什么方法比较大小？

10、提示：判断b与c的大小，需要对b-c=a2-6a+9进行配方变形.为判断a与c的大小，需要先消去b推出a与c的关系，用作差法比较大小.,【解析】因为b-c=a2-6a+9=(a-3)20，所以bc. 由 由+得b=3a2-7a+10， 因为b-a=3a2-7a+10-a =3a2-8a+10= 所以ba.,由-得c=2a2-a+1， 所以c-a=2a2-2a+1= 所以ca.综上：bca.,【延伸探究】 1.(变换条件)本例条件中的“5a2-8a+11”改为“6-4a+3a2”，“a2-6a+9”改为“-4+4a-a2”，其他条件不变，结果如何？,【解析】因为c-b =-(b-c) =4-4a

11、+a2=(2-a)20， 所以cb. 因为2b=(b+c)+(b-c)=2a2+2， 所以b=a2+1，所以b-a=a2-a+1= 所以ba，所以cba.,2.(变换条件、改变问法)本例条件中的“5a2-8a+11”改为“x3”，“a2-6a+9”改为“x2-x+1”，其他条件不变，试讨论c的符号. 【解析】2c=(b+c)-(b-c) =x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1).,因为x2+10， 所以当x1时，(x-1)(x2+1)0，即c0； 当x=1时，(x-1)(x2+1)=0，即c=0； 当x1时，(x-1)(x2+1)0，即

12、c0.,【方法技巧】作差法比较大小的步骤,【补偿训练】已知mR，ab1，f(x)= ，试比较 f(a)与f(b)的大小关系. 【解析】因为 所以,当m=0时，f(a)=f(b)； 当m0时，m20，又因为ab1，所以a-10，b-10，b-a0， 所以f(a)f(b)， 综上所述，f(a)f(b).,【延伸探究】 1.(变换条件)本题条件改为m0，ab，a+b=m-1，f(x)=mx2+2mx+4，结果又如何？,【解析】f(a)-f(b)=(ma2+2ma+4)-(mb2+2mb+4) =m(a2-b2)+2m(a-b) =m(a-b)(a+b+2) =m(a-b)(m+1) 因为m0，ab，

13、所以m(a-b)(m+1)0， 所以f(a)f(a).,2.(变换条件、改变问法)本题条件改为f(x)=a2(x-b) +x2b，g(x)=b2(x-a)+x2a， 且f(m)g(m)，那么关系式amb是否可能成立？请说明你的理由.,【解析】不可能成立.因为f(m)g(m)， 所以f(m)-g(m)0， 所以a2(m-b)+ m2b-b2(m-a)-m2a0， (b-a)m2+(a2-b2)m+ab(b-a)0.,所以(b-a)(m-a)(m-b)0.(*) 若a0，m-a0， m-b0，于是(b-a)(m-a)(m-b)0. 这与不等式(*)矛盾. 故amb不可能成立.,易错案例 作差法比较

14、大小 【典例】甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程 步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑 步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则() A.甲先到教室B.乙先到教室 C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是作差后变形不恰当导致无法 判断差的符号.实际上s(v1+v2)2-4sv1v2=s(v12+2v1v2+ v22-4v1v2)=s(v1-v2)2.,【自我矫正】选B.设步行速度与跑步速度分别为v1和v2，显然0v1v2，总路程为2s， 则甲用时间为 设乙用时间为t，则v1 +v2 =2s，,所以乙用时间为 故 故乙先到教室.,【防范措施】 1.注意作差后的合理变形 利用“作差法”比较两数(式)的大小，关键是“变形”这一环节.通常是利用通分、配方、分解因式等手段将差式化为若干个数(式)平方和的形式，或若干个因式积(或商)的形式，以有利于差式符号的判断.,2.符号的判断 在判断差的符号时，一定要明确有关数(或式)的符号是正数、负数，还是非正数、非负数，要力求精确.,