高中数学优质课件精选——人教版必修五：1.1.2 余弦定理 精讲优练课型 .ppt

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1、1.1.2 余弦定理,【知识提炼】 余弦定理 1.文字表述 三角形中任何一边的平方等于_减 去这两边与它们的_的两倍.,其他两边的平方的和,夹角的余弦的积,2.公式表达 a2=_， b2=_， c2=_.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,3.变形 cosA=_；cosB=_；cosC=_.,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)在ABC中，若a2b2+c2，则ABC是锐角三角形吗？ 提示：不一定.因为ABC中a不一定是最大边，所以ABC不一定是锐角三角形.,(2)已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？ 提示：由余弦定理可知

2、：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2=a2+b2-2abcosC，c唯一，cosB= ，因为0B，所以B唯一，从而A也唯一.所以三角形其他元素唯一确定.,2.在ABC中，已知a=4，b=6，C=120，则边c的值 是() 【解析】选D.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC =16+36-246( )=76， 所以c=,3.若三角形的三条边长分别为4，5，7，则这个三角形是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.钝角或锐角三角形,【解析】选C.边长为7的边所对的角为最大角，不妨设为C，由余弦定理得cosC= 所以C为钝角，此三角形为钝角三角形.,4.在ABC中，AB=4

3、，BC=3，B=60，则AC等于_. 【解析】由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=16+9-243 =13. 所以AC= 答案：,5.在ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cosC=_. 【解析】由余弦定理得：cosC= 答案：,【知识探究】 知识点 余弦定理 观察图形，回答下列问题：,问题1：图(1)中，已知ABC的两边a，c及夹角B，如何求b？ 问题2：图(2)中，已知ABC的三边长，能否确定三个内角的大小？ 问题3：余弦定理的适用范围及结构特征是什么？,【总结提升】对余弦定理的四点说明 (1)适用范围：余弦定理

4、对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.,(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.,【题型探究】 类型一 已知两边及一角解三角形 【典例】1.(2015广东高考)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2，c=2 ，cosA= ，且bc，则b=() A. B.2C.2D.3,2.在三角形ABC中，已知a=2，b=2 ，C=15，解三角形.,【解题探究】1.典例1中求b的思路是什么？ 提示：由余弦定理得到关于b的

5、方程，解方程求解. 2.典例2中已知角C是已知边a，b的夹角，如何求边c？ 提示：利用余弦定理直接求c.,【解析】1.选B.由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA，所以 22=b2+(2 )2-2b2 ， 即b2-6b+8=0，解得：b=2或b=4， 因为bc，所以b=2.,2.方法一：cos15=cos(45-30)= 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-2 ( + )=8-4 ， 所以c= - .又ba，所以BA， 所以角A为锐角.,由正弦定理， 得sinA= 因为0A90， 所以A=30，所以B=180-A-C=180-30-15=135.,方法二：cos1

6、5=cos(45-30)= 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC 所以c= 所以cosA= 又0A180，所以A=30， 所以B=180-A-C=180-30-15=135.,【延伸探究】若典例2中条件变为“a= ，b= ，B=45”，则如何解三角形？ 【解析】方法一：由余弦定理知 b2=a2+c2-2accosB，所以 即c2- c+1=0， 解得c= 或c= .,当c= 时，由余弦定理得 cosA= 因为0A180，所以A=60，所以C=75. 当c= 时，由余弦定理得 所以A=120，C=15.,方法二：由正弦定理知sinA= 因为a= =b，所以A有两解.所以A=60或120

7、. 当A=60时，C=75,这时c= 当A=120时，C=15， 这时c=,【方法技巧】 1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边.要注意判断解的情况. (2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.这样可免去取舍解的麻烦.,2.已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.,【变式训练】在ABC中，已知A=120，a=7，

8、b+c=8，求b，c. 【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA =(b+c)2-2bc(1+cosA)， 所以49=64-2bc(1- )，即bc=15， 由 解得 或,【补偿训练】 1.在ABC中，边a，b的长是方程x2-5x+2=0的两个 根，C=60，则c=_.,【解析】由题意：a+b=5，ab=2. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-32=19. 所以c= . 答案：,2.在ABC中，已知b=3，c=3 ，B=30，试解此三角形.,【解析】方法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB， 得32=a2+(3

9、 )2-2a3 cos30， 所以a2-9a+18=0，得a=3或6. 当a=3时，A=30，所以C=120. 当a=6时，由正弦定理sinA= 所以A=90，C=60.,方法二：由bcsin30=3 = 知本题有两解. 由正弦定理sinC= 所以C=60或120. 当C=60时，A=90， 由勾股定理,当C=120时，A=30，ABC为等腰三角形， 则a=3.,类型二 已知三边解三角形 【典例】1.在ABC中，若a=7，b=4 ，c= ，则ABC的最小角为_. 2.已知ABC的三边长为a=2 ，b=2 ，c= 解此三角形.,【解题探究】1.在典例1的三角形中，边和角有怎样的大小对应关系？ 提

10、示：大角对大边，故此ABC的最小角为角C. 2.典例2中，可按什么顺序求解三角形？ 提示：已知三边解三角形可先利用余弦定理求出两个角的余弦值进而求出这两个角，再利用内角和定理求出第三个角.,【解析】1.因为cba，所以最小角为角C. 所以cosC= ，所以C= 答案：,2.由余弦定理得： 所以A=60. cosB= 所以B=45，所以C=180-A-B=75.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例1中“a=7”改为“cosA= ”， 其他条件不变，那么如何求ABC的最小角？,【解析】由余弦定理， a2=b2+c2-2bccosA =(4 )2+( )2-2 =48+13-12 =49，,所以

11、，a=7，所以cba，所以最小角为角C. 所以cosC= 所以C= .,2.(改变问法)若典例1条件不变，如何求最大角的余弦值呢？ 【解析】因为cba，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得：cosA= 故ABC的最大角的余弦值为 .,3.(变换条件、改变问法)典例1中若将“c= ”改为“C= ”，其他条件不变，则最大角的余弦值为多少？,【解析】由余弦定理得： c2=a2+b2-2abcosC =72+(4 )2-274 cos =49+48-84 =13，,所以，c= ，所以cba. 所以最大角为A，由余弦定理 得：cosA= 故ABC的最大角的余弦值为,【方法技巧】已知三边解三角形的方法及注

12、意事项 (1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一.,(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180确定第三个角的大小. (3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解.,【补偿训练】 1.在ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9，试求AC边上的中线长.,【解析】由余弦定理知cosA= 设中线长为x，由余弦定理知： x2= =42+92-249 =49， 所以x=7. 所以AC边上的中线长

13、为7.,2.已知三角形的三边长分别为x2+x+1，x2-1和2x+1(x1)，求这个三角形的最大角. 【解析】因为x1，所以(x2+x+1)-(x2-1)=x+20， (x2+x+1)-(2x+1)=x2-x=x(x-1)0. 所以x2+x+1是三角形中的最大边. 该边所对的角是最大角，设此最大角为A，,则cosA= 因为0A180，所以A=120， 即三角形的最大角为120.,类型三 判断三角形的形状 【典例】1.(2015武冈高二检测)在ABC中，已知sinA=2cosBsinC，则ABC是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定 2.在ABC中，(a+b+c)

14、(b+c-a)=3bc，且sinA= 2sinBcosC，试判断ABC的形状.,【解题探究】1.典例1中，如何根据等式判断三角形的形状？ 提示：可利用正弦定理将“角”化为“边”，再利用余弦定理寻找边与边之间的关系来判断三角形形状.,2.典例2中，判断三角形形状的思路是什么？ 提示：可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦定理求角A，再应用三角公式求出另外两角，进而判断ABC的形状.,【解析】1.选B.由正弦定理可得a=2ccosB， 由余弦定理得a=2c ，化简得b=c. 所以ABC是等腰三角形.,2.因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc， 所以a2=b2+c2-bc， 由余弦定理有a2=

15、b2+c2-2bccosA， 所以cosA= ，即A=60. 又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，,且sinA=2sinBcosC， 所以sinBcosC=cosBsinC，即sin(B-C)=0， 所以B=C， 又因为A=60，所以B+C=180-A=120， 即B=C=60，故ABC为等边三角形.,【方法技巧】利用三角形的边角关系判断三角形的形状的两个思路 (1)利用边的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过代数恒等变换得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.,(2)利用角的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系

16、，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论.,【变式训练】在ABC中，已知 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断ABC的形状.,【解析】方法一：在ABC中，由已知 得 所以cosA= .根据余弦定理，得 所以b2+c2-a2=2b2，即a2+b2=c2. 所以ABC是直角三角形.,方法二：在ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理知， b=2RsinB，c=2RsinC， 由 知，cosA= 所以cosA= ，即sinB=sinCcosA. 因为B=-(A+C)，所以sin(A+C)=sinCcosA， 所以sinAcosC=0.

17、,因为A，C都是ABC的内角，所以A0，A. 所以cosC=0，所以C= . 所以ABC是直角三角形.,【补偿训练】在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B= 2bccosBcosC，试判断ABC的形状. 【解析】方法一：因为b2sin2C+c2sin2B= 2bccosBcosC， 所以利用正弦定理可得 sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC，,因为sinBsinC0，所以sinBsinC=cosBcosC， 所以cos(B+C)=0，所以cosA=0， 因为0A，所以A= ， 所以ABC为直角三角形.,方法二：已知等式可化为 b2-b2cos2C

18、+c2-c2cos2B=2bccosBcosC， 由余弦定理可得 所以b2+c2=a2， 所以ABC为直角三角形.,方法三：已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC， 所以b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosBcosC， 因为b2cos2C+c2cos2B+2bccosBcosC =(bcosC+ccosB)2=a2， 所以b2+c2=a2， 所以ABC为直角三角形.,规范解答 利用正、余弦定理解三角形 【典例】(12分)(2015江苏高考)在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60. (1)求BC的长. (2)求sin2C的

19、值.,【审题指导】(1)要求BC的长，只需要利用余弦定理，将数值代入到BC2=AC2+AB2-2ACABcosA求解. (2)要求sin2C的值，只需要利用正弦定理求出sinC的值，利用余弦定理求出cosC的值，然后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C的值.,【规范解答】 (1)在ABC中，由余弦定理可知， BC2=AC2+AB2-2ACABcosA. 2分 即BC2=32+22-232cos60. 解得BC= .4分,(2)由正弦定理可知， ，6分 即 ，解得sinC= ； 8分 由余弦定理可得，cosC= .10分,所以sin2C=2sinCcosC = .12分,【题后悟道】 1.熟练掌握正、余弦定理及其应用 在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解.已知一边和二角、已知两边和其中一边的对角，采用正弦定理；已知两边和夹角、已知三边，采用余弦定理，如本例中已知AB，AC及角A采用余弦定理求解.,2.注意隐含或限制条件的挖掘 在三角形中注意三内角和等于180，在同一三角形中大边对大角，大角对大边，大角的正弦值大于小角的正弦值等隐含条件的应用.,