高中数学优质课件精选——人教版必修五:2.4.1等比数列 探究导学课型 .ppt
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1、2.4等比数列 第1课时等比数列,1.掌握等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式,并会应用. 3.能够应用等比数列的概念判断一个数列为等比数列.,1.等比数列的概念 (1)定义:一个数列从_起,每一项与它的前一项的比 等于_. (2)公比:这个常数叫做等比数列的公比. (3)公比的表示:_.,第2项,同一常数,q(q0),2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成_, 那么G叫做a与b的等比中项,其满足的关系式为_. 3.等比数列的通项公式 首项是a1,公比是q(q0)的通项公式为an=_(a10, q0).,等比数列,ab=G2,a1qn-1,1.已知an是等比数列,a
2、1=1,a4=2 ,则a3=() A.2B.2C.-2D.4 【解析】选B.因为a4=a1q3,所以q3= 所以q= ,所以a3=a1q2=2.,2.已知数列an为等比数列,且a1=2,q=3,则an=. 【解析】由a1=2,q=3,所以an=23n-1. 答案:23n-1,3.若等比数列an的通项为an= 5n,则a1=. 【解析】由通项an= 5n,令n=1,得a1= 答案:,4.已知数列an为等比数列,若a2=2,a5= 则q=. 【解析】由 得 解得q= 答案:,一、等比数列的通项 探究1:观察等比数列的通项公式an=a1qn-1,思考下面的问 题: (1)公式中的q能否为零?请说明理
3、由. 提示:不能,根据等比数列的定义,公比为每一项与前一项 的比即: =q,若q=0,则an=0,所以数列中每一项都为 零,所以an-1=0,这样比值 无意义,所以q0.,(2)要想确定等比数列的通项公式,需要具备哪几个条件? 提示:由等比数列的通项公式an=a1qn-1,要确定其通项公式,必须知道a1,q两个条件.,探究2:根据等比数列的定义,如何推导出等比数列的通项公式? 提示:由等比数列的定义, 以上各式相乘可得an=a1qn-1(a10,q0).,【拓展延伸】等比数列通项公式的两种证法 (1)归纳法:a1=a1,a2=a1q,a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3,an=an
4、-1q=a1qn-1. (2)迭代法:an=an-1q=an-2q2=a2qn-2 =a1qn-1.,【探究总结】对等比数列通项公式的两点说明 (1)在等比数列的通项公式中含有4个基本量,只要知其中任意3个,可求第四个基本量. (2)通项公式的推导方法采用的是累乘法,该方法是求数列通项公式常用的方法.,二、等比数列的判定 探究1:根据等比数列的定义,判断下面的数列是否为等比数 列? (1)1,3,32,33,3n-1, 提示:记数列为an,显然a1=1,a2=3,an=3n-1,由 于 =3(n2,nN*),所以该数列为等比数列,公比 为3.,(2)-1,1,2,4,8, 提示:记数列为an,
5、显然a1=-1,a2=1,a3=2, 由于 所以此数列不是等比数列.,(3)a,a2,a3,an, 提示:当a=0时,数列为0,0,0,是 常数列,不是等比数列;当a0时,数列为a,a2,a3,an,显然此数列为等比数列且公比为a.,探究2:在利用等比数列的定义判定一个数列为等比数列时应 注意什么? 提示:根据等比数列的定义,要判断一个数列为等比数列需 要注意:(1) =q(nN*)为常数. (2)比值 为同一个常数. (3)数列中的每一项都不能为0.,探究3:由等比数列的定义,要判断一个数列是否为等比数列,只需判断什么? 提示:只需判断 是否为同一个常数.,【探究总结】等比数列判定的三点说明
6、 (1)利用定义判定应注意公比为每一项与前一项的比. (2)必须说明是从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数. (3)若公比为1,则该数列为常数列,也为等比数列.,类型一等比数列中基本量的求解 1.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于() A.64B.81C.128D.243 2.(2014天津高考)设an是首项为a1,公差为-1的等差数 列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=() A.2B.-2C.D.- 3.(2014济宁高二检测)已知数列an为递增的等比数列, 其中a2=9,a1+a3=30.求数列an的通项公式.,【解题指南】1.根据条
7、件a1+a2=3,a2+a3=6求出公比和首项,再根据等比数列的通项公式求出a7. 2.根据S1,S2,S4成等比数列建立关于a1的方程求解. 3.先根据a2=9,a1+a3=30,求出q,再代入等比数列的通项公式求得.,【自主解答】1.选A.因为an为等比数列,所以 =q=2. 又a1+a2=3,所以a1=1.故a7=126=64. 2.选D.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4, 即(a1+a1-1)2=a1(4a1 43),解得a1=- . 3.设等比数列的公比为q,又由已知a2=9,a1+a3=30, 可得 +9q=30,解得q=3或q= 由已知,数列为递增数列,所以q
8、=3, 即an=a2qn-2=93n-2=3n.,【规律总结】等比数列中任意项求解的两种方法 (1)若已知a1和q,利用通项公式an=a1qn-1可求等比数列中的任意一项. (2)若已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.,【变式训练】在等比数列an中,已知a1= an= q= 则n为() A.2B.3C.4D.5 【解析】选C.等比数列an中,a1= an= q= 所以an=a1qn-1= 所以 即n-1=3,n=4.,【加固训练】在等比数列an中,若2a4=a6-a5,则公比q是. 【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q, 所以
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