2014年高考理科数学试题及答案-全国卷2(12页).doc

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1、-2014年高考理科数学试题及答案-全国卷2-第 11 页2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则集合（ ）A B C D2. 设复数z满足，则（ ）A B C D3. 已知，则（ ）A B C D4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则5. 设是非零向量，学科 网已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A B C D6. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任

2、何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D247. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D8. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）A B C D9. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间上单调递减 B在区间上单调递增C在区间上单调递减 D在区间上单调递增10. 已知点在抛物线C：的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）A B C D11. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D12. 已知定义在上的函数满足：对所有，且，有.若对所有，

3、则k的最小值为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入，则输出 . 14. 正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .15. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . 16. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已

4、知，求：（1）a和c的值；（2）的值.18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.19. （本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.20. （本小题满分12分）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当

5、该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.21. （本小题满分12分）已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）

6、求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.参考答案一、选择题1.D2.A3.C4.B5.A6.D7.B8.C9.B10.D11.C12.B二、填空题13.14. 15. 1216. -2三、解答题17.解：

7、（）由得，又，所以，由余弦定理，得又，所以解，得或因为，所以（）在中，由正弦定理，得因，所以C为锐角，因此于是18.解：（）设表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”， 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此（）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为分布列为01230.0640.2880.4320.216因为（3，0.6），所以期望，方差19.（）证明：方法一：过点做，垂足为，连接由可证出，所以，即又,，所以平面，又平面，所以方法二：由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，在平面

8、内过作垂直的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得因而，所以，因此从而，所以（）方法一：在图1中，过点做，垂足为G，连接EG，因为平面平面，所以面，又，所以由三垂线定理知，因此为二面角的平面角在中，由知，因此从而得即二面角的正弦值为方法二：在图2中，平面的一个法向量为设平面的法向量，又，所以得其中一个设二面角的大小为，且由题知为锐角，则因此，即所求二面角的正弦值为20.解：（）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为，由知，当且仅当时有最大值，即有最小值，因此点P的坐标为由题意知，解得，故的方程为（）由（）知的焦点坐标为，由此

9、设的方程为，其中由在上，得解得，因此方程为显然，不是直线，设的方程为，点，由得，又是方程的根，因此由，得因，由题意知，所以将代入式整理得解得或，因此直线的方程为或21.证明：（）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使（）考虑函数令，则时，记，则由（）得，当时，当时，在上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点在上是减函数，由，知存在唯一，使所以存在唯一的，使因此存在唯一的，使因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使因，所以22.证明：（）因为，所以由于为切线，故，又由于，故，所以，从而由于，所以，于是，故是直径。（）连接由于是直径，故在与中，从而，于是由因为，所以，故由于，所以，为直角。于是为直径，由（）得23.解：（）设为圆上的点，在已知变换下变为上点，依题意，得由得，即曲线的方程为故的参数方程为（为参数）（）由解得：，或不妨设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线方程为，化为极坐标方程，并整理得，即24.解：当时，由得，故；当时，由得，故所以的解集为（）由得，解得因此，故当时，于是