高中立体几何典型题及解析.doc

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1、高中立体几何典型500题及解析(二)(51100题)51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM及CN所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N作NEAM交DM于E，则CNE 为AM及CN所成的角。 N为AD的中点, NEAM省 NE=AM且E为MD的中点。设正四面体的棱长为1，则NC= 且ME=MD= 在RtMEC中，CE2=ME2+CM2=+= cosCNE=,又CNE (0, ) 异面直线AM及CN所成角的余弦值为.注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CEN外计算CE、CN、EN长，再回

2、到CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB及CD所成的角。 解析：在BD上取一点G，使得，连结EG、FG 在BCD中，故EG/CD，并且， 所以，EG=5；类似地，可证FG/AB，且， 故FG=3，在EFG中，利用余弦定理可得 cosFGE=，故FGE=12

3、0。 另一方面，由前所得EG/CD，FG/AB，所以EG及FG所成的锐角等于AB及CD所成的角，于是AB及CD所成的角等于60。53. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1及BD所成的角的余弦解一：连AC，设ACBD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OFAC1且OF=AC1，所以FOB即为AC1及DB所成的角。在FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cosOB=解二：取AC1中点O1，B1B中点G在C1O1G中，C1O1G即AC1及DB所成的角。解三：延长CD到E，使ED=DC则ABDE为平行四边形AEBD，所以EAC1即为

4、AC1及BD所成的角连EC1，在AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得cosEAC1=0所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1及BD所成的角的余弦为54. 已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，解析：设AO及AB所成角为，AB及AC所成角为，AO及AC所成角为，则有。在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=，求异面直线SC及AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问）由SA平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，设异面直线SC及AB所成角为，则 ，由 得 ， ， ， 即异面直线SC及AB所成

5、角为 。55. 已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明 。（略去了该题的2，3问）解析： 设在平面ABCD内射影为H，则CH为在平面ABCD内的射影， ， ，由题意 ， 。又 ， 从而CH为的平分线，又四边形ABCD是菱形， 及BD所成角为， 即56. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，求异面直线AE及CF所成角的大小。解析： 连接BF、EF，易证AD平面BFC， EF为AE在平面BFC内的射影，设AE及CF所成角为， ，设正四面体的棱长为，则 ，显然 EFBC， ， ， ， ， 即AE及CF所成角为 。57. 三棱柱，平面平面OAB，且，求异面直线及所成角的大小，（略

6、去了该题的1问）解析： 在平面内作于C ，连，由平面平面AOB， 知，AO平面， ， 又 ， BC平面， 为在平面内的射影。设及所成角为，及所成角为， 则，由题意易求得 ， ，在矩形中易求得及所成角的余弦值：， ，即及所成角为 。58. 已知异面直线及所成的角为，P为空间一定点，则过点P且及，所成的角均是的直线有且只有（ ）A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 解析： 过空间一点P作，则由异面直线所成角的定义知：及的交角为，过P及，成等角的直线及，亦成等角，设，确定平面，交角的平分线为，则过且及垂直的平面（设为）内的任一直线及，成等角（证明从略），由上述结论知：及，所成角大于或等于及，所成角

7、，这样在内的两侧及，成角的直线各有一条，共两条。在，相交的另一个角内，同样可以作过角平分线且及垂直的平面，由上述结论知，内任一直线及，所成角大于或等于，所以内没有符合要求的直线，因此过P及，成的直线有且只有2条，故选（B）59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析：D60. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2及l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（ ）A.异面或平行 B.相交C.异面 D.相交或异面解析：D 61. 在正方体ABCD-ABCD中,及棱AA异面的直线共有几条（ ）A.4 B.6C.8 D.10解析：A62.在正

8、方体ABCD-ABCD中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ ）A.48对 B.24对C.12对 D.6对解析：B棱AA有4条及之异面,所以,所有棱能组成412=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.63. 正方体ABCD-ABCD中,异面直线CD和BC所成的角的度数是（ ）A.45 B.60C.90 D.120解析：BADC=60即为异面直线CD和BC所成的角的度数为6064.异面直线a、b，ab，c及a成30角，则c及b成角的范围是 （ ）A. B. C. D. 解A直线c在位置c2时,它及b成角的最大值为90,直线c在c1位置时,它及b成角的最小值是6065.如图，空间四边形ABC

9、D的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（ ）解析：B当M,N分别为中点时。因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CDBN,CDAN且AN=BN,所以NMAB。同理，连接CM,MD可得MNCD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN所以在RTBMN中，MN求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时及两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中

10、点，EF3，则AD,BC所成的角为（ ）A.30 B.60C.90 D.120解B注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。67. 直线a是平面的斜线，b在平内，已知a及b成60的角，且b及a在平内的射影成45角时，a及所成的角是（ ）A.45 B.60C.90 D.135解A68. m和n是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线，及交于l，m和n及l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 A.可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直 C

11、.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。 设m/n,由于m在外，n在内， m/ 而过m及交于l m/l，这及已知矛盾， m不平行n. 设mn，在内作直线l, , a, ma. 又由于n和a共面且相交（若a/n 则nl，及已知矛盾） m, ml及已知矛盾， m和n不能垂直. 综上所述，应选（D）.69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 解析：为了作

12、出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC1的垂线.解析：过E作EHBC，垂足为H. 过H作HGBC1，垂足为G.连EG.面ABCD面BCC1，而EHBCEH面BEC1，EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.HGBC1， EGBC1， EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在RtBCC1中：sinC1BC= 在RtBHG中：sinC1BC= HG=（设底面边长为1）. 而EH=1， 在RtEHG中：tgEGH= EGH=arctg 故二面角E-BC1-

13、C 等于arctg.70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为 解析：设AC、BD交于O点，则BOAC 且DOAC，在折起后，这个垂直关系不变，因此BOD是二面角B-AC-D的平面角.由于DOB中三边长已知，所以可求出BOD： 这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是DOB中，OB边上的高DE，理由是： DEOB DE面ABC. 由cosDOB=，知sinDOE= DE= 应选（B）71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R，那么球心到截

14、面ABC的距离等于 解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力. 如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面及面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径. 下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、AOC、COB中求得（O是球心）.由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以AOB=2=，同理AOC=，BOC=.|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 在ABC中，由于AB2+AC2=BC2. BAC=90,BC是小圆ABC的直径. |ED

15、|= 从而|OD|=. 故应选B.72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA底面ABCD，该图中，互相垂直的面有 A.4对 B.5对 C.6对 D.7对答案（D）解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于_ 解析：90连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，ABCN，ABDN.74. 已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45，求证MN面PCD.(12分)解析：75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1

16、B1C1D1的中心。如图：（1）证明：PQ平面AA1B1B；（2）求线段PQ的长。（12分）评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线及底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。76. 如图，已知求证al解析：77. 如图，ABCD为正方形，过A作线段SA面ABCD，又过A作及SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。（12分）解析：78. 在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O平面GBD（1

17、4分）解析：79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（nm）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。（1）求证：ABMN；（2）求证：MN的长是定值（14分）解析：80. 已知：平面及平面相交于直线a，直线b及、都平行，求证：ba证明：在a上取点P，b和P确定平面设及交于，及交于 b且b b且b 及重合，而， ，实际上是、a三线重合， ab81. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)， ab， a， b其中，a，b在面外用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断

18、真伪正确的给出证明，错误的举出反例解析： ab a b b在外：ab b a a在外、是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条及平面平行，则另一条也及该平面平行证明：过a作平面及交于 a a而ab b且b在外，在内 b：a ab b命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行已知：a、b是两个平面，直线la，lb，垂足分别为A、B求证：ab思路1：根据判定定理证证法1：过l作平面g ，agAC，bgBD，过l作平面d，adAE，bdBF，lalAClblBD ACBDACb，l、AC、BD共面同理AEb，ACAEf ，AC

19、，AEa ，故ab思路2：根据面面平行的定义，用反证法证法2：设a、b有公共点P则l及P确定平面g，且agAP，bgBPlalAPlblBPl、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都及l垂直，这是不可能的故a、b不能有公共点， ab83. 已知：a、b是异面直线，a平面a，b平面b，ab，ba求证：ab证法1：在a上任取点P，显然Pbb于是b和点P确定平面g且g 及a 有公共点P a gb且b和a交于P， ba ， bb bb而ab这样a 内相交直线a和b都平行于b ab证法2：设AB是a、b的公垂线段，过AB和b作平面g ，g b，过AB和a作平面d ，baaaabbb

20、ABaABa，ABbABb于是ABa 且ABb， ab84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，、r是三个不重合的平面，下面六个命题：ac，bcab；ar，brab；c，c；r，r；ac，ca；ar，ra其中正确的命题是( )(A) (B) (C) (D) 解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线及这个

21、平面或平行，或直线在该平面内，因此命题、都是错的，答案选AP85. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP及平面AMC1的位置关系是( )(A) 垂直(B) 平行(C) 相交但不垂直(D) 要依P点的位置而定解析：由题设知B1MAN且B1M=AN，四边形ANB1M是平行四边形，故B1NAM，B1NAMC1平面又C1MCN，得CN平面AMC1，则平面B1NCAMC1，NP平面B1NC， NP平面AMC1答案选B86. 已知：正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a(1) 求证：平面A1BD平面B1D1C；(2) 求平面A1BD和平

22、面B1D1C的距离证明：(1) 在正方体ABCDA1B1C1D1中， BB1平行且等于DD1， 四边形BB1D1D是平行四边形， BDB1D1， BD平面B1D1C同理 A1B平面B1D1C，又A1BBD=B， 平面A1BD平面B1D1C解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于NAC是AC1在平面AC上的射影，又ACBD， AC1BD，同理可证，AC1A1B， AC1平面A1BD，即MN平面A1BD，同理可证MN平面B1D1C MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，设AC、BD交于E，则平面A1BD及平面A1C交于直线A1E M平面A1BD，MAC1平面A1C， MA

23、1E同理NCF在矩形AA1C1C中，见图921(2)，由平面几何知识得， 评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条及另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法87. 已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点(1) 求证AB1平面C1BD；(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离证明：(1) 设B1CBC1=O连DO，则O是B1C的中点在ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点 DOAB1，又DO平面C1BD，AB1平面C1BD， AB1平面C1B

24、D解：(2) 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， BDAC，且BDCC1， BD平面AC1，平面C1BD平面AC1，C1D是交线在平面AC1内作AHC1D，垂足是H， AH平面C1BD，又AB1平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离由BC=8，B1C=10，得CC1=6，在RtC1DC中，DC=4，CC1=6，在RtDAH中，ADH=C1DC 即AB1到平面C1BD的距离是评述：证明线面平行的关键是在平面内找出及已知直线平行的直线，如本题的DO本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离8

25、8. 已知：直线a平面求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个证：过a作平面及交于，在内作直线及相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作bb在外，在内， b而a a，b确定的平面过a且平行于 过a，b的平面只有一个， 过a平行于平面的平面也只有一个89. 已知平面、其中=l，=a，=，a，=b，=，b上述条件能否保证有？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有不足以保证如右图如果添加条件a及b是相交直线，那么证明如下：aabb a，b是内两条相交直线， 90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.已知：平面平面a，平面平面b，平面平

26、面c.求证：a、b、c相交于同一点，或abc.证明：a，ba、ba、b相交或ab.(1)a、b相交时，不妨设abP，即Pa，Pb而a、b，aP，P，故P为和的公共点又c由公理2知Pca、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当ab时c且a，aac且ababc故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.91. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1EBF.求证：EF平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.ADBCAFDMFB又BDB1A，B1EBFDFAEEFB1

27、M，B1M平面BB1C1CEF平面BB1C1C.证法二：作FHAD交AB于H，连结HEADBCFHBC，BCBB1C1CFH平面BB1C1C由FHAD可得又BFB1E，BDAB1EHB1B，B1B平面BB1C1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF平面FHEEF平面BB1C1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.92. 已知：平面平面，线段AB分别交、于点M、N；线段AD分别交、于点C、D；线段BF分别交、于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面

28、积.解析：如图，面AND分别交、于MC，ND，因为，故MCND，同理MFNE，得FMCEND，NDMC（m+p)：m和ENFMn(n+p)SENDSFMC得SENDSFMC(m+p)(n+p)=(m+p)2END的面积为(m+p)2平方单位.93. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线及MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MNB1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“

29、面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面及平面ABB1A1平行，从而证得MN平面ABB1A1.94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面（1）求证：EF平面GMC（2）若AB4，GC2，求点B到平面EFG的距离解析：第1小题，证明直线及平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题解：（1）连结BD交AC于O，E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACACGCC，EF平面GMC（2）可证BD平面

30、EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG95. 已知：ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一点求证：BE不可能垂直于平面SCD解析：用到反证法，假设BE平面SCD， ABCD；ABBE ABSB，这及RtSAB中SBA为锐角矛盾 BE不可能垂直于平面SCD96. 已知PA，PB，PC及平面所成的角分别为60，45，30，PO平面，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且ABBC10cm，求PO的长解析：97. 已知：如图，AS平面SBC，SO平面ABC于O，求证：AOBC解析：连结AO，证明BC平面ASO98. 已知ABCD是矩形，SA平面ABCD，M、N分别是SC、AB的中点求证：MNAB解析：连结MB、MA，证明MBMA99. 已知：如图，平面a 平面b 直线l，Aa ，ABb ，Bb ，BCa ，Ca，求证：ACl证明： ABb ，lb lAB BCa ，la lBC ABBCB l平面ABC AC平面ABC lAC100. 已知：如图，P是BAC所在平面外一点，PDAB，D为垂足，PEAC，E为垂足，在平面BAC内过D作DFAB，过E作EFAC，使得EFDFF连结PF，求证：PF平面BAC证明：PDAB，DFAB，PDDFDAB平面PDFPF平面PDF ABPF同理，ACPF PFAB，PFAC，BAACA PF平面BAC41 / 41