高一数学优质课件精选——人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（一） .pptx

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1、2.4 平面向量的数量积 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一),明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.,明目标、知重点,1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，作 a， b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的 范围是 . 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，b . (2)当 时，我们说向

2、量a和向量b互相垂直，记作 .,AOB,填要点记疑点,a，b,0a，b,b，a,ab,2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab ，其中是a与b的夹角. (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为，则向量a在b方向的投影是 ，向量b在a方向上的投影是 .,|a|b|cos ,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,3.数量积的几何意义 ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积.,|b|cos ,探要点究所然,探究点一平面向量数量积的含义

3、,思考1如图，一个物体在力F的作用下产生位 移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的 功W是多少？,答W|F|s|cos .,思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，那么ab的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答ab的运算结果是数量. 0a0.,思考3对于两个非零向量a与b，夹角为，其数量积ab何时为正数？何时为负数？何时为零？ 答当00；当90180时，ab0；当90时，ab0. 小结已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab

4、，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角，0，.规定：零向量与任一向量的数量积为0.,思考4向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向.,例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab； (2)ab； (3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积. 解(1)ab，若a与b同向，则0， ab|a|b|cos 04520； 若a与b反向，则180， ab|a|b|cos 18045(1)20. (2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900. (3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 30 45 3 2

5、 10 3 .,反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，180；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.,跟踪训练1已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab； (3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积. 解(1)当ab时，若a与b同向， 则a与b的夹角0， ab|a|b|cos 43cos 012. 若a与b反向，则a与b的夹角为180， ab|a|b|cos 18043(1)12.,(2)当ab时，向量a与b的夹角为90， ab|a|b|cos 904300. (3)

6、当a与b的夹角为60时， ab|a|b|cos 6043 1 2 6.,探究点二投影,思考1对于两个非零向量a与b，设其夹角为，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？ 答不一定；|b|cos . 小结我们把|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，其中为向量a与b的夹角.由数量积的定义ab|a|b|cos 可得：|a|cos ab |b| ；|b|cos ab |a| .,思考2根据投影的概念，数量ab|a|b|cos 的几何意义如何？ 答数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 的

7、乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积.,例2已知ab9，a在b方向上的投影为3，b在a方向上的投影为 3 2 ，求a与b的夹角.,反思与感悟(1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.,0180，120.,跟踪训练2已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量 2ab在向量ab方向上的投影. 解(2ab)(ab) 2a22ababb22a2abb2 21211cos 12012 1 2 .,探究点三平面向量数量积的性质,思考1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ 答abab0. 思考2当

8、a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？ 答当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；aaa2|a|2或|a| aa .,思考3|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？ 答|ab|a|b|，设a与b的夹角为， 则ab|a|b|cos . 两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|. 当且仅当|cos |1， 即cos 1，0或时，取“”. 所以|ab|a|b|. cos ab |a|b| .,例3已知|a|b|5，向量a与b的夹角为 3 ，求|ab|，|ab|.,反思与感悟此类求解向量的

9、模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方.,跟踪训练3已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角. 解e1，e2为单位向量且夹角为60， e1e211cos 60 1 2 . ab(e1e2)(e22e1),又0，180，120.a与b的夹角为120.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为() A.4 B.4 C.2 D.2 解析b在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos 1202.,D,1,2,3,4,2.若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_. 解析aaab1211cos 120 1 2 .,1 2,1,2,3,4,C90.,1,2,3,4,答案25,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,呈重点、现规律,1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时). 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.,3.b在a方向上的投影：|b|cos ab |a| 是一个数量而不是向量.具体情况可以借助下表分析：,