数列知识在物理中的应用(9页).doc

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1、-数列知识在物理中的应用-第 9 页数列知识在物理中的应用凡涉及数列求解的物理问题，都具有多过程、重复性的共同特点。但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”。而该类问题求解的关键是确立相关物理量的数列关系，在此过程中涉及到的基本方法有两种：方法一、数学归纳法：（1）逐个分析开始的几个物理过程；（2）利用数学归纳法从中找出物理量的变化通项公式；方法二、递推公式法：（1）分析物理过程，确立物理过程的重复特点；（2）利用相关量第n项与第（n-1）项的递推关系找出物理量的变化通项公式。有些物理问题中还需要用到等差数列求和、等

2、比数列求和公式进行计算题1：（07全国i）24（18分）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为m=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成=60的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45。方法一：数学归纳法设：小球m的摆线长度为l，小球m在下落过程中与m相碰之前满足机械能守恒： m和m碰撞过程满足： 联立得： 说明小球被反弹，而后小球又以反弹速度和小球m发生碰撞，满足：解得： 整理得： 所以： ，即 而偏离方向为450

3、的临界速度满足： 联立代入数据解得，当n=2时，当n=3时， 所以，最多碰撞3次。评析：本题有重复碰撞的过程，且每次碰撞的前后均满足动量守恒和机械能守恒，每次碰撞后速度逐渐变小，利用两个守恒式推出两球碰撞后的速度的大小，通过数学归纳找到各次碰后速度大小的联系，从而得出碰后速度的通项公式 ，再利用上摆过程机械能守恒建立碰撞次数与摆角的关系进行求解。方法二：递推公式法解：设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn、vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左，则：解得：依题 （公比为 的等比数列）第n次碰撞后绝缘球的动能为：e0为第1次碰撞前的动能，

4、即初始能量绝缘球在=0=60与=45处的势能之比为：经n次碰撞后有：易算出（），（），因此，经过3次碰撞后小于45。评析：方法二直接利用动量守恒与机械能守恒建立第n次碰撞前后的关系从而得出第n项的递推公式 和 而解决问题。近年高考中涉及数列知识应用的题目平时并不多见，下面再以两道习题去进一步熟悉等差数列求和、等比无穷数列求和知识在高中物理中的应用：题2：如图所示，在倾角=30且足够长的斜面上分别固定着两个相距的物体a、b，它们的质量ma=mb =1kg，与斜面间的动摩擦因数分别为 和 。在t = 0时刻同时撤去固定两物体的外力后，a物体将沿斜面向下运动，并与b物体发生连续碰撞（碰撞时间极短，忽

5、略不计），每次碰后两物体交换速度。g取10m/s2。求：（1）a与b第一次碰后瞬时b的速率？（2）从a开始运动到两物体第二次相碰经历多长时间？（3）从a开始运动至第n次碰撞时a、b两物体通过的路程分别是多少？解：a物体沿斜面下滑时：物体沿斜面下滑时有：（1）由上面可知，撤去固定a、b的外力后，物体b恰好静止于斜面上，物体a将沿斜面向下做匀加速直线运动.a与b第一次碰撞前的速度 ，故a、b第一次碰后瞬时，b的速率（2）从a开始运动到第一次碰撞用时： ，两物体相碰后，a物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而b物体将以的速度沿斜面向下做匀速直线运动。设再经t2时间相碰，则有 ，解之可得。故从a开始

6、运动到两物体第二次相碰，共经历时间：t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s 。（3）第二次碰前a速度为2m/s，b速度为1m/s，碰后a、b交换速度，第二次碰后b 速度为2m/s， a速度为1m/s，设碰后至下次碰撞经历的时间为t，则有碰后a、b交换速度，碰后b的速度均要比a的速度大1m/s。 即t同理第n次碰后到第（n+1）碰撞， t从第2次碰撞开始，每次a物体运动到与b物体碰撞时，速度增加量均为v，由于碰后速度交换，因而每次碰后b物体的速度增加1m/s，即第一次碰后： vb1=1m/第二次碰后： vb2=2m/第三次碰后： vb3=3m/第n次碰后： vbn = n m/每次碰后的速度为

7、一等差数列每段时间内，b物体都做匀速直线运动，则第n次碰前所运动的距离为=1+2 + 3 + + （n-1）t = m （n=1，2，3，n-1）a物体比b物体多运动l长度，则a = l+sb = 0.2 + m （n=1，2，3，n-1）评析：本题第（3）问通过数学归纳法得出第n次碰后b物体的速度公式vbn=n m/s （n=1，2，3，n-1），再利用等差数列求和得出最终结果。题3：如图所示，质量m=lkg的平板小车右端放有质量m=2kg的物块（可视为质点），物块与车之间的动摩擦因数。开始时二者一起以v0=6m/s的速度向左端的光滑水平面上运动，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，且碰后车

8、的速率与碰前的相同，车身足够长，使物块不能与墙相碰（g=10 m/s2）求：（1）物块相对于小车的总位移s是多少？（2）小车与墙第一次相碰后小车所走的总路程sm为多少？ 解：（1）由于 mm，两者以共同速度与墙相碰后，物块的动量大小比车的动量大，由于滑动摩擦力的作用，两者必会又以共同速度再次与墙相碰，如此反复直到两者一起停止在墙角边为止，设物块相对于车的位移为s，由能量转化和守恒定律得：解得：（2）设v1=v0，车与墙第n次碰后边率为vn，则第（n+1）次碰后速率为vn+1，对物块与车由动量守恒得：mvn-mvn =（m+m）vn+1所以，vn+1= = vn = 。车与墙第（n+1）次碰后最大位移可见车每次与墙碰后的最大位移是一个等比数列，其q=1/9，所以车与墙碰后的总路程m =2（s1+s2+sn+）= 2s1（1十 十+ +）=车第一次与墙碰后最大位移 s1= /2a= /2a， a=mg/m=10m/s2 可算得 s1= m=1.8 m 所以sm评析：本题根据动量守恒定律，用递推公式法得出第（n+1）次碰后速率vn+1与第n次碰后速率vn和碰后最大位移的通项公式vn+1= 和 ，再利用等比无穷数列求和得出最终结果。以上的例题充分地展示出数列知识在物理教学中的应用，运用数列知识可以使物理问题变得简单起来。因此，教师对此要多总结、多归纳，这样才能使物理教学的效率得以提高。