一元二次不等式恒成立问题(5页).doc

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1、-一元二次不等式恒成立问题-第 4 页微专题不等式 一元二次不等式恒成立问题一、备考基础查清1、 解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题. 2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.二、热点命题悟通考点1形如f(x)0(xR)例1、若关于x的不等式ax2x10

2、的解集为R，则常数a的取值范围是_解析由题意得解得a.例2、不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1，4 B( ，2 5，)C( ，1 4，) D2，5解析 思路点拨 由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x轴没有交点； 方法一：原不等式可化为x22xa23a50，要使不等式对任意实数x恒成立，则(2)24(a23a5)0，即a23a40，解得1a4，故选A. 方法二：x22x5(x1)24的最小值为4，要使x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4，故选A. 考点2形如f(x)0(xa，b)例3、设对任意实数x

3、1，1，不等式x2ax3a0恒成立，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba Ca Da0或a12 解析思路点拨由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。设f(x)x2ax3a.因为对任意实数x1，1，不等式x2ax3a0恒成立，所以即 解得a，即实数a的取值范围是a，故选B. 总结反思 (1)一元二次不等式在指定范围内恒成立(或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式两端，则问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围. 考点3形如f(x)0(参数ma，b)例4、已知a1，1

4、，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围思路点拨 可把x当作a的系数，把原不等式化为关于a的不等式，则原问题转化为一次函数在区间1，1恒成立问题解：把原不等式化为 (x2)ax24x40，设 f(a)(x2)ax24x4，则f(a)可看成为关于a的函数由f(a)0对于任意的a 1，1恒成立，得即 解得x3，即x的取值范围是(，1)(3，) 总结反思 此类问题的求解有两种方法：(1)直接求解，应用分类讨论思想；(2)应用函数思想，以参数为主元，“反客为主”，构造关于参数的函数考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x的不等式ax23xc0的解集为1，2，则a_

5、，c_解析：由题意得方程ax23xc0的两根为x11，x22，由根与系数的关系可得12，12，解得a1，c2.例6、 设a1，若x0时，(a1)x1(x2ax1)0恒成立，则a_思路本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂可考虑根据不等式对应的函数f(x)、方程f(x)0和不等式f(x)0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0，)上的关系. 解析 设函数y1(a1)x1，y2 x 2ax1，则这两个函数图像都过定点P(0，1)，问题可转化为两个函数在区间(0，)上的符号相同在函数y1(a1)x1中，令y10，得x0，即函数y1的图像与x轴的交点坐标为M，而函数y2 x2ax

6、1的图像过点M，则10，解得a0或a.又a1，所以a.三、迁移应用练透1已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_解析 (1)x2ax2a0在R上恒成立，a242a0，解得0a0对任意实数x恒成立，所以a24310，解得2a0对xR成立；当a0时，要使xR，f(x)0恒成立，则解得0a1的解集为()A(，1)(0，) B(，0)(1，)C(1，0) D(0，1)解析 (1)f(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa240，函数f(x)ax2(a2)x1必有两个不同的零点又f(x)在(2，1)上恰有一个零点，f(2)f(1)0，即(6a5)(2a3)0，a1即为x2x

7、0，解得1x0在区间1，5上有解，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D.解析由a280，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1，5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为，故选A. 6若关于x的方程x2(m1)xm220的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m的取值范围是()A(，) B(2，0) C(2，1) D(0，1) 解析 设f(x)x2(m1)xm22，由关于x的方程x2(m1)xm220的两个实根一个小于1，一个大于1，得f(1)0，即12(m1)m220，化简得m2m20，解得2m1，即实数m的取

8、值范围是(2，1). 7 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为()A0 B3 C6 D9 解析 由题意知f(x)x2axbb.f(x)的值域为0，)，b0，即b，f(x)，f(x)c，即c，解得x，得26，c9.8若不等式x22x2|a2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是_ 解析 x22x2(x1)211，由不等式x22x2|a2|对于一切实数x均成立，得|a2|1，解得1a3，实数a的取值范围是(1，3)9已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解：方法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图像的对称轴为直线xa.当a( ，1)时，f(x)在1，)上单调递增，且f(1)2a3，所以要使f(x)a，x1，)恒成立，只需2a3a即可，故3a1.当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，所以只需2a2a即可，故1a1.综上所述，所求a的取值范围是3，1方法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.故所求a的取值范围是3，1